登录
5.如图，某一时刻大树AB顶端的影子落在墙DE上C点，同一时刻1.2m的标杆影长3m，已知CD=4m，BD=6m，则大树的高度为
6.4m
。答案
5.6.4m
解析
【分析】
本题属于平行投影的实际应用题，解题核心是利用“同一时刻，不同物体的物高与影长的比值相等”这一规律。由于大树的影子一部分落在地面、一部分落在墙面，我们可以通过作垂直辅助线，将大树分为两部分：下方部分的高度等于墙面上的影长CD，上方部分的影长等于地面的影长BD，结合已知的标杆与影长的比例关系即可求出大树高度。
【解析】
过点C作CF⊥AB，垂足为F，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴四边形BDCF是矩形，
∴BF=CD=4m，CF=BD=6m。
∵同一时刻，物高与影长成正比，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{\mathrm{标杆高度}}{\mathrm{标杆影长}}$，
代入数据得$\frac{AF}{6}=\frac{1.2}{3}$，
解得AF=2.4m，
∴大树高度AB=AF+BF=2.4+4=6.4m。
【答案】
6.4m
【知识点】
平行投影的性质，相似三角形的应用，矩形的性质
【点评】
本题是投影应用的典型题型，解题关键是合理构造辅助线，明确落在墙面上的影子对应的树高，不要错误地将墙面和地面的影子长度相加作为总影长计算，掌握平行投影下物高与影长的比例关系即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
本题属于平行投影的实际应用题，解题核心是利用“同一时刻，不同物体的物高与影长的比值相等”这一规律。由于大树的影子一部分落在地面、一部分落在墙面，我们可以通过作垂直辅助线，将大树分为两部分：下方部分的高度等于墙面上的影长CD，上方部分的影长等于地面的影长BD，结合已知的标杆与影长的比例关系即可求出大树高度。
【解析】
过点C作CF⊥AB，垂足为F，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴四边形BDCF是矩形，
∴BF=CD=4m，CF=BD=6m。
∵同一时刻，物高与影长成正比，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{\mathrm{标杆高度}}{\mathrm{标杆影长}}$，
代入数据得$\frac{AF}{6}=\frac{1.2}{3}$，
解得AF=2.4m，
∴大树高度AB=AF+BF=2.4+4=6.4m。
【答案】
6.4m
【知识点】
平行投影的性质，相似三角形的应用，矩形的性质
【点评】
本题是投影应用的典型题型，解题关键是合理构造辅助线，明确落在墙面上的影子对应的树高，不要错误地将墙面和地面的影子长度相加作为总影长计算，掌握平行投影下物高与影长的比例关系即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
★6.有一块三角形铁片ABC，BC=12cm.高AH=8cm，按图1、图2两种设计方案把它加工成一块矩形铁片DEFG，且要求矩形的长是宽的2倍，为了减少浪费，加工成的矩形铁片的面积应尽量大些.请你通过计算判断图1、图2两种设计方案哪个更好.
答案
6.方案(1)设计得更好,矩形的面积大
解析
【分析】
要判断哪种设计方案更好，只需比较两种方案加工得到的矩形面积大小，面积更大的方案更优。两种方案中矩形的边DG均平行于BC，可得△ADG∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，分别设两种方案中矩形的宽为未知数，结合“长是宽的2倍”的条件列方程求解，再计算矩形面积比较大小即可。
【解析】
计算图1方案的矩形面积：
设图1中矩形的宽为$ x\ \mathrm{cm} $（即垂直于BC的边长为$ x $），则长$ DG=2x\ \mathrm{cm} $。
∵$ DG// BC $，AH是△ABC的高，
∴△ADG∽△ABC，且相似三角形对应高的比等于相似比，$ AM=AH-MH=8-x $，
可得：$\frac{DG}{BC}=\frac{AM}{AH}$，代入数据：
$\frac{2x}{12}=\frac{8-x}{8}$
交叉相乘得：$16x=12(8-x)$
解得：$x=\frac{24}{7}$
矩形面积$ S_1=2x· x=2x^2=2×(\frac{24}{7})^2=\frac{1152}{49}\approx23.51\ \mathrm{cm}^2 $
计算图2方案的矩形面积：
设图2中矩形的宽为$ y\ \mathrm{cm} $（即平行于BC的边长为$ y $），则长$ DE=2y\ \mathrm{cm} $。
同理，△ADG∽△ABC，$ AM=AH-DE=8-2y $，
可得：$\frac{y}{12}=\frac{8-2y}{8}$
交叉相乘得：$8y=12(8-2y)$
解得：$y=3$
矩形面积$ S_2=y· 2y=2y^2=2×3^2=18\ \mathrm{cm}^2 $
∵$\frac{1152}{49}＞18$，即$ S_1＞S_2 $，因此图1的方案更好。
【答案】
图1的设计方案更好，加工得到的矩形面积更大。
【知识点】
相似三角形的性质、矩形面积计算、一元一次方程应用
【点评】
本题是相似三角形在实际问题中的应用，解题核心是利用相似三角形对应高的比等于相似比建立等量关系，求解时需注意两种方案中矩形长、宽的位置差异，避免混淆对应边的比例关系。
【难度系数】
0.6
要判断哪种设计方案更好，只需比较两种方案加工得到的矩形面积大小，面积更大的方案更优。两种方案中矩形的边DG均平行于BC，可得△ADG∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，分别设两种方案中矩形的宽为未知数，结合“长是宽的2倍”的条件列方程求解，再计算矩形面积比较大小即可。
【解析】
计算图1方案的矩形面积：
