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7. 点$P(m,n)$在以$y$轴为对称轴的二次函数$y=x^2+ax+4$的图象上，则$m-n$的最大值等于（）
A.$-\dfrac{15}{4}$
B.$-\dfrac{17}{4}$
C.$\dfrac{15}{4}$
D.$4$
A.$-\dfrac{15}{4}$
B.$-\dfrac{17}{4}$
C.$\dfrac{15}{4}$
D.$4$
答案
A
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步，根据二次函数以y轴为对称轴的性质，先求出参数a的值，确定函数解析式；第二步，利用点在函数图像上的坐标特征，将n用含m的代数式表示；第三步，把m-n转化为关于m的二次函数，通过配方法求出该二次函数的最大值即可。
【解析】
1. 求参数a：二次函数$y=x^2+ax+4$的对称轴为y轴（即$x=0$），对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C$，对称轴公式为$x=-\frac{B}{2A}$，代入得：
$-\frac{a}{2×1}=0$，解得$a=0$。
因此二次函数解析式为$y=x^2+4$。
2. 表示n：因为点$P(m,n)$在函数图象上，将$x=m$代入解析式得：$n=m^2+4$。
3. 求$m-n$的最大值：
$m-n = m - (m^2 + 4) = -m^2 + m -4$
对该式配方：
$-m^2 + m -4 = -(m^2 - m) -4 = -(m^2 - m + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) -4 = -(m-\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} -4 = -(m-\frac{1}{2})^2 - \frac{15}{4}$
因为$(m-\frac{1}{2})^2≥0$，所以$-(m-\frac{1}{2})^2≤0$，当$m=\frac{1}{2}$时，$-(m-\frac{1}{2})^2=0$，此时$m-n$取得最大值$-\frac{15}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数对称轴性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数最值
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，解题的核心是先确定函数解析式，再将所求代数式转化为二次函数求最值，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：第一步，根据二次函数以y轴为对称轴的性质，先求出参数a的值，确定函数解析式；第二步，利用点在函数图像上的坐标特征，将n用含m的代数式表示；第三步，把m-n转化为关于m的二次函数，通过配方法求出该二次函数的最大值即可。
【解析】
1. 求参数a：二次函数$y=x^2+ax+4$的对称轴为y轴（即$x=0$），对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C$，对称轴公式为$x=-\frac{B}{2A}$，代入得：
$-\frac{a}{2×1}=0$，解得$a=0$。
因此二次函数解析式为$y=x^2+4$。
2. 表示n：因为点$P(m,n)$在函数图象上，将$x=m$代入解析式得：$n=m^2+4$。
3. 求$m-n$的最大值：
$m-n = m - (m^2 + 4) = -m^2 + m -4$
对该式配方：
$-m^2 + m -4 = -(m^2 - m) -4 = -(m^2 - m + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) -4 = -(m-\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} -4 = -(m-\frac{1}{2})^2 - \frac{15}{4}$
因为$(m-\frac{1}{2})^2≥0$，所以$-(m-\frac{1}{2})^2≤0$，当$m=\frac{1}{2}$时，$-(m-\frac{1}{2})^2=0$，此时$m-n$取得最大值$-\frac{15}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数对称轴性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数最值
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，解题的核心是先确定函数解析式，再将所求代数式转化为二次函数求最值，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
8. (2024·泸州)已知二次函数$y=ax^2+(2a-3)x+a-1$（$x$是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数$a$的取值范围为（）
A.$1≤a＜\frac{9}{8}$
B.$0＜a＜\frac{3}{2}$
C.$0＜a＜\frac{9}{8}$
D.$1≤a＜\frac{3}{2}$
A.$1≤a＜\frac{9}{8}$
B.$0＜a＜\frac{3}{2}$
C.$0＜a＜\frac{9}{8}$
D.$1≤a＜\frac{3}{2}$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，需结合二次函数图象过一、二、四象限的特征，分步骤推导参数a的限制条件：首先，二次函数开口方向决定象限分布，过一、二、四象限说明开口必须向上，因此a＞0；其次，图象不经过第三象限，说明与x轴的两个交点均为非负实数，因此要满足与y轴交点非负、与x轴有两个不同交点（保证存在y＜0的区域才能过第四象限），最后联立所有不等式求解即可。
【解析】
∵函数是二次函数，
∴a≠0，推导条件如下：
1. 确定开口方向：图象过一、二、四象限，开口必须向上，因此$\boldsymbol{a＞0}$；
2. 确定y轴交点范围：当$x=0$时，$y=a-1$，若图象不经过第三象限，与y轴交点需在非负半轴，故$a-1≥0$，解得$\boldsymbol{a≥1}$；
3. 确定判别式范围：要经过第四象限，说明函数存在y＜0的部分，即与x轴有两个不同交点，因此判别式$\Delta＞0$：
$\begin{aligned}\Delta&=(2a-3)^2-4a(a-1)\\&=4a^2-12a+9-4a^2+4a\\&=-8a+9＞0\end{aligned}$
解得$\boldsymbol{a＜\frac{9}{8}}$；
4. 验证对称轴：对称轴$x=\frac{3-2a}{2a}$，结合$1≤ a＜\frac{9}{8}$可得对称轴恒在x轴正半轴，满足两根均为非负的要求。
联立所有条件得$1≤ a＜\frac{9}{8}$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质，根的判别式，不等式组求解
【点评】
本题是二次函数图象与参数范围的综合题，需要将图象的象限特征转化为对应的代数不等式，解题时需注意临界情况（如与y轴交于原点）的判断，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需结合二次函数图象过一、二、四象限的特征，分步骤推导参数a的限制条件：首先，二次函数开口方向决定象限分布，过一、二、四象限说明开口必须向上，因此a＞0；其次，图象不经过第三象限，说明与x轴的两个交点均为非负实数，因此要满足与y轴交点非负、与x轴有两个不同交点（保证存在y＜0的区域才能过第四象限），最后联立所有不等式求解即可。
【解析】
∵函数是二次函数，
∴a≠0，推导条件如下：
1. 确定开口方向：图象过一、二、四象限，开口必须向上，因此$\boldsymbol{a＞0}$；
2. 确定y轴交点范围：当$x=0$时，$y=a-1$，若图象不经过第三象限，与y轴交点需在非负半轴，故$a-1≥0$，解得$\boldsymbol{a≥1}$；
3. 确定判别式范围：要经过第四象限，说明函数存在y＜0的部分，即与x轴有两个不同交点，因此判别式$\Delta＞0$：
$\begin{aligned}\Delta&=(2a-3)^2-4a(a-1)\\&=4a^2-12a+9-4a^2+4a\\&=-8a+9＞