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3. 如图，过$\odot O$上一点C作$\odot O$的切线，与$\odot O$的直径AB的延长线交于点D.若$∠ D = 38°$，E为$\odot O$上一点，连接EB，EC，则$∠ E$的度数为
26°
.答案
3. 26°
解析
【分析】
解决本题首先要想到圆的切线性质相关辅助线作法：连接圆心O和切点C，得到OC⊥CD，构造出Rt△OCD；再利用直角三角形两锐角互余求出弧BC对应的圆心角∠COB的度数；最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠E的度数。
【解析】
连接OC，
∵CD是⊙O的切线，C为切点，
∴OC⊥CD，即∠OCD=90°，
在Rt△OCD中，∠D=38°，
∴∠COB=90°-∠D=90°-38°=52°，
∵∠E是弧BC所对的圆周角，∠COB是弧BC所对的圆心角，
∴根据圆周角定理，∠E=$\frac{1}{2}$∠COB=$\frac{1}{2}$×52°=26°。
【答案】
26°
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础应用类题目，核心考查切线性质和圆周角定理的结合应用，解题的关键是熟练掌握切线问题的常规辅助线作法，通过圆心角搭建已知角和未知圆周角的关联桥梁。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要想到圆的切线性质相关辅助线作法：连接圆心O和切点C，得到OC⊥CD，构造出Rt△OCD；再利用直角三角形两锐角互余求出弧BC对应的圆心角∠COB的度数；最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠E的度数。
【解析】
连接OC，
∵CD是⊙O的切线，C为切点，
∴OC⊥CD，即∠OCD=90°，
在Rt△OCD中，∠D=38°，
∴∠COB=90°-∠D=90°-38°=52°，
∵∠E是弧BC所对的圆周角，∠COB是弧BC所对的圆心角，
∴根据圆周角定理，∠E=$\frac{1}{2}$∠COB=$\frac{1}{2}$×52°=26°。
【答案】
26°
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础应用类题目，核心考查切线性质和圆周角定理的结合应用，解题的关键是熟练掌握切线问题的常规辅助线作法，通过圆心角搭建已知角和未知圆周角的关联桥梁。
【难度系数】
0.7
4. 如图，AB是$\odot O$的弦，PB与$\odot O$相切于点B，圆心O在线段PA上. 已知$∠ P=50°$，求$∠ PAB$的大小.
答案
解 如图，连接OB. 因为AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，所以PB⊥OB. 所以∠OBP=90°. 因为∠P=50°，所以∠POB=90°−∠P=40°. 所以∠PAB=$\frac{1}{2}$∠POB=20°.
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，题目给出PB是圆的切线，根据切线相关问题的常规思路，第一步应连接切点B和圆心O，利用切线的性质得到OB⊥PB，构造出直角三角形OBP。已知∠P=50°，就可以在直角三角形中求出∠POB的度数。接下来要求的∠PAB是圆周角，它所对的弧和圆心角∠POB所对的弧相同，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，就可以直接计算出∠PAB的度数。
【解析】
解：如图，连接OB。
∵ PB与⊙O相切于点B，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，
∴ OB⊥PB，即∠OBP=90°。
在Rt△OBP中，∠P=50°，
∴ ∠POB=90°-∠P=90°-50°=40°。
∵ ∠PAB是弧AB所对的圆周角，∠POB是弧AB所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ∠PAB=$\frac{1}{2}$∠POB=$\frac{1}{2}$×40°=20°。
【答案】
解 如图，连接OB. 因为AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，所以PB⊥OB. 所以∠OBP=90°. 因为∠P=50°，所以∠POB=90°−∠P=40°. 所以∠PAB=$\frac{1}{2}$∠POB=20°.
