登录
11（2024 常州期末）如图，某小区内有一块长 20 m、宽 18 m 的矩形空地，物业打算在空地内铺设两条同样宽度的鹅卵石道路，余下部分铺上草坪.若草坪的面积为 288 m²，求道路的宽度.
答案
解：设道路的宽度为$x$m，则草坪的长为$(20 - x)$m，宽为$(18 - x)$m， 根据题意，得$(20 - x)(18 - x)=288，$ 展开式子得$360-20x - 18x + x^{2}=288，$ 移项化为标准的一元二次方程形式：$x^{2}-38x + 360 - 288 = 0，$即$x^{2}-38x + 72 = 0，$ 因式分解得$(x - 2)(x - 36)=0，$ 解得$x_{1}=2，$$x_{2}=36$（因为$36＞20，$不符合题意，舍去）， 答：道路的宽度为$2$m.
12 小林准备进行如下操作:把一根长为 40 cm 的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.
（1）要使这两个正方形的面积之和等于$52\ \mathrm{cm}^2$,小林该怎么剪？
（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于$44\ \mathrm{cm}^2$.”他的说法对吗？请说明理由.
（1）要使这两个正方形的面积之和等于$52\ \mathrm{cm}^2$,小林该怎么剪？
（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于$44\ \mathrm{cm}^2$.”他的说法对吗？请说明理由.
答案
解：
(1)设剪成的较短的铁丝为$x$cm，则较长的铁丝为$(40 - x)$cm. 根据题意，得$(\frac{x}{4})^{2}+(\frac{40 - x}{4})^{2}=52，$ 展开式子得$\frac{x^{2}}{16}+\frac{1600 - 80x + x^{2}}{16}=52，$ 两边同时乘以$16$得$x^{2}+1600 - 80x + x^{2}=832，$ 移项合并同类项得$2x^{2}-80x + 1600 - 832 = 0，$即$2x^{2}-80x + 768 = 0，$两边同时除以$2$得$x^{2}-40x + 384 = 0，$ 因式分解得$(x - 16)(x - 24)=0，$ 解得$x_{1}=16，$$x_{2}=24.$ 当$x = 16$时，较长的铁丝为$40 - 16 = 24；$ 当$x = 24$时，较长的铁丝为$40 - 24 = 16＜24$（舍去）， 所以较短的铁丝为$16$cm，较长的铁丝为$24$cm. (2)小峰的说法正确.理由如下：
设剪成的较短的铁丝为$m$cm，则较长的铁丝为$(40 - m)$cm. 根据题意，得$(\frac{m}{4})^{2}+(\frac{40 - m}{4})^{2}=44，$ 展开式子得$\frac{m^{2}}{16}+\frac{1600 - 80m + m^{2}}{16}=44，$ 两边同时乘以$16$得$m^{2}+1600 - 80m + m^{2}=704，$ 移项合并同类项得$2m^{2}-80m + 1600 - 704 = 0，$即$2m^{2}-80m + 896 = 0，$两边同时除以$2$得$m^{2}-40m + 448 = 0，$ 因为$b^{2}-4ac=(-40)^{2}-4\times1\times448=1600 - 1792=-192＜0，$所以原方程无解， 所以小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于$44$ $cm^{2}.$
(1)设剪成的较短的铁丝为$x$cm，则较长的铁丝为$(40 - x)$cm. 根据题意，得$(\frac{x}{4})^{2}+(\frac{40 - x}{4})^{2}=52，$ 展开式子得$\frac{x^{2}}{16}+\frac{1600 - 80x + x^{2}}{16}=52，$ 两边同时乘以$16$得$x^{2}+1600 - 80x + x^{2}=832，$ 移项合并同类项得$2x^{2}-80x + 1600 - 832 = 0，$即$2x^{2}-80x + 768 = 0，$两边同时除以$2$得$x^{2}-40x + 384 = 0，$ 因式分解得$(x - 16)(x - 24)=0，$ 解得$x_{1}=16，$$x_{2}=24.$ 当$x = 16$时，较长的铁丝为$40 - 16 = 24；$ 当$x = 24$时，较长的铁丝为$40 - 24 = 16＜24$（舍去）， 所以较短的铁丝为$16$cm，较长的铁丝为$24$cm. (2)小峰的说法正确.理由如下：
