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15. 已知点$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$在抛物线$y=mx^2 - 2m^2x + n(m≠0)$上，当$x_1 + x_2 ＞ 4$且$x_1 ＜ x_2$时，都有$y_1 ＜ y_2$，则$m$的取值范围为。
答案
解：抛物线$y=mx^2 - 2m^2x + n$的对称轴为：
$x=-\frac{b}{2a}=\frac{2m^2}{2m}=m$
计算$y_2-y_1$：
$\begin{aligned}y_2-y_1&=mx_2^2-2m^2x_2+n-(mx_1^2-2m^2x_1+n)\\&=m(x_2^2-x_1^2)-2m^2(x_2-x_1)\\&=m(x_2-x_1)(x_1+x_2-2m)\end{aligned}$
由题设条件$x_1＜x_2$，得$x_2-x_1＞0$，且当$x_1+x_2＞4$时恒有$y_1＜y_2$即$y_2-y_1＞0$，因此：
$m(x_1+x_2-2m)＞0$
1. 当$m＞0$时，不等式等价于$x_1+x_2＞2m$，要对所有$x_1+x_2＞4$恒成立，只需$2m\le4$，即$m\le2$，结合$m＞0$得$0＜m\le2$。
2. 当$m＜0$时，不等式等价于$x_1+x_2＜2m$，但$2m＜0$，而$x_1+x_2＞4$，不可能满足$x_1+x_2＜2m$，该情况无解。
综上，$m$的取值范围为$\boldsymbol{0＜m\le2}$。
$x=-\frac{b}{2a}=\frac{2m^2}{2m}=m$
计算$y_2-y_1$：
$\begin{aligned}y_2-y_1&=mx_2^2-2m^2x_2+n-(mx_1^2-2m^2x_1+n)\\&=m(x_2^2-x_1^2)-2m^2(x_2-x_1)\\&=m(x_2-x_1)(x_1+x_2-2m)\end{aligned}$
由题设条件$x_1＜x_2$，得$x_2-x_1＞0$，且当$x_1+x_2＞4$时恒有$y_1＜y_2$即$y_2-y_1＞0$，因此：
$m(x_1+x_2-2m)＞0$
1. 当$m＞0$时，不等式等价于$x_1+x_2＞2m$，要对所有$x_1+x_2＞4$恒成立，只需$2m\le4$，即$m\le2$，结合$m＞0$得$0＜m\le2$。
2. 当$m＜0$时，不等式等价于$x_1+x_2＜2m$，但$2m＜0$，而$x_1+x_2＞4$，不可能满足$x_1+x_2＜2m$，该情况无解。
综上，$m$的取值范围为$\boldsymbol{0＜m\le2}$。
解析
【分析】
解题时首先计算抛物线的对称轴，再通过作差法表示出$y_2 - y_1$，对其因式分解后结合已知$x_1＜x_2$的条件，将$y_1＜y_2$的大小关系转化为含参数$m$和$x_1+x_2$的不等式。接下来分$m＞0$和$m＜0$两种情况讨论（二次项系数的正负会影响不等式方向），再结合$x_1+x_2＞4$时不等式恒成立的要求，求出对应$m$的取值范围，最后综合两种情况得到最终结果。
【解析】
抛物线$y=mx^2 - 2m^2x + n$的对称轴为：
$x=-\frac{b}{2a}=\frac{2m^2}{2m}=m$
计算$y_2-y_1$：
$\begin{aligned}y_2-y_1&=mx_2^2-2m^2x_2+n-(mx_1^2-2m^2x_1+n)\\&=m(x_2^2-x_1^2)-2m^2(x_2-x_1)\\&=m(x_2-x_1)(x_1+x_2-2m)\end{aligned}$
由题设条件$x_1＜x_2$，得$x_2-x_1＞0$，且当$x_1+x_2＞4$时恒有$y_1＜y_2$即$y_2-y_1＞0$，因此：
$m(x_1+x_2-2m)＞0$
1. 当$m＞0$时，不等式等价于$x_1+x_2＞2m$，要对所有$x_1+x_2＞4$恒成立，只需$2m\le4$，即$m\le2$，结合$m＞0$得$0＜m\le2$。
2. 当$m＜0$时，不等式等价于$x_1+x_2＜2m$，但$2m＜0$，而$x_1+x_2＞4$，不可能满足$x_1+x_2＜2m$，该情况无解。
综上，$m$的取值范围为$0＜m\le2$。
【答案】
$0＜m\le2$
【知识点】
二次函数的性质，不等式恒成立，作差法比较大小
【点评】
本题将二次函数的增减性与不等式恒成立问题结合，解题的核心是通过作差因式分解把函数值的大小关系转化为参数和自变量的不等式，分类讨论二次项系数的正负是避免漏解的关键，能很好地考查逻辑推理能力和分类讨论思想的应用。