【知识点】
切线的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础应用问题，核心是掌握切线类问题的常用辅助线做法，即连接切点与圆心构造直角，再结合圆周角定理即可求解，需熟练掌握相关性质定理。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件，题目给出PB是圆的切线，根据切线相关问题的常规思路，第一步应连接切点B和圆心O，利用切线的性质得到OB⊥PB，构造出直角三角形OBP。已知∠P=50°，就可以在直角三角形中求出∠POB的度数。接下来要求的∠PAB是圆周角，它所对的弧和圆心角∠POB所对的弧相同，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，就可以直接计算出∠PAB的度数。
【解析】
解：如图，连接OB。
∵ PB与⊙O相切于点B，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，
∴ OB⊥PB，即∠OBP=90°。
在Rt△OBP中，∠P=50°，
∴ ∠POB=90°-∠P=90°-50°=40°。
∵ ∠PAB是弧AB所对的圆周角，∠POB是弧AB所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ∠PAB=$\frac{1}{2}$∠POB=$\frac{1}{2}$×40°=20°。
【答案】
解 如图，连接OB. 因为AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，所以PB⊥OB. 所以∠OBP=90°. 因为∠P=50°，所以∠POB=90°−∠P=40°. 所以∠PAB=$\frac{1}{2}$∠POB=20°.
【知识点】
切线的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础应用问题，核心是掌握切线类问题的常用辅助线做法，即连接切点与圆心构造直角，再结合圆周角定理即可求解，需熟练掌握相关性质定理。
【难度系数】
0.8
5. 下列命题正确的是 （
A.垂直于半径的直线是圆的切线
B.经过半径外端的直线是圆的切线
C.经过切点的直线是圆的切线
D.圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线
D
）A.垂直于半径的直线是圆的切线
B.经过半径外端的直线是圆的切线
C.经过切点的直线是圆的切线
D.圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线
答案
5. D
解析
【分析】
要判断各选项是否正确，需紧扣圆的切线的两个判定依据：①经过半径外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线，两个条件必须同时满足；②若圆心到某直线的距离等于半径，则这条直线是圆的切线。接下来逐个比对选项是否符合判定依据即可。
【解析】
我们逐一分析选项：
选项A：仅说明直线垂直于半径，未说明直线经过半径外端，不满足切线判定的全部条件，该直线可能是圆的割线，因此A错误。
选项B：仅说明直线经过半径外端，未说明直线垂直于这条半径，不满足切线判定的全部条件，该直线可能是圆的割线，因此B错误。
选项C：经过切点的直线如果不垂直于过切点的半径，就是圆的割线，不一定是切线，因此C错误。
选项D：圆心到直线的距离等于半径，符合切线的判定规则，这条直线一定是圆的切线，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
圆的切线的判定
【点评】
本题是对圆的切线基础概念的考查，重点是要牢记切线判定的两个必要条件缺一不可，熟练掌握判定规则即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
要判断各选项是否正确，需紧扣圆的切线的两个判定依据：①经过半径外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线，两个条件必须同时满足；②若圆心到某直线的距离等于半径，则这条直线是圆的切线。接下来逐个比对选项是否符合判定依据即可。
【解析】
我们逐一分析选项：
选项A：仅说明直线垂直于半径，未说明直线经过半径外端，不满足切线判定的全部条件，该直线可能是圆的割线，因此A错误。
选项B：仅说明直线经过半径外端，未说明直线垂直于这条半径，不满足切线判定的全部条件，该直线可能是圆的割线，因此B错误。
