1. 用无刻度的直尺和圆规确定$△ ABC$的内心，下列作法正确的是 （）

1. C

【分析】
要确定△ABC的内心，首先需明确三角形内心的定义：三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此只需判断选项中尺规作图得到的交点是否为两条内角平分线的交点即可。首先回忆尺规作图的特征：角平分线的作图痕迹是从角顶点出发，在角两边画弧后再作交点连线；垂直平分线的作图痕迹是在线段上下各有一个弧的交点，连线垂直于线段。接下来逐一判断各选项的作图类型：A选项作图为两条边的垂直平分线，交点是外心，不符合；B选项包含边的垂直平分线，不符合；C选项为两个内角的角平分线，交点为内心，符合要求；D选项包含边的垂直平分线，不符合。
【解析】
三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，据此逐一分析选项：
1. 选项A：所作两条线分别是边BC、边AC的垂直平分线，交点为三角形的外心（三边垂直平分线的交点），不是内心，故A错误；
2. 选项B：作图包含边BC的垂直平分线，不是两条内角平分线，交点不是内心，故B错误；
3. 选项C：所作两条线分别是∠ABC和∠ACB的内角平分线，两条内角平分线的交点即为△ABC的内心，故C正确；
4. 选项D：作图包含边BC的垂直平分线，不是两条内角平分线，交点不是内心，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的定义；尺规作角平分线
【点评】
本题属于基础概念和基本作图结合的题型，解题的关键是牢记三角形内心的定义，同时能准确识别角平分线、垂直平分线的尺规作图痕迹。
【难度系数】
0.7

2. 在$△ ABC$内部取一点$P$，使得点$P$到$△ ABC$的三边距离相等，则点$P$应是$△ ABC$的（）

A.三条高的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三边的垂直平分线的交点

2. B

【分析】
首先审清题干核心条件：点P在△ABC内部，且到三边的距离相等。解题时先回忆相关几何性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，若要同时到三角形三个边的距离相等，则该点需同时在三个内角的角平分线上，即三条角平分线的交点。再逐一辨析各选项对应交点的性质，排除不符合条件的选项即可得到答案。
【解析】
我们逐一分析各选项对应的交点性质：
A. 三条高的交点是三角形的垂心，无“到三边距离相等”的性质，不符合要求，排除；
B. 角平分线上的点到角两边的距离相等，因此三角形三条角平分线的交点，到三角形三边的距离均相等，符合题干要求；
C. 三条中线的交点是三角形的重心，性质为重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，与到三边距离相等无关，排除；
D. 三边垂直平分线的交点是三角形的外心，性质为到三角形三个顶点的距离相等，并非到三边距离相等，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；三角形特殊点的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点区分三角形不同特殊线段交点的性质，其中尤其要注意区分内心（角平分线交点，到三边等距）和外心（垂直平分线交点，到三顶点等距）的性质差异，避免概念混淆导致失分。
【难度系数】
0.8

3. 如图，点O为$△ ABC$的内心，$∠ A = 70°$，则$∠ BOC$的度数为。

3. $125°$

【分析】
解题时首先明确三角形内心的性质：内心是三角形三条角平分线的交点，因此OB平分∠ABC、OC平分∠ACB。要求∠BOC，可先在△ABC中利用内角和定理求出∠ABC与∠ACB的和，再根据角平分线的性质得到△BOC中两个底角的和，最后在△BOC中再次利用内角和定理即可求出∠BOC的度数。
【解析】
∵点O是△ABC的内心
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，即$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△ABC中，$∠ A=70°$，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-70°=110°$
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×110°=55°$
在△BOC中，再次利用三角形内角和定理：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-55°=125°$
【答案】
$125°$
【知识点】
1. 三角形内心的性质
2. 三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是牢记三角形内心是内角平分线的交点，结合两次运用三角形内角和定理即可推导得出结果，也可直接记住结论：三角形中内心与两个顶点的夹角等于90°加第三个内角度数的一半，可快速求解。
【难度系数】
0.8

4. 直角三角形两条直角边长分别为6和8，
则此三角形的内切圆半径为，
外接圆半径为。

4. 2 5

【分析】
解题时首先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长，再结合直角三角形外接圆、内切圆的相关性质分别计算半径：1. 直角三角形的外接圆直径等于斜边长，因此外接圆半径为斜边的一半；2. 直角三角形的内切圆半径可直接用公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（$a、b$为直角边，$c$为斜边）计算，也可通过面积法推导求解。
【解析】
第一步：求直角三角形的斜边长
由勾股定理得，斜边长$c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
第二步：计算外接圆半径
直角三角形的外接圆直径为斜边长，因此外接圆半径$R=\frac{c}{2}=\frac{10}{2}=5$
第三步：计算内切圆半径
根据直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$，代入数据得：$r=\frac{6+8-10}{2}=2$
【答案】
2；5
【知识点】
勾股定理；三角形外接圆性质；三角形内切圆性质
【点评】
本题是基础常考题，主要考查直角三角形与圆结合的半径计算问题，牢记对应性质和公式即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8

