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17.(本小题满分12分)阅读下列文字:
已知$x^2y=3$,求$2xy(x^5y^2 - 3x^3y -4x)$的值.
分析:考虑到满足$x^2y=3$的$x,y$的可能值较多,逐一代入求解非常烦琐,故考虑整体思想,将$x^2y=3$整体代入.
解:原式$=2x^6y^3 -6x^4y^2 -8x^2y=2(x^2y)^3 -6(x^2y)^2 -8x^2y=2×3^3 -6×3^2 -8×3=-24$.
已知$ab^2=3$,请用上述方法解答下列问题:
(1)求$a^2b^4$的值;
(2)求$(2a^3b^5 -3a^2b^3 +4ab)·(-2b)$的值.
已知$x^2y=3$,求$2xy(x^5y^2 - 3x^3y -4x)$的值.
分析:考虑到满足$x^2y=3$的$x,y$的可能值较多,逐一代入求解非常烦琐,故考虑整体思想,将$x^2y=3$整体代入.
解:原式$=2x^6y^3 -6x^4y^2 -8x^2y=2(x^2y)^3 -6(x^2y)^2 -8x^2y=2×3^3 -6×3^2 -8×3=-24$.
已知$ab^2=3$,请用上述方法解答下列问题:
(1)求$a^2b^4$的值;
(2)求$(2a^3b^5 -3a^2b^3 +4ab)·(-2b)$的值.
答案
17. 解:(1)$\because ab^2=3$,$\therefore a^2b^4=(ab^2)^2=3^2=9$.(2)原式$=-4a^3b^6+6a^2b^4-8ab^2=-4(ab^2)^3+6(ab^2)^2-8ab^2=-4×3^3+6×3^2-8×3=-78$.
解析
【分析】
本题运用整体代入思想求解，无需计算a、b的具体值：
1. 第(1)问：观察所求式$a^2b^4$，可利用积的乘方的逆运算变形为$(ab^2)^2$，刚好对应已知条件$ab^2=3$，直接代入即可求值。
2. 第(2)问：先根据单项式乘多项式的运算法则展开原式，再将展开后的各项逆用幂的运算公式，转化为含有$ab^2$的形式，最后将$ab^2=3$整体代入计算即可。
【解析】
(1) 已知$ab^2=3$，根据积的乘方逆运算可得：
$a^2b^4=(ab^2)^2$
将$ab^2=3$代入得：$3^2=9$。
(2) 先展开原式：
$\begin{aligned}(2a^3b^5 -3a^2b^3 +4ab)·(-2b)&=2a^3b^5·(-2b) -3a^2b^3·(-2b) +4ab·(-2b)\\&=-4a^3b^6 +6a^2b^4 -8ab^2\end{aligned}$
逆用幂的运算公式变形：$a^3b^6=(ab^2)^3$，$a^2b^4=(ab^2)^2$，则原式可写为：
$-4(ab^2)^3 +6(ab^2)^2 -8ab^2$
将$ab^2=3$代入得：
$\begin{aligned}&-4×3^3 +6×3^2 -8×3\\=&-4×27 +6×9 -24\\=&-108 +54 -24\\=&-78\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{9}$；(2) $\boxed{-78}$
【知识点】
1. 整式的乘法运算
2. 幂的乘方与积的乘方
3. 整体代入求值
【点评】
本题重点考查代数式的化简求值技巧，整体代入思想是简化代数式计算的常用方法，解题的关键是熟练掌握幂的运算的逆用，将所求代数式变形为含已知条件的形式，避免不必要的复杂计算。
【难度系数】
0.7
本题运用整体代入思想求解，无需计算a、b的具体值：
1. 第(1)问：观察所求式$a^2b^4$，可利用积的乘方的逆运算变形为$(ab^2)^2$，刚好对应已知条件$ab^2=3$，直接代入即可求值。
2. 第(2)问：先根据单项式乘多项式的运算法则展开原式，再将展开后的各项逆用幂的运算公式，转化为含有$ab^2$的形式，最后将$ab^2=3$整体代入计算即可。
【解析】
(1) 已知$ab^2=3$，根据积的乘方逆运算可得：
$a^2b^4=(ab^2)^2$
将$ab^2=3$代入得：$3^2=9$。
(2) 先展开原式：
$\begin{aligned}(2a^3b^5 -3a^2b^3 +4ab)·(-2b)&=2a^3b^5·(-2b) -3a^2b^3·(-2b) +4ab·(-2b)\\&=-4a^3b^6 +6a^2b^4 -8ab^2\end{aligned}$
逆用幂的运算公式变形：$a^3b^6=(ab^2)^3$，$a^2b^4=(ab^2)^2$，则原式可写为：
$-4(ab^2)^3 +6(ab^2)^2 -8ab^2$
将$ab^2=3$代入得：
$\begin{aligned}&-4×3^3 +6×3^2 -8×3\\=&-4×27 +6×9 -24\\=&-108 +54 -24\\=&-78\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{9}$；(2) $\boxed{-78}$
【知识点】
1. 整式的乘法运算
2. 幂的乘方与积的乘方
3. 整体代入求值
【点评】
本题重点考查代数式的化简求值技巧，整体代入思想是简化代数式计算的常用方法，解题的关键是熟练掌握幂的运算的逆用，将所求代数式变形为含已知条件的形式，避免不必要的复杂计算。
【难度系数】
0.7
18.(本小题满分12分)当我们利用两种不同的方法计算同一个图形的面积时,可以得到一个等式,例如,由图①可得等式$(a+2b)(a+b)=a^2+3ab+2b^2$.