选项C：经过切点的直线如果不垂直于过切点的半径，就是圆的割线，不一定是切线，因此C错误。
选项D：圆心到直线的距离等于半径，符合切线的判定规则，这条直线一定是圆的切线，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
圆的切线的判定
【点评】
本题是对圆的切线基础概念的考查，重点是要牢记切线判定的两个必要条件缺一不可，熟练掌握判定规则即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
6. 如图，已知$\odot P$的半径为1，圆心P在抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 -1$上运动，当点P的坐标为
(-2, 1), (2, 1), (0, −1)
时，$\odot P$与x轴相切。答案
6. (-2, 1), (2, 1), (0, −1)
解析
【分析】
解题时首先回忆圆与直线相切的性质：当圆与直线相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径。本题中⊙P与x轴相切，半径为1，因此圆心P到x轴的距离等于1，即点P的纵坐标的绝对值为1。再结合圆心P在抛物线上，将纵坐标的两个可能取值（1和-1）分别代入抛物线解析式，求出对应的横坐标，即可得到点P的坐标。
【解析】
解：
∵⊙P的半径为1，且⊙P与x轴相切，
∴圆心P到x轴的距离等于半径1，即点P的纵坐标满足$|y|=1$，
∴$y=1$或$y=-1$。
①当$y=1$时，将$y=1$代入抛物线解析式$y=\frac{1}{2}x^2 -1$，得：
$1=\frac{1}{2}x^2 -1$
整理得$\frac{1}{2}x^2=2$，即$x^2=4$，
解得$x=2$或$x=-2$，
此时点P的坐标为$(2,1)$或$(-2,1)$。
②当$y=-1$时，将$y=-1$代入抛物线解析式$y=\frac{1}{2}x^2 -1$，得：
$-1=\frac{1}{2}x^2 -1$
整理得$\frac{1}{2}x^2=0$，
解得$x=0$，
此时点P的坐标为$(0,-1)$。
综上，点P的坐标为$(-2,1)$、$(2,1)$、$(0,-1)$。
【答案】
(-2, 1), (2, 1), (0, −1)
【知识点】
圆与直线相切的性质；二次函数图象上点的坐标特征；解一元二次方程
【点评】
本题属于圆与二次函数的综合基础题，解题的突破口是根据圆与x轴相切的条件得到圆心纵坐标的取值，求解时要注意纵坐标正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆圆与直线相切的性质：当圆与直线相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径。本题中⊙P与x轴相切，半径为1，因此圆心P到x轴的距离等于1，即点P的纵坐标的绝对值为1。再结合圆心P在抛物线上，将纵坐标的两个可能取值（1和-1）分别代入抛物线解析式，求出对应的横坐标，即可得到点P的坐标。
【解析】
解：
∵⊙P的半径为1，且⊙P与x轴相切，
∴圆心P到x轴的距离等于半径1，即点P的纵坐标满足$|y|=1$，
∴$y=1$或$y=-1$。
①当$y=1$时，将$y=1$代入抛物线解析式$y=\frac{1}{2}x^2 -1$，得：
$1=\frac{1}{2}x^2 -1$
整理得$\frac{1}{2}x^2=2$，即$x^2=4$，
解得$x=2$或$x=-2$，
此时点P的坐标为$(2,1)$或$(-2,1)$。
②当$y=-1$时，将$y=-1$代入抛物线解析式$y=\frac{1}{2}x^2 -1$，得：
$-1=\frac{1}{2}x^2 -1$
整理得$\frac{1}{2}x^2=0$，
解得$x=0$，
此时点P的坐标为$(0,-1)$。
综上，点P的坐标为$(-2,1)$、$(2,1)$、$(0,-1)$。
【答案】
(-2, 1), (2, 1), (0, −1)
【知识点】
圆与直线相切的性质；二次函数图象上点的坐标特征；解一元二次方程
【点评】
本题属于圆与二次函数的综合基础题，解题的突破口是根据圆与x轴相切的条件得到圆心纵坐标的取值，求解时要注意纵坐标正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
7. 如图，直线AB经过$\odot O$上的点C，并且$OA = OB$，$CA = CB$.求证：直线AB是$\odot O$的切线.
答案
证明 如图，连接OC. 因为OA=OB，CA=CB，所以OC⊥AB. 所以直线AB是⊙O的切线.