5. 如图，网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A，B，C在平面直角坐标系中的坐标分别为（3，6），（－3，3），（7，－2），则△ABC内心的坐标为。

5. (2, 3)

【分析】
要确定△ABC内心的坐标，首先明确三角形内心是三条角平分线的交点，到三边距离相等。解题时先通过两点间距离公式算出三角形三边的长度，再利用三角形内心坐标公式（内心坐标为各顶点坐标乘以对应对边长度之和除以三角形周长）计算即可，也可结合直角三角形内心的特点辅助验证结果。
【解析】
根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，先计算△ABC三边的长度：
1. 边$AB$：$A(3,6)$，$B(-3,3)$，$AB=\sqrt{(3+3)^2+(6-3)^2}=3\sqrt{5}$，记为$c=AB=3\sqrt{5}$（对应顶点$C$的对边）；
2. 边$AC$：$A(3,6)$，$C(7,-2)$，$AC=\sqrt{(7-3)^2+(-2-6)^2}=4\sqrt{5}$，记为$b=AC=4\sqrt{5}$（对应顶点$B$的对边）；
3. 边$BC$：$B(-3,3)$，$C(7,-2)$，$BC=\sqrt{(7+3)^2+(-2-3)^2}=5\sqrt{5}$，记为$a=BC=5\sqrt{5}$（对应顶点$A$的对边）。
三角形内心坐标公式为：$I(\frac{a x_A + b x_B + c x_C}{a+b+c},\frac{a y_A + b y_B + c y_C}{a+b+c})$，代入数值计算：
横坐标：$\frac{5\sqrt{5}×3 + 4\sqrt{5}×(-3) + 3\sqrt{5}×7}{5\sqrt{5}+4\sqrt{5}+3\sqrt{5}}=\frac{24\sqrt{5}}{12\sqrt{5}}=2$
纵坐标：$\frac{5\sqrt{5}×6 + 4\sqrt{5}×3 + 3\sqrt{5}×(-2)}{12\sqrt{5}}=\frac{36\sqrt{5}}{12\sqrt{5}}=3$
【答案】
(2, 3)
【知识点】
三角形内心性质，两点间距离公式，直角三角形性质
【点评】
本题重点考查三角形内心相关性质的应用，解题关键是熟练计算三角形边长，也可通过作角平分线找交点的方法验证结果，属于基础类综合题。
【难度系数】
0.6

6. 如图，$△ ABC$ 的内切圆$\odot O$与 $BC$，$CA$，$AB$ 分别相切于点 $D$，$E$，$F$，且 $AB＝9$，$BC＝14$，$CA＝13$. 求 $AF$，$BD$，$CE$ 的长.

6. 解 根据切线长定理，设 $AE = AF = x$.
$BF=BD=y,\ CE=CD=z.$
根据题意，得$\begin{cases} x+y=9, \\ y+z=14, \\ x+z=13, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=4, \\ y=5, \\ z=9. \end{cases}$
即 $AF=4,\ BD=5,\ CE=9.$

【分析】
解题时先观察图形特征，已知⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切，首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，由此可得AF=AE、BF=BD、CD=CE三组相等线段。我们可以将三组相等线段的长度设为未知数，再结合△ABC三边的已知长度列出三元一次方程组，解方程组即可求出对应线段的长度。
【解析】
根据切线长定理，设$AE = AF = x$，$BF=BD=y$，$CE=CD=z$。
结合AB=9，BC=14，CA=13的已知条件，列方程组得：
$\begin{cases} x+y=9, \\ y+z=14, \\ x+z=13, \end{cases}$
将三个方程相加可得$2(x+y+z)=36$，即$x+y+z=18$，
用该式分别减去三个方程，解得：
$\begin{cases} x=4, \\ y=5, \\ z=9. \end{cases}$
因此$AF=x=4$，$BD=y=5$，$CE=z=9$。
【答案】
$AF=4$，$BD=5$，$CE=9$
【知识点】
切线长定理；三元一次方程组的应用
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础题型，核心考查切线长定理的应用，通过设未知数列方程的方法求解线段长度，解题逻辑清晰，掌握切线长定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8