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15.(本小题满分10分)某中学八年级学生的人数比七年级学生的人数多.某天做广播操时(七、八年级学生均无缺席),八年级学生站的是一个规范的长方形方阵,每排有$(3a + b)$人,共$(2a + 2b)$排;七年级学生站的是正方形方阵,排数和每排人数都是$2(a + b)$,其中$a ＞ b$.
(1)求该校八年级比七年级多多少名学生;(用含$a,b$的代数式表示)
(2)当$a = 10,b = 2$时,求该校八年级比七年级多多少名学生.
(1)求该校八年级比七年级多多少名学生;(用含$a,b$的代数式表示)
(2)当$a = 10,b = 2$时,求该校八年级比七年级多多少名学生.
答案
15. 解:(1)$(3a+b)(2a+2b)-[2(a+b)]^2=6a^2+6ab+2ab+2b^2-4(a^2+2ab+b^2)=6a^2+8ab+2b^2-4a^2-8ab-4b^2=2a^2-2b^2$.答:该校八年级比七年级多$(2a^2-2b^2)$名学生.(2)当$a=10,b=2$时,原式$=2×10^2-2×2^2=192$.答:该校八年级比七年级多192名学生.
解析
【分析】
解决本题首先明确方阵总人数的计算方法：总人数=每排人数×排数。第一问先分别求出八年级、七年级的学生总人数，再作差即可；计算过程中要用到多项式乘多项式法则、完全平方公式展开，再去括号合并同类项得到化简后的代数式。第二问属于代数式求值，直接将a、b的取值代入第一问得到的化简结果，按运算顺序计算即可得到具体数值。
【解析】
(1) 八年级学生总人数为长方形方阵人数：$(3a+b)(2a+2b)$
七年级学生总人数为正方形方阵人数：$[2(a+b)]^2$
则八年级比七年级多的人数为：
$\begin{split}&(3a+b)(2a+2b)-[2(a+b)]^2\\=&6a^2+6ab+2ab+2b^2-4(a^2+2ab+b^2)\\=&6a^2+8ab+2b^2-4a^2-8ab-4b^2\\=&2a^2-2b^2\end{split}$
(2) 当$a=10$，$b=2$时，代入$2a^2-2b^2$得：
$\begin{split}原式&=2×10^2-2×2^2\\&=2×100-2×4\\&=200-8\\&=192\end{split}$
【答案】
(1) 该校八年级比七年级多$(2a^2-2b^2)$名学生；
(2) 当$a=10,b=2$时，该校八年级比七年级多192名学生。
【知识点】
多项式乘多项式，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题结合实际方阵场景考查整式运算与代数式求值，属于基础题型，解题的核心是正确列出两个年级总人数的表达式，运算时注意去括号的符号变化，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
解决本题首先明确方阵总人数的计算方法：总人数=每排人数×排数。第一问先分别求出八年级、七年级的学生总人数，再作差即可；计算过程中要用到多项式乘多项式法则、完全平方公式展开，再去括号合并同类项得到化简后的代数式。第二问属于代数式求值，直接将a、b的取值代入第一问得到的化简结果，按运算顺序计算即可得到具体数值。
【解析】
(1) 八年级学生总人数为长方形方阵人数：$(3a+b)(2a+2b)$
七年级学生总人数为正方形方阵人数：$[2(a+b)]^2$
则八年级比七年级多的人数为：
$\begin{split}&(3a+b)(2a+2b)-[2(a+b)]^2\\=&6a^2+6ab+2ab+2b^2-4(a^2+2ab+b^2)\\=&6a^2+8ab+2b^2-4a^2-8ab-4b^2\\=&2a^2-2b^2\end{split}$
(2) 当$a=10$，$b=2$时，代入$2a^2-2b^2$得：
$\begin{split}原式&=2×10^2-2×2^2\\&=2×100-2×4\\&=200-8\\&=192\end{split}$
【答案】
(1) 该校八年级比七年级多$(2a^2-2b^2)$名学生；
(2) 当$a=10,b=2$时，该校八年级比七年级多192名学生。
【知识点】
多项式乘多项式，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题结合实际方阵场景考查整式运算与代数式求值，属于基础题型，解题的核心是正确列出两个年级总人数的表达式，运算时注意去括号的符号变化，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
16.(本小题满分 12 分)已知$A,B$均为整式,$A=(xy+1)(xy-2)-2x^{2}y^{2}+2$,小马在计算$A÷B$时,误把“÷”抄成了“−”,最后他计算的结果为$-x^{2}y^{2}$.