解析
【分析】
要证明直线AB是$\odot O$的切线，需依据切线的判定定理，满足两个核心条件：一是直线与圆有公共点（本题中AB经过圆上的点C，该条件已成立）；二是直线垂直于过该公共点的半径，即需要证明$OC⊥ AB$。题目给出$OA=OB$，说明$△ OAB$是等腰三角形，又给出$CA=CB$，即C是AB的中点，结合等腰三角形“三线合一”的性质，只需连接辅助线OC，即可推导出$OC⊥ AB$，进而完成证明。
【解析】
证明：连接辅助线OC，
已知$OA=OB$，故$△ OAB$为等腰三角形，
又已知$CA=CB$，即C是等腰$△ OAB$底边AB的中点，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得$OC⊥ AB$。
因为点C在$\odot O$上，OC是$\odot O$的半径，结合切线的判定定理，可得出直线AB是$\odot O$的切线。
【答案】
证明 如图，连接OC. 因为OA=OB，CA=CB，所以OC⊥AB. 所以直线AB是⊙O的切线.
【知识点】
切线的判定定理；等腰三角形三线合一
【点评】
本题是切线判定的基础题型，考查了切线判定的常用思路：当已知直线与圆有公共点时，优先选择“连半径，证垂直”的辅助线做法，结合等腰三角形的性质即可快速解题，是巩固圆的切线判定的典型习题。
【难度系数】
0.85
要证明直线AB是$\odot O$的切线，需依据切线的判定定理，满足两个核心条件：一是直线与圆有公共点（本题中AB经过圆上的点C，该条件已成立）；二是直线垂直于过该公共点的半径，即需要证明$OC⊥ AB$。题目给出$OA=OB$，说明$△ OAB$是等腰三角形，又给出$CA=CB$，即C是AB的中点，结合等腰三角形“三线合一”的性质，只需连接辅助线OC，即可推导出$OC⊥ AB$，进而完成证明。
【解析】
证明：连接辅助线OC，
已知$OA=OB$，故$△ OAB$为等腰三角形，
又已知$CA=CB$，即C是等腰$△ OAB$底边AB的中点，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得$OC⊥ AB$。
因为点C在$\odot O$上，OC是$\odot O$的半径，结合切线的判定定理，可得出直线AB是$\odot O$的切线。
【答案】
证明 如图，连接OC. 因为OA=OB，CA=CB，所以OC⊥AB. 所以直线AB是⊙O的切线.
【知识点】
切线的判定定理；等腰三角形三线合一
【点评】
本题是切线判定的基础题型，考查了切线判定的常用思路：当已知直线与圆有公共点时，优先选择“连半径，证垂直”的辅助线做法，结合等腰三角形的性质即可快速解题，是巩固圆的切线判定的典型习题。
【难度系数】
0.85
8. 如图，AD，AE是$\odot O$的切线，D，E为切点，BC切$\odot O$于点F，分别交AD，AE于点B，C. 若$AD=8$，则$△ ABC$的周长是 （
A.8
B.10
C.16
D.24
C
）A.8
B.10
C.16
D.24
答案
8. C
解析
【分析】
解题时首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。首先由AD、AE是⊙O的切线可得AD=AE，再由BC是⊙O的切线，可得BD=BF、CE=CF，最后将△ABC的周长通过等量代换转化为AD与AE的和，代入已知数值即可计算出结果。
【解析】
根据切线长定理：
∵AD、AE分别为⊙O的切线，切点为D、E，
∴AE=AD=8，
又
∵BC切⊙O于点F，BD、BF是点B向⊙O引的两条切线，CE、CF是点C向⊙O引的两条切线，
∴BD=BF，CE=CF，
∴△ABC的周长为：
$C_{△ ABC}=AB+BC+AC$
$=AB+BF+CF+AC$
将BF替换为BD，CF替换为CE，可得：
$=AB+BD+CE+AC$
$=(AB+BD)+(AC+CE)$
$=AD+AE$
$=8+8=16$
【答案】
C
【知识点】
1. 切线长定理
2. 周长的等量代换
【点评】
本题是圆的切线性质的基础应用题，解题核心是利用切线长定理完成线段的等量转化，将未知的三角形周长转化为已知的切线长，解题时注意不要漏看相等的切线长即可顺利作答。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。首先由AD、AE是⊙O的切线可得AD=AE，再由BC是⊙O的切线，可得BD=BF、CE=CF，最后将△ABC的周长通过等量代换转化为AD与AE的和，代入已知数值即可计算出结果。
【解析】
根据切线长定理：
∵AD、AE分别为⊙O的切线，切点为D、E，
∴AE=AD=8，
又
∵BC切⊙O于点F，BD、BF是点B向⊙O引的两条切线，CE、CF是点C向⊙O引的两条切线，
∴BD=BF，CE=CF，
∴△ABC的周长为：
$C_{△ ABC}=AB+BC+AC$
