6 一个两位数的个位数字比十位数字大1，如果将个位数字与十位数字对调，那么所得的两位数与原数的积比原数的平方大108，求这个两位数.

解：设这个数的个位数字为$x，$则十位数字为$x - 1.$ 原两位数为$10(x - 1)+x=10x - 10 + x = 11x - 10，$ 对调后的两位数为$10x+(x - 1)=11x - 1.$ 根据题意，得$(11x - 1)(11x - 10)-108=(11x - 10)^{2}，$ 展开式子得$121x^{2}-110x - 11x + 10 - 108 = 121x^{2}-220x + 100，$ 移项得$121x^{2}-121x - 98 - 121x^{2}+220x - 100 = 0，$ 合并同类项得$99x - 198 = 0，$ 解得$x = 2.$ 则十位数字为$x - 1=1.$ 答：这个两位数是$12.$

7 端午节是中国民间的传统节日，已有两千多年的历史.如图，在该月日历表上可以用一个方框圈出四个数，若将圈出的四个数按从小到大排列，中间两数的乘积为112，求这两个数.

解：设方框圈出四个数中最小的为​$x，$​则中间两个数分别是​$x + 1，$​​$x + 7$​ 根据题意，得​$(x + 1)(x + 7)=112，$​​$ $​展开式子得​$x^2+7x + x + 7 = 112，$​​$ $​移项得​$x^2+8x + 7 - 112 = 0，$​即​$x^2+8x - 105 = 0$​​$ $​因式分解得​$(x - 7)(x + 15)=0$​​$ $​解得​$x_{1}=7，$​​$x_{2}=-15($​因为日期不能为负数，不符合题意，舍去)，​$ $​所以​$x + 1=7 + 1 = 8，$​​$x + 7=7 + 7 = 14$​ 答：这两个数为​$8$​和​$14。$​

8 (新情境)（2024 镇江期中）公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到构造图形来寻找某个一元二次方程的解方法：先构造边长为$ x $的正方形$ ABCD $，再分别以$ BC,CD $为边做另一边长5的长方形，最后得到四边形$ AIFH $是面积为64的正方形，如图所示，则下列一元二次方程中满足花拉子米寻找的解的是 （ ）
A. $ x^2 + 10x = 25 $
B. $ x^2 + 10x = 64 $
C. $ x^2 + 10x = 39 $
D. $ x^2 + 10x = 89 $

C

9 如图,在长为 100 m,宽为 50 m 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路,若余下的部分全部种上花卉,且花圃的面积是 3 600 m²,则小路的宽是______ m.

5

10 如图,把长为 40 cm,宽为 30 cm 的长方形硬纸板,剪掉 2 个小正方形和 2 个小长方形(阴影部分即剪掉的部分),把剩余部分折成一个有盖的长方体盒子,记剪掉的小的正方形边长为 $ x \ \mathrm{cm} $(纸板的厚度忽略不计),若折成的长方体盒子表面积为 $ 950 \ \mathrm{cm}^2 $,则此时长方体盒子的体积为 $\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}^3$.

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