知识点 三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫作三角形的，内切圆的圆心是三角形三条的交点，叫作三角形的，这个三角形叫作圆的.
例 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.书中有这样一个问题:“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何?”其意思是:“如图，今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少?”在此问题中，该内切圆的直径是 ()


A.5步
B.6步
C.8步
D.10步
解析 如图，分别连接圆心和三个切点，及OA，OB，OC，在Rt△ABC中，AC=8，BC=15，∠C=90°，所以$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=17$.

所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}×8×15=60$. 设内切圆的圆心为O，内切圆的半径为r.
—解题要点
由勾股定理可求得斜边长，分别连接圆心和三个切点，构造出三角形. 设内切圆的半径为r，利用面积相等可得到关于r的方程，可求得内切圆的半径，进而可求得内切圆的直径.
由图可知$S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× r(AB+BC+AC)=20r$. 所以20r=60，解得r=3.
所以2r=6，即该内切圆的直径是6步.
答案 B

1. 内切圆
2. 角平分线
3. 内心
4. 外切三角形
例. B

【分析】
本题分为基础概念填空和应用题两部分。概念填空部分考察三角形内切圆的相关基础定义，直接结合教材所学的对应定义内容即可填写。应用题是直角三角形内切圆直径的计算，解题思路如下：首先，已知直角三角形的两条直角边长度，可先用勾股定理求出斜边的长度；其次，设内切圆半径为r，连接圆心与三个顶点，可将原三角形分割为3个分别以原三角形三边为底、内切圆半径为高的小三角形，根据“3个小三角形的面积之和等于原直角三角形的面积”这一等量关系列方程；最后解方程求出半径r，将半径乘2即可得到内切圆直径，对应选出正确选项。
【解析】
1. 概念填空：
根据三角形内切圆的相关定义，与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形。
2. 例题解析：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8步，BC=15步，根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+15^2}=17$步
设内切圆的半径为r，连接OA、OB、OC，可得$S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}$
代入面积公式得：$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· r+\frac{1}{2}BC· r+\frac{1}{2}AC· r$
化简得：$AC· BC=(AB+BC+AC)· r$
代入数值计算：$8×15=(17+15+8)r$，即$120=40r$，解得$r=3$步
因此内切圆直径为$2r=6$步，对应选项B。
【答案】
1. 内切圆 2. 角平分线 3. 内心 4. 外切三角形 例：B
【知识点】
三角形内切圆概念；勾股定理；面积法求内切圆半径
【点评】
本题兼顾基础概念考察与数学文化应用，概念填空部分侧重对本节核心定义的识记，例题结合我国古代数学典籍《九章算术》的内容，既考察勾股定理的基础应用，也考察分割法建立面积等量关系的常用解题思路，能较好检验学生对本节基础内容的掌握程度。
【难度系数】
0.7