(1)将整式$A$化为最简形式；
(2)求整式$B$；
(3)求$A÷B$的正确结果.
(1)将整式$A$化为最简形式；
(2)求整式$B$；
(3)求$A÷B$的正确结果.
答案
16. 解:(1)$A=(xy+1)(xy-2)-2x^2y^2+2=x^2y^2-2xy+xy-2-2x^2y^2+2=-x^2y^2-xy$.(2)由题意,得$A-B=-x^2y^2$.由(1)知$A=-x^2y^2-xy$,$\therefore -x^2y^2-xy-B=-x^2y^2$.$\therefore B=-xy$.(3)$A÷B=(-x^2y^2-xy)÷(-xy)=xy+1$.
解析
【分析】
(1) 化简整式A时，先利用多项式乘多项式法则展开$(xy+1)(xy-2)$，再去括号后合并同类项，即可得到A的最简形式。
(2) 小马误将“÷”抄成“−”，说明错误运算的等式为$A-B=-x^2y^2$，将第一问得到的A的最简式代入该等式，通过移项计算即可求出B。
(3) 已知A和B的最简表达式，按照多项式除以单项式的运算法则计算$A÷B$，就能得到正确结果。
【解析】
(1) 化简A：
$\begin{aligned}A&=(xy+1)(xy-2)-2x^2y^2+2\\&=x^2y^2-2xy+xy-2-2x^2y^2+2\\&=-x^2y^2-xy\end{aligned}$
(2) 由题意得$A-B=-x^2y^2$，将$A=-x^2y^2-xy$代入：
$-x^2y^2-xy-B=-x^2y^2$
移项计算得：
$B=-x^2y^2-xy-(-x^2y^2)=-xy$
(3) 计算$A÷B$：
$\begin{aligned}A÷B&=(-x^2y^2-xy)÷(-xy)\\&=(-x^2y^2)÷(-xy)+(-xy)÷(-xy)\\&=xy+1\end{aligned}$
【答案】
(1) $A=-x^2y^2-xy$；(2) $B=-xy$；(3) 正确结果为$xy+1$
【知识点】
整式的混合运算，整式的加减，整式的除法
【点评】
本题是基础运算类题目，重点考查整式运算法则的应用，解题关键是准确理解题意，理清A和B的数量关系，计算时注意符号的处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.75
(1) 化简整式A时，先利用多项式乘多项式法则展开$(xy+1)(xy-2)$，再去括号后合并同类项，即可得到A的最简形式。
(2) 小马误将“÷”抄成“−”，说明错误运算的等式为$A-B=-x^2y^2$，将第一问得到的A的最简式代入该等式，通过移项计算即可求出B。
(3) 已知A和B的最简表达式，按照多项式除以单项式的运算法则计算$A÷B$，就能得到正确结果。
【解析】
(1) 化简A：
$\begin{aligned}A&=(xy+1)(xy-2)-2x^2y^2+2\\&=x^2y^2-2xy+xy-2-2x^2y^2+2\\&=-x^2y^2-xy\end{aligned}$
(2) 由题意得$A-B=-x^2y^2$，将$A=-x^2y^2-xy$代入：
$-x^2y^2-xy-B=-x^2y^2$
移项计算得：
$B=-x^2y^2-xy-(-x^2y^2)=-xy$
(3) 计算$A÷B$：
$\begin{aligned}A÷B&=(-x^2y^2-xy)÷(-xy)\\&=(-x^2y^2)÷(-xy)+(-xy)÷(-xy)\\&=xy+1\end{aligned}$
【答案】
(1) $A=-x^2y^2-xy$；(2) $B=-xy$；(3) 正确结果为$xy+1$
【知识点】
整式的混合运算，整式的加减，整式的除法
【点评】
本题是基础运算类题目，重点考查整式运算法则的应用，解题关键是准确理解题意，理清A和B的数量关系，计算时注意符号的处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.75