【难度系数】
0.6
解题时首先计算抛物线的对称轴，再通过作差法表示出$y_2 - y_1$，对其因式分解后结合已知$x_1＜x_2$的条件，将$y_1＜y_2$的大小关系转化为含参数$m$和$x_1+x_2$的不等式。接下来分$m＞0$和$m＜0$两种情况讨论（二次项系数的正负会影响不等式方向），再结合$x_1+x_2＞4$时不等式恒成立的要求，求出对应$m$的取值范围，最后综合两种情况得到最终结果。
【解析】
抛物线$y=mx^2 - 2m^2x + n$的对称轴为：
$x=-\frac{b}{2a}=\frac{2m^2}{2m}=m$
计算$y_2-y_1$：
$\begin{aligned}y_2-y_1&=mx_2^2-2m^2x_2+n-(mx_1^2-2m^2x_1+n)\\&=m(x_2^2-x_1^2)-2m^2(x_2-x_1)\\&=m(x_2-x_1)(x_1+x_2-2m)\end{aligned}$
由题设条件$x_1＜x_2$，得$x_2-x_1＞0$，且当$x_1+x_2＞4$时恒有$y_1＜y_2$即$y_2-y_1＞0$，因此：
$m(x_1+x_2-2m)＞0$
1. 当$m＞0$时，不等式等价于$x_1+x_2＞2m$，要对所有$x_1+x_2＞4$恒成立，只需$2m\le4$，即$m\le2$，结合$m＞0$得$0＜m\le2$。
2. 当$m＜0$时，不等式等价于$x_1+x_2＜2m$，但$2m＜0$，而$x_1+x_2＞4$，不可能满足$x_1+x_2＜2m$，该情况无解。
综上，$m$的取值范围为$0＜m\le2$。
【答案】
$0＜m\le2$
【知识点】
二次函数的性质，不等式恒成立，作差法比较大小
【点评】
本题将二次函数的增减性与不等式恒成立问题结合，解题的核心是通过作差因式分解把函数值的大小关系转化为参数和自变量的不等式，分类讨论二次项系数的正负是避免漏解的关键，能很好地考查逻辑推理能力和分类讨论思想的应用。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共75分)
16.(8分)利用图5中二次函数$y=x^2$的图象求下列方程的近似解:
(1)$x^2+x-3=0$;
(2)$2x^2-x-2=0$。(精确到0.1)
16.(8分)利用图5中二次函数$y=x^2$的图象求下列方程的近似解:
(1)$x^2+x-3=0$;
(2)$2x^2-x-2=0$。(精确到0.1)
答案
解：
(1) 将方程$x^2 + x - 3 = 0$变形为$x^2 = -x + 3$，
该方程的近似解即为二次函数$y=x^2$的图象与直线$y=-x+3$的图象交点的横坐标。
在同一坐标系中画出直线$y=-x+3$，观察图象可得两交点的横坐标约为$x_1\approx1.3$，$x_2\approx-2.3$。
即方程$x^2+x-3=0$的近似解为$x_1\approx1.3$，$x_2\approx-2.3$。
(2) 将方程$2x^2 - x - 2 = 0$变形为$x^2 = \frac{1}{2}x + 1$，
该方程的近似解即为二次函数$y=x^2$的图象与直线$y=\frac{1}{2}x + 1$的图象交点的横坐标。
在同一坐标系中画出直线$y=\frac{1}{2}x + 1$，观察图象可得两交点的横坐标约为$x_1\approx1.3$，$x_2\approx-0.8$。
即方程$2x^2 - x - 2 = 0$的近似解为$x_1\approx1.3$，$x_2\approx-0.8$。
(1) 将方程$x^2 + x - 3 = 0$变形为$x^2 = -x + 3$，
该方程的近似解即为二次函数$y=x^2$的图象与直线$y=-x+3$的图象交点的横坐标。
在同一坐标系中画出直线$y=-x+3$，观察图象可得两交点的横坐标约为$x_1\approx1.3$，$x_2\approx-2.3$。
即方程$x^2+x-3=0$的近似解为$x_1\approx1.3$，$x_2\approx-2.3$。
(2) 将方程$2x^2 - x - 2 = 0$变形为$x^2 = \frac{1}{2}x + 1$，
该方程的近似解即为二次函数$y=x^2$的图象与直线$y=\frac{1}{2}x + 1$的图象交点的横坐标。
在同一坐标系中画出直线$y=\frac{1}{2}x + 1$，观察图象可得两交点的横坐标约为$x_1\approx1.3$，$x_2\approx-0.8$。