(1)由图②可得等式:
(2)利用(1)中所得到的式子,解答下列问题:
已知$a+b+c=13$,$ab+bc+ac=28$,求$a^2+b^2+c^2$的值;
(3)一个长为$a+b$、宽为$a$的小长方形如图③所示,把6个大小相同的小长方形放入大长方形内(图④),求阴影部分的面积.(用含$a,b$的代数式表示)
(1)由图②可得等式:
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
;(2)利用(1)中所得到的式子,解答下列问题:
已知$a+b+c=13$,$ab+bc+ac=28$,求$a^2+b^2+c^2$的值;
(3)一个长为$a+b$、宽为$a$的小长方形如图③所示,把6个大小相同的小长方形放入大长方形内(图④),求阴影部分的面积.(用含$a,b$的代数式表示)
答案
18. 解:(1)$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$(2)由(1),得$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)=13^2-2×28=113$.(3)由题图可知大长方形的面积为$(a+a+b)(3a+a+b)=(2a+b)(4a+b)=8a^2+2ab+4ab+b^2=8a^2+6ab+b^2$,$\therefore$阴影部分的面积为$8a^2+6ab+b^2-6a(a+b)=8a^2+6ab+b^2-6a^2-6ab=2a^2+b^2$.
解析
【分析】
（1）我们可以通过两种方法计算图②的面积推导等式：方法一直接计算边长为$a+b+c$的大正方形面积，方法二将大正方形拆分为9个小图形，求和所有小图形的面积，两种方法得到的面积相等，即可得到对应等式。
（2）对（1）中得到的恒等式进行变形，将$a^2+b^2+c^2$单独放在等式一侧，再把已知的$a+b+c$、$ab+bc+ac$的值代入变形后的式子计算即可。
（3）阴影部分面积=大长方形面积-6个小长方形的总面积。首先观察图④确定大长方形的长和宽，计算出大长方形的面积，再计算6个小长方形的总面积，二者作差化简即可得到阴影部分面积。
【解析】
(1) 图②是边长为$a+b+c$的正方形，面积可表示为$(a+b+c)^2$；拆分后所有小图形的面积和为$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$，因此可得等式：
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
(2) 由(1)的等式变形可得：
$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)$
将$a+b+c=13$，$ab+bc+ac=28$代入上式：
原式$=13^2-2×28=169-56=113$
(3) 观察图④可得，大长方形的长为$2a+b$，宽为$4a+b$，因此大长方形面积为：
$(2a+b)(4a+b)=8a^2+2ab+4ab+b^2=8a^2+6ab+b^2$
每个小长方形（图③）的面积为$a(a+b)$，6个小长方形的总面积为$6a(a+b)$，因此阴影部分面积为：
$8a^2+6ab+b^2-6a(a+b)=8a^2+6ab+b^2-6a^2-6ab=2a^2+b^2$
【答案】
(1) $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
(2) $113$
(3) $2a^2+b^2$
【知识点】
完全平方公式拓展；整式的混合运算；面积法推导恒等式
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过几何图形面积的不同计算方式考查整式乘法相关知识，既要求掌握代数恒等式的推导和变形应用，也需要具备一定的读图能力，能准确从图形中提取边长信息进行计算。
【难度系数】
0.7
（1）我们可以通过两种方法计算图②的面积推导等式：方法一直接计算边长为$a+b+c$的大正方形面积，方法二将大正方形拆分为9个小图形，求和所有小图形的面积，两种方法得到的面积相等，即可得到对应等式。
（2）对（1）中得到的恒等式进行变形，将$a^2+b^2+c^2$单独放在等式一侧，再把已知的$a+b+c$、$ab+bc+ac$的值代入变形后的式子计算即可。
（3）阴影部分面积=大长方形面积-6个小长方形的总面积。首先观察图④确定大长方形的长和宽，计算出大长方形的面积，再计算6个小长方形的总面积，二者作差化简即可得到阴影部分面积。
【解析】
(1) 图②是边长为$a+b+c$的正方形，面积可表示为$(a+b+c)^2$；拆分后所有小图形的面积和为$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$，因此可得等式：
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
(2) 由(1)的等式变形可得：
$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)$
将$a+b+c=13$，$ab+bc+ac=28$代入上式：
原式$=13^2-2×28=169-56=113$
(3) 观察图④可得，大长方形的长为$2a+b$，宽为$4a+b$，因此大长方形面积为：
$(2a+b)(4a+b)=8a^2+2ab+4ab+b^2=8a^2+6ab+b^2$
每个小长方形（图③）的面积为$a(a+b)$，6个小长方形的总面积为$6a(a+b)$，因此阴影部分面积为：
$8a^2+6ab+b^2-6a(a+b)=8a^2+6ab+b^2-6a^2-6ab=2a^2+b^2$
【答案】
(1) $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
(2) $113$
(3) $2a^2+b^2$
【知识点】
完全平方公式拓展；整式的混合运算；面积法推导恒等式
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过几何图形面积的不同计算方式考查整式乘法相关知识，既要求掌握代数恒等式的推导和变形应用，也需要具备一定的读图能力，能准确从图形中提取边长信息进行计算。
【难度系数】
0.7