设图1中矩形的宽为$ x\ \mathrm{cm} $（即垂直于BC的边长为$ x $），则长$ DG=2x\ \mathrm{cm} $。
∵$ DG// BC $，AH是△ABC的高，
∴△ADG∽△ABC，且相似三角形对应高的比等于相似比，$ AM=AH-MH=8-x $，
可得：$\frac{DG}{BC}=\frac{AM}{AH}$，代入数据：
$\frac{2x}{12}=\frac{8-x}{8}$
交叉相乘得：$16x=12(8-x)$
解得：$x=\frac{24}{7}$
矩形面积$ S_1=2x· x=2x^2=2×(\frac{24}{7})^2=\frac{1152}{49}\approx23.51\ \mathrm{cm}^2 $
计算图2方案的矩形面积：
设图2中矩形的宽为$ y\ \mathrm{cm} $（即平行于BC的边长为$ y $），则长$ DE=2y\ \mathrm{cm} $。
同理，△ADG∽△ABC，$ AM=AH-DE=8-2y $，
可得：$\frac{y}{12}=\frac{8-2y}{8}$
交叉相乘得：$8y=12(8-2y)$
解得：$y=3$
矩形面积$ S_2=y· 2y=2y^2=2×3^2=18\ \mathrm{cm}^2 $
∵$\frac{1152}{49}＞18$，即$ S_1＞S_2 $，因此图1的方案更好。
【答案】
图1的设计方案更好，加工得到的矩形面积更大。
【知识点】
相似三角形的性质、矩形面积计算、一元一次方程应用
【点评】
本题是相似三角形在实际问题中的应用，解题核心是利用相似三角形对应高的比等于相似比建立等量关系，求解时需注意两种方案中矩形长、宽的位置差异，避免混淆对应边的比例关系。
【难度系数】
0.6
▲7.如图，路灯P距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部O处20米的A点，沿OA所在的直线向O的方向行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
答案
7.身影的长度变短了,变短了3.5m
解析
【分析】
本题属于中心投影的实际应用问题，解题核心是利用平行关系构造相似三角形。首先明确：小明的身高和路灯高度均垂直于地面，因此小明身高与路灯高度平行，可分别得到小明在A点、B点时对应的两组相似三角形；接下来设两个位置的影长为未知数，根据相似三角形对应边成比例列方程求解两个影长，最后比较两个影长的差值即可判断变化情况和变化量。
【解析】
设小明在A点时的影长AM为$x$米，在B点时的影长BN为$y$米。
∵ $AC⊥ OM$，$OP⊥ OM$，
∴ $AC// OP$
∴ $∠ MAC=∠ MOP=90°$，又
∵$∠ M$是公共角
∴ $△ MAC∽△ MOP$
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AC}{OP}=\frac{MA}{MO}$
已知$AC=1.6\mathrm{m}$，$OP=8\mathrm{m}$，$OA=20\mathrm{m}$，$MO=MA+OA=x+20$，代入得：
$\frac{1.6}{8}=\frac{x}{x+20}$
解得：$x=5$，即A点处影长为5米。
小明从A点走到B点，$OB=OA-AB=20-14=6\mathrm{m}$
同理，$BD⊥ OM$，$OP⊥ OM$，$BD// OP$，可得$△ NBD∽△ NOP$
$\frac{BD}{OP}=\frac{NB}{NO}$，$NO=NB+OB=y+6$，代入得：
$\frac{1.6}{8}=\frac{y}{y+6}$
解得：$y=1.5$，即B点处影长为1.5米。
影长变化量为$5-1.5=3.5$米，因此身影变短了。
【答案】
身影的长度变短了，变短了3.5m
【知识点】
相似三角形的应用；中心投影；比例方程求解
【点评】
本题结合生活中路灯下影子变化的实际场景，考查相似三角形的实际应用，解题的关键是准确找到相似三角形，利用对应边成比例建立方程求解，将实际问题转化为几何计算问题。
【难度系数】
0.7
本题属于中心投影的实际应用问题，解题核心是利用平行关系构造相似三角形。首先明确：小明的身高和路灯高度均垂直于地面，因此小明身高与路灯高度平行，可分别得到小明在A点、B点时对应的两组相似三角形；接下来设两个位置的影长为未知数，根据相似三角形对应边成比例列方程求解两个影长，最后比较两个影长的差值即可判断变化情况和变化量。
【解析】
设小明在A点时的影长AM为$x$米，在B点时的影长BN为$y$米。
∵ $AC⊥ OM$，$OP⊥ OM$，
∴ $AC// OP$
∴ $∠ MAC=∠ MOP=90°$，又
∵$∠ M$是公共角
∴ $△ MAC∽△ MOP$
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AC}{OP}=\frac{MA}{MO}$
已知$AC=1.6\mathrm{m}$，$OP=8\mathrm{m}$，$OA=20\mathrm{m}$，$MO=MA+OA=x+20$，代入得：
$\frac{1.6}{8}=\frac{x}{x+20}$
解得：$x=5$，即A点处影长为5米。
小明从A点走到B点，$OB=OA-AB=20-14=6\mathrm{m}$
同理，$BD⊥ OM$，$OP⊥ OM$，$BD// OP$，可得$△ NBD∽△ NOP$
$\frac{BD}{OP}=\frac{NB}{NO}$，$NO=NB+OB=y+6$，代入得：
$\frac{1.6}{8}=\frac{y}{y+6}$
解得：$y=1.5$，即B点处影长为1.5米。
影长变化量为$5-1.5=3.5$米，因此身影变短了。
【答案】
身影的长度变短了，变短了3.5m
【知识点】
相似三角形的应用；中心投影；比例方程求解
【点评】
本题结合生活中路灯下影子变化的实际场景，考查相似三角形的实际应用，解题的关键是准确找到相似三角形，利用对应边成比例建立方程求解，将实际问题转化为几何计算问题。
【难度系数】
0.7