即方程$2x^2 - x - 2 = 0$的近似解为$x_1\approx1.3$，$x_2\approx-0.8$。
解析
【分析】
要利用已知的$y=x^2$图象求一元二次方程的近似解，核心是借助函数图象交点与方程解的对应关系思考：
1. 先将待解的一元二次方程变形，把$x^2$单独放在等号一侧，另一侧整理为一次函数的形式；
2. 在同一坐标系中画出这个一次函数的图象，它与$y=x^2$图象交点的横坐标就是对应方程的解；
3. 读取交点横坐标的数值，按要求精确到0.1即可得到方程的近似解。
【解析】
(1) 求解方程$x^2+x-3=0$：
将方程移项变形为$x^2=-x+3$，可知该方程的解就是二次函数$y=x^2$与一次函数$y=-x+3$图象交点的横坐标。
在给定坐标系中画出直线$y=-x+3$，观察图象可得两个交点的横坐标约为1.3和-2.3。
(2) 求解方程$2x^2-x-2=0$：
先移项得$2x^2=x+2$，两边同时除以2变形为$x^2=\frac{1}{2}x+1$，可知该方程的解就是二次函数$y=x^2$与一次函数$y=\frac{1}{2}x+1$图象交点的横坐标。
在给定坐标系中画出直线$y=\frac{1}{2}x+1$，观察图象可得两个交点的横坐标约为1.3和-0.8。
【答案】
(1) $x_1\approx1.3$，$x_2\approx-2.3$；
(2) $x_1\approx1.3$，$x_2\approx-0.8$。
【知识点】
二次函数图象；一次函数图象；函数与方程的关系
【点评】
本题运用转化思想，将一元二次方程的解转化为两个函数图象交点的横坐标，既考查了一次函数、二次函数的图象绘制能力，也考查了读图提取信息的能力，能够帮助加深对函数与方程对应关系的理解。
【难度系数】
0.7
要利用已知的$y=x^2$图象求一元二次方程的近似解，核心是借助函数图象交点与方程解的对应关系思考：
1. 先将待解的一元二次方程变形，把$x^2$单独放在等号一侧，另一侧整理为一次函数的形式；
2. 在同一坐标系中画出这个一次函数的图象，它与$y=x^2$图象交点的横坐标就是对应方程的解；
3. 读取交点横坐标的数值，按要求精确到0.1即可得到方程的近似解。
【解析】
(1) 求解方程$x^2+x-3=0$：
将方程移项变形为$x^2=-x+3$，可知该方程的解就是二次函数$y=x^2$与一次函数$y=-x+3$图象交点的横坐标。
在给定坐标系中画出直线$y=-x+3$，观察图象可得两个交点的横坐标约为1.3和-2.3。
(2) 求解方程$2x^2-x-2=0$：
先移项得$2x^2=x+2$，两边同时除以2变形为$x^2=\frac{1}{2}x+1$，可知该方程的解就是二次函数$y=x^2$与一次函数$y=\frac{1}{2}x+1$图象交点的横坐标。
在给定坐标系中画出直线$y=\frac{1}{2}x+1$，观察图象可得两个交点的横坐标约为1.3和-0.8。
【答案】
(1) $x_1\approx1.3$，$x_2\approx-2.3$；
(2) $x_1\approx1.3$，$x_2\approx-0.8$。
【知识点】
二次函数图象；一次函数图象；函数与方程的关系
【点评】
本题运用转化思想，将一元二次方程的解转化为两个函数图象交点的横坐标，既考查了一次函数、二次函数的图象绘制能力，也考查了读图提取信息的能力，能够帮助加深对函数与方程对应关系的理解。
【难度系数】
0.7
17. (9分)已知在同一平面直角坐标系中,正比例函数$y=-2x$与二次函数$y=-x^2+2x+c$的图象交于点$A(-1,m)$。
(1)求$m,c$的值;
(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标。
(1)求$m,c$的值;
(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标。
答案
解：
(1) ∵点$A(-1, m)$在正比例函数$y=-2x$的图象上，
∴将$x=-1$代入$y=-2x$，得$m = -2×(-1) = 2$。
∴点$A$的坐标为$(-1, 2)$。
将$A(-1, 2)$代入二次函数$y=-x^2+2x+c$，得：
$2 = -(-1)^2 + 2×(-1) + c$，
即$2 = -3 + c$，
解得$c=5$。
(2) 由(1)得二次函数的解析式为$y=-x^2+2x+5$，
对解析式配方得：
$y = -(x^2-2x) +5 = -(x-1)^2 +6$，
∴二次函数图象的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,6)$。
