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18. (9分)(2024·河南)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度$h$(m)满足关系式$h=-5t^2 + v_0 t$，其中$t$(s)是物体运动的时间，$v_0$(m/s)是物体被发射时的速度。社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球。
(1)小球被发射后s时离地面的高度最大。(用含$v_0$的式子表示)
(2)若小球离地面的最大高度为20 m，求小球被发射时的速度。
(3)按(2)中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同。小明说：“这两次间隔的时间为3 s。”已知实验楼高15 m，请判断他的说法是否正确，并说明理由。
(1)小球被发射后s时离地面的高度最大。(用含$v_0$的式子表示)
(2)若小球离地面的最大高度为20 m，求小球被发射时的速度。
(3)按(2)中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同。小明说：“这两次间隔的时间为3 s。”已知实验楼高15 m，请判断他的说法是否正确，并说明理由。
答案
解：
(1) 对于二次函数$h=-5t^2 + v_0 t$，其中$a=-5$，$b=v_0$，
当$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{v_0}{2×(-5)}=\frac{v_0}{10}$时，$h$取得最大值，
故答案为：$\boldsymbol{\frac{v_0}{10}}$。
(2) 由二次函数顶点纵坐标公式，最大高度为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入$a=-5$，$b=v_0$，$c=0$，最大高度为20 m，得：
$\frac{0-v_0^2}{4×(-5)}=20$
整理得$\frac{v_0^2}{20}=20$，即$v_0^2=400$，
$\because v_0＞0$，$\therefore v_0=20$。
答：小球被发射时的速度为20 m/s。
(3) 小明的说法不正确，理由如下：
将$v_0=20$，$h=15$代入$h=-5t^2 + v_0 t$，得：
$-5t^2 + 20t = 15$
整理得$t^2-4t+3=0$，
解得$t_1=1$，$t_2=3$，
两次时间间隔为$3-1=2\ \mathrm{s} ≠ 3\ \mathrm{s}$，
因此小明的说法不正确。
(1) 对于二次函数$h=-5t^2 + v_0 t$，其中$a=-5$，$b=v_0$，
当$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{v_0}{2×(-5)}=\frac{v_0}{10}$时，$h$取得最大值，
故答案为：$\boldsymbol{\frac{v_0}{10}}$。
(2) 由二次函数顶点纵坐标公式，最大高度为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入$a=-5$，$b=v_0$，$c=0$，最大高度为20 m，得：
$\frac{0-v_0^2}{4×(-5)}=20$
整理得$\frac{v_0^2}{20}=20$，即$v_0^2=400$，
$\because v_0＞0$，$\therefore v_0=20$。
答：小球被发射时的速度为20 m/s。
(3) 小明的说法不正确，理由如下：
将$v_0=20$，$h=15$代入$h=-5t^2 + v_0 t$，得：
$-5t^2 + 20t = 15$
整理得$t^2-4t+3=0$，
解得$t_1=1$，$t_2=3$，
两次时间间隔为$3-1=2\ \mathrm{s} ≠ 3\ \mathrm{s}$，
因此小明的说法不正确。
解析
【分析】
本题结合竖直上抛运动的实际背景考查二次函数与一元二次方程的综合应用，解题思路如下：(1) 高度$h$是关于时间$t$的二次函数，二次项系数为负、图象开口向下，顶点处$h$取得最大值，利用二次函数对称轴公式即可求出对应时间$t$；(2) 最大高度就是二次函数的顶点纵坐标，代入顶点纵坐标公式，结合已知最大高度20m即可求解$v_0$，注意发射速度为正数；(3) 先将(2)中求得的$v_0$和$h=15$代入高度关系式，得到关于$t$的一元二次方程，解方程得到两个对应时间点，计算两个时间的差值，与3s比较即可判断小明说法是否正确。
【解析】
(1) 对于二次函数$h=-5t^2 + v_0 t$，其中$a=-5$，$b=v_0$，
当$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{v_0}{2×(-5)}=\frac{v_0}{10}$时，$h$取得最大值。
(2) 由二次函数顶点纵坐标公式，最大高度为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入$a=-5$，$b=v_0$，$c=0$，已知最大高度为20 m，得：
$\frac{0-v_0^2}{4×(-5)}=20$
整理得$\frac{v_0^2}{20}=20$，即$v_0^2=400$，
$\because v_0＞0$，$\therefore v_0=20$。
(3) 小明的说法不正确，理由如下：
将$v_0=20$，$h=15$代入$h=-5t^2 + v_0 t$，得：
$-5t^2 + 20t = 15$
整理得$t^2-4t+3=0$，
解得$t_1=1$，$t_2=3$，