设剪成的较短的铁丝为$m$cm，则较长的铁丝为$(40 - m)$cm. 根据题意，得$(\frac{m}{4})^{2}+(\frac{40 - m}{4})^{2}=44，$ 展开式子得$\frac{m^{2}}{16}+\frac{1600 - 80m + m^{2}}{16}=44，$ 两边同时乘以$16$得$m^{2}+1600 - 80m + m^{2}=704，$ 移项合并同类项得$2m^{2}-80m + 1600 - 704 = 0，$即$2m^{2}-80m + 896 = 0，$两边同时除以$2$得$m^{2}-40m + 448 = 0，$ 因为$b^{2}-4ac=(-40)^{2}-4\times1\times448=1600 - 1792=-192＜0，$所以原方程无解， 所以小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于$44$ $cm^{2}.$
13 某校计划利用如图所示的直角墙角(阴影部分,两边足够长),用20 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,AD两边).
(1) 若花园的面积为$75\ \mathrm{m}^2$,求AB的长;
(2) 若在直角墙角内点P处有一棵桂花树,且到墙CD的距离为12 m,若要将这棵树围在矩形花园内(含边界,不考虑树的粗细),问该花园的面积能否为$100\ \mathrm{m}^2$? 若能,求出AB的长;若不能,请说明理由.
(1) 若花园的面积为$75\ \mathrm{m}^2$,求AB的长;
(2) 若在直角墙角内点P处有一棵桂花树,且到墙CD的距离为12 m,若要将这棵树围在矩形花园内(含边界,不考虑树的粗细),问该花园的面积能否为$100\ \mathrm{m}^2$? 若能,求出AB的长;若不能,请说明理由.
答案
解：
(1)设$AB = x$m，则$AD = 20 - x$m， 根据题意，得$x(20 - x)=75，$ 展开式子得$20x - x^{2}=75，$ 移项化为标准的一元二次方程形式：$x^{2}-20x + 75 = 0，$ 因式分解得$(x - 5)(x - 15)=0，$ 解得$x_{1}=5，$$x_{2}=15，$ 故$AB$的长为$5$m或$15$m. (2)假设将这棵树围在矩形花园内，面积能为$100$ $m^{2}.$ 设$AD$的长为$y$m，则$AB = 20 - y$m， 根据题意，得$y(20 - y)=100，$ 展开式子得$20y - y^{2}=100，$ 移项化为标准的一元二次方程形式：$y^{2}-20y + 100 = 0，$ 因式分解得$(y - 10)^{2}=0，$ 解得$y = 10.$ 因为$10＜12，$ 故将这棵树围在矩形花园内，花园的面积不能为$100$ $m^{2}.$
(1)设$AB = x$m，则$AD = 20 - x$m， 根据题意，得$x(20 - x)=75，$ 展开式子得$20x - x^{2}=75，$ 移项化为标准的一元二次方程形式：$x^{2}-20x + 75 = 0，$ 因式分解得$(x - 5)(x - 15)=0，$ 解得$x_{1}=5，$$x_{2}=15，$ 故$AB$的长为$5$m或$15$m. (2)假设将这棵树围在矩形花园内，面积能为$100$ $m^{2}.$ 设$AD$的长为$y$m，则$AB = 20 - y$m， 根据题意，得$y(20 - y)=100，$ 展开式子得$20y - y^{2}=100，$ 移项化为标准的一元二次方程形式：$y^{2}-20y + 100 = 0，$ 因式分解得$(y - 10)^{2}=0，$ 解得$y = 10.$ 因为$10＜12，$ 故将这棵树围在矩形花园内，花园的面积不能为$100$ $m^{2}.$