(1) ∵点$A(-1, m)$在正比例函数$y=-2x$的图象上，
∴将$x=-1$代入$y=-2x$，得$m = -2×(-1) = 2$。
∴点$A$的坐标为$(-1, 2)$。
将$A(-1, 2)$代入二次函数$y=-x^2+2x+c$，得：
$2 = -(-1)^2 + 2×(-1) + c$，
即$2 = -3 + c$，
解得$c=5$。
(2) 由(1)得二次函数的解析式为$y=-x^2+2x+5$，
对解析式配方得：
$y = -(x^2-2x) +5 = -(x-1)^2 +6$，
∴二次函数图象的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,6)$。
解析
【分析】
(1) 要计算m的值，可利用“函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式”的性质，已知点A在正比例函数图象上，将横坐标x=-1代入正比例函数即可求出m；得到点A的完整坐标后，再把A点坐标代入二次函数解析式，即可解出c的值。
(2) 得到c的取值后就能确定二次函数的完整解析式，可通过配方法将一般式转化为顶点式，直接从顶点式中读取对称轴和顶点坐标，也可利用二次函数对称轴、顶点坐标公式计算结果。
【解析】
(1)
∵点$A(-1, m)$在正比例函数$y=-2x$的图象上，
∴将$x=-1$代入$y=-2x$，得$m = -2×(-1) = 2$。
∴点$A$的坐标为$(-1, 2)$。
将$A(-1, 2)$代入二次函数$y=-x^2+2x+c$，得：
$2 = -(-1)^2 + 2×(-1) + c$，
即$2 = -3 + c$，
解得$c=5$。
(2) 由(1)得二次函数的解析式为$y=-x^2+2x+5$，
对解析式配方得：
$y = -(x^2-2x) +5 = -(x-1)^2 +6$，
∴二次函数图象的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,6)$。
【答案】
(1) $m=2$，$c=5$；
(2) 对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,6)$。
【知识点】
1. 函数图象上点的坐标特征
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数的图象与性质
【点评】
本题为基础题型，考察核心知识点的基础应用，解题关键是熟练掌握点在函数图象上的坐标特点，以及二次函数一般式和顶点式的转化方法，计算量小，掌握基础知识点即可顺利得分。
【难度系数】
0.85
(1) 要计算m的值，可利用“函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式”的性质，已知点A在正比例函数图象上，将横坐标x=-1代入正比例函数即可求出m；得到点A的完整坐标后，再把A点坐标代入二次函数解析式，即可解出c的值。
(2) 得到c的取值后就能确定二次函数的完整解析式，可通过配方法将一般式转化为顶点式，直接从顶点式中读取对称轴和顶点坐标，也可利用二次函数对称轴、顶点坐标公式计算结果。
【解析】
(1)
∵点$A(-1, m)$在正比例函数$y=-2x$的图象上，
∴将$x=-1$代入$y=-2x$，得$m = -2×(-1) = 2$。
∴点$A$的坐标为$(-1, 2)$。
将$A(-1, 2)$代入二次函数$y=-x^2+2x+c$，得：
$2 = -(-1)^2 + 2×(-1) + c$，
即$2 = -3 + c$，
解得$c=5$。
(2) 由(1)得二次函数的解析式为$y=-x^2+2x+5$，
对解析式配方得：
$y = -(x^2-2x) +5 = -(x-1)^2 +6$，
∴二次函数图象的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,6)$。
【答案】
(1) $m=2$，$c=5$；
(2) 对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,6)$。
【知识点】
1. 函数图象上点的坐标特征
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数的图象与性质
【点评】
本题为基础题型，考察核心知识点的基础应用，解题关键是熟练掌握点在函数图象上的坐标特点，以及二次函数一般式和顶点式的转化方法，计算量小，掌握基础知识点即可顺利得分。
【难度系数】
0.85