两次时间间隔为$3-1=2\ \mathrm{s} ≠ 3\ \mathrm{s}$，因此小明的说法不正确。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{v_0}{10}}$；(2) 小球被发射时的速度为20 m/s；(3) 小明的说法不正确，两次间隔时间为2s。
【知识点】
二次函数的最值，一元二次方程的解法，二次函数的实际应用
【点评】
本题以物理竖直上抛运动为命题情境，考查二次函数与一元二次方程的综合运用，解题核心是熟练掌握二次函数的顶点公式，能将实际问题转化为方程求解，体现了跨学科知识融合的考查趋势。
【难度系数】
0.7
本题结合竖直上抛运动的实际背景考查二次函数与一元二次方程的综合应用，解题思路如下：(1) 高度$h$是关于时间$t$的二次函数，二次项系数为负、图象开口向下，顶点处$h$取得最大值，利用二次函数对称轴公式即可求出对应时间$t$；(2) 最大高度就是二次函数的顶点纵坐标，代入顶点纵坐标公式，结合已知最大高度20m即可求解$v_0$，注意发射速度为正数；(3) 先将(2)中求得的$v_0$和$h=15$代入高度关系式，得到关于$t$的一元二次方程，解方程得到两个对应时间点，计算两个时间的差值，与3s比较即可判断小明说法是否正确。
【解析】
(1) 对于二次函数$h=-5t^2 + v_0 t$，其中$a=-5$，$b=v_0$，
当$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{v_0}{2×(-5)}=\frac{v_0}{10}$时，$h$取得最大值。
(2) 由二次函数顶点纵坐标公式，最大高度为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入$a=-5$，$b=v_0$，$c=0$，已知最大高度为20 m，得：
$\frac{0-v_0^2}{4×(-5)}=20$
整理得$\frac{v_0^2}{20}=20$，即$v_0^2=400$，
$\because v_0＞0$，$\therefore v_0=20$。
(3) 小明的说法不正确，理由如下：
将$v_0=20$，$h=15$代入$h=-5t^2 + v_0 t$，得：
$-5t^2 + 20t = 15$
整理得$t^2-4t+3=0$，
解得$t_1=1$，$t_2=3$，
两次时间间隔为$3-1=2\ \mathrm{s} ≠ 3\ \mathrm{s}$，因此小明的说法不正确。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{v_0}{10}}$；(2) 小球被发射时的速度为20 m/s；(3) 小明的说法不正确，两次间隔时间为2s。
【知识点】
二次函数的最值，一元二次方程的解法，二次函数的实际应用
【点评】
本题以物理竖直上抛运动为命题情境，考查二次函数与一元二次方程的综合运用，解题核心是熟练掌握二次函数的顶点公式，能将实际问题转化为方程求解，体现了跨学科知识融合的考查趋势。
【难度系数】
0.7
19. (9分)如图6，矩形ABCD的两边长AB=18 cm，AD=4 cm，点P，Q分别从A，B同时出发，P在边AB上沿AB方向以2 cm/s的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以1 cm/s的速度匀速运动，当Q点到达C点时，两点停止运动。设运动时间为x(s)，△PBQ的面积为y(cm²)。
(1)求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围；
(2)求△PBQ的面积的最大值。
(1)求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围；
(2)求△PBQ的面积的最大值。
答案
解：
(1) 由题意得：$AP=2x\ \mathrm{cm}$，$BQ=x\ \mathrm{cm}$，
则 $PB = AB - AP = (18-2x)\ \mathrm{cm}$。
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$∠ B=90°$，
因此$△ PBQ$的面积：
$y=\frac{1}{2}· PB· BQ=\frac{1}{2}x(18-2x)=-x^2+9x$
点$Q$从$B$到$C$的总时长为$4÷1=4\ \mathrm{s}$，结合运动时间非负，得$x$的取值范围是$0≤ x≤4$。
(2) 函数$y=-x^2+9x$中，$a=-1＜0$，抛物线开口向下，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{9}{2}=4.5$。
因为$x$的取值范围是$0≤ x≤4$，在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大，
所以当$x=4$时，$y$取得最大值：
$y_{\mathrm{max}}=-4^2+9×4=20$
答：$△ PBQ$的面积的最大值为$20\ \mathrm{cm}^2$。
(1) 由题意得：$AP=2x\ \mathrm{cm}$，$BQ=x\ \mathrm{cm}$，
则 $PB = AB - AP = (18-2x)\ \mathrm{cm}$。
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$∠ B=90°$，
因此$△ PBQ$的面积：
$y=\frac{1}{2}· PB· BQ=\frac{1}{2}x(18-2x)=-x^2+9x$
点$Q$从$B$到$C$的总时长为$4÷1=4\ \mathrm{s}$，结合运动时间非负，得$x$的取值范围是$0≤ x≤4$。