$=AB+BF+CF+AC$
将BF替换为BD，CF替换为CE，可得：
$=AB+BD+CE+AC$
$=(AB+BD)+(AC+CE)$
$=AD+AE$
$=8+8=16$
【答案】
C
【知识点】
1. 切线长定理
2. 周长的等量代换
【点评】
本题是圆的切线性质的基础应用题，解题核心是利用切线长定理完成线段的等量转化，将未知的三角形周长转化为已知的切线长，解题时注意不要漏看相等的切线长即可顺利作答。
【难度系数】
0.7
9. 如图，梯形ABCD的四条边都与$\odot O$相切，若$AD // BC$，则$∠ DOC$的度数为（
A.$70°$
B.$90°$
C.$60°$
D.$45°$
B
）A.$70°$
B.$90°$
C.$60°$
D.$45°$
答案
9. B
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：梯形ABCD是⊙O的外切四边形，即四边均与⊙O相切，首先回忆切线长定理的推论：从圆外一点引圆的两条切线，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角，因此可得OD平分∠ADC、OC平分∠BCD；再结合AD//BC的条件，根据平行线的同旁内角互补，可得∠ADC与∠BCD的和为180°，进而可推出∠ODC与∠OCD的和为90°，最后利用三角形内角和为180°，即可求出∠DOC的度数。
【解析】
∵ 梯形ABCD的四条边都与⊙O相切，
∴ 根据切线长定理的推论，OD平分∠ADC，OC平分∠BCD，
即 $∠ ODC = \frac{1}{2}∠ ADC$，$∠ OCD = \frac{1}{2}∠ BCD$。
又
∵ $AD // BC$，
∴ $∠ ADC + ∠ BCD = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
∴ $∠ ODC + ∠ OCD = \frac{1}{2}(∠ ADC + ∠ BCD) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$。
在$△ DOC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ DOC = 180° - (∠ ODC + ∠ OCD) = 180° - 90° = 90°$。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理、平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与四边形结合的基础题型，解题的关键是熟练掌握切线长定理的相关结论，结合平行线的角度关系和三角形内角和公式即可快速推导结果，需要注意对基础定理的灵活应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征：梯形ABCD是⊙O的外切四边形，即四边均与⊙O相切，首先回忆切线长定理的推论：从圆外一点引圆的两条切线，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角，因此可得OD平分∠ADC、OC平分∠BCD；再结合AD//BC的条件，根据平行线的同旁内角互补，可得∠ADC与∠BCD的和为180°，进而可推出∠ODC与∠OCD的和为90°，最后利用三角形内角和为180°，即可求出∠DOC的度数。
【解析】
∵ 梯形ABCD的四条边都与⊙O相切，
∴ 根据切线长定理的推论，OD平分∠ADC，OC平分∠BCD，
即 $∠ ODC = \frac{1}{2}∠ ADC$，$∠ OCD = \frac{1}{2}∠ BCD$。
又
∵ $AD // BC$，
∴ $∠ ADC + ∠ BCD = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
∴ $∠ ODC + ∠ OCD = \frac{1}{2}(∠ ADC + ∠ BCD) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$。
在$△ DOC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ DOC = 180° - (∠ ODC + ∠ OCD) = 180° - 90° = 90°$。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理、平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与四边形结合的基础题型，解题的关键是熟练掌握切线长定理的相关结论，结合平行线的角度关系和三角形内角和公式即可快速推导结果，需要注意对基础定理的灵活应用。
【难度系数】
0.7