(2) 函数$y=-x^2+9x$中，$a=-1＜0$，抛物线开口向下，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{9}{2}=4.5$。
因为$x$的取值范围是$0≤ x≤4$，在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大，
所以当$x=4$时，$y$取得最大值：
$y_{\mathrm{max}}=-4^2+9×4=20$
答：$△ PBQ$的面积的最大值为$20\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
(1) 解决第一问首先结合点P、Q的运动速度和运动时间x，分别表示出线段AP、BQ的长度，再用AB的长度减去AP得到PB的长度；因为矩形内角为直角，所以△PBQ是直角三角形，利用直角三角形面积公式即可列出y关于x的函数表达式；再根据Q点运动到C点就停止，计算出最长运动时间，结合运动时间非负，得到x的取值范围。
(2) 第二问求二次函数的最值，先判断二次函数的开口方向，求出对称轴，再结合第一问得到的x的取值范围，判断函数在取值范围内的单调性，进而找到取最大值时对应的x值，代入计算即可得到最大面积，注意顶点横坐标不在x的取值范围内，不能直接代入顶点计算最值。
【解析】
(1) 根据题意可知，点P的运动速度为2cm/s，点Q的运动速度为1cm/s，运动时间为x s，因此：
$AP=2x\ \mathrm{cm}$，$BQ=x\ \mathrm{cm}$
则$PB = AB - AP = (18 - 2x)\ \mathrm{cm}$
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠ B=90°$，△PBQ为直角三角形
根据直角三角形面积公式可得：
$y=\frac{1}{2} · PB · BQ = \frac{1}{2}x(18-2x) = -x^2 +9x$
点Q从B运动到C的总时间为$4÷1=4\ \mathrm{s}$，且运动时间不能为负数，因此x的取值范围是$0≤ x≤4$。
(2) 对于二次函数$y=-x^2+9x$，其中二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，
函数的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{9}{2×(-1)}=4.5$
结合x的取值范围$0≤ x≤4$，可知该取值区间在对称轴左侧，在对称轴左侧y随x的增大而增大，
因此当$x=4$时，y取得最大值，代入得：
$y_{\mathrm{max}}=-4^2 +9×4 = -16 +36 =20$
【答案】
(1) $y=-x^2+9x\ (0≤ x≤4)$
(2) $\boxed{20\ \mathrm{cm^2}}$
【知识点】
二次函数的应用；矩形的性质；二次函数的最值
【点评】
本题是动点结合二次函数的典型应用题，解题的核心是先通过动点的运动规律表示出相关线段的长度，结合几何图形的性质列出函数关系式，求最值时需格外关注自变量的取值范围，避免直接使用顶点坐标求解导致错误。
【难度系数】
0.7
(1) 解决第一问首先结合点P、Q的运动速度和运动时间x，分别表示出线段AP、BQ的长度，再用AB的长度减去AP得到PB的长度；因为矩形内角为直角，所以△PBQ是直角三角形，利用直角三角形面积公式即可列出y关于x的函数表达式；再根据Q点运动到C点就停止，计算出最长运动时间，结合运动时间非负，得到x的取值范围。
(2) 第二问求二次函数的最值，先判断二次函数的开口方向，求出对称轴，再结合第一问得到的x的取值范围，判断函数在取值范围内的单调性，进而找到取最大值时对应的x值，代入计算即可得到最大面积，注意顶点横坐标不在x的取值范围内，不能直接代入顶点计算最值。
【解析】
(1) 根据题意可知，点P的运动速度为2cm/s，点Q的运动速度为1cm/s，运动时间为x s，因此：
$AP=2x\ \mathrm{cm}$，$BQ=x\ \mathrm{cm}$
则$PB = AB - AP = (18 - 2x)\ \mathrm{cm}$
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠ B=90°$，△PBQ为直角三角形
根据直角三角形面积公式可得：
$y=\frac{1}{2} · PB · BQ = \frac{1}{2}x(18-2x) = -x^2 +9x$
点Q从B运动到C的总时间为$4÷1=4\ \mathrm{s}$，且运动时间不能为负数，因此x的取值范围是$0≤ x≤4$。
(2) 对于二次函数$y=-x^2+9x$，其中二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，
函数的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{9}{2×(-1)}=4.5$
结合x的取值范围$0≤ x≤4$，可知该取值区间在对称轴左侧，在对称轴左侧y随x的增大而增大，
因此当$x=4$时，y取得最大值，代入得：
$y_{\mathrm{max}}=-4^2 +9×4 = -16 +36 =20$
【答案】
(1) $y=-x^2+9x\ (0≤ x≤4)$
(2) $\boxed{20\ \mathrm{cm^2}}$
【知识点】
二次函数的应用；矩形的性质；二次函数的最值
【点评】
本题是动点结合二次函数的典型应用题，解题的核心是先通过动点的运动规律表示出相关线段的长度，结合几何图形的性质列出函数关系式，求最值时需格外关注自变量的取值范围，避免直接使用顶点坐标求解导致错误。
【难度系数】
0.7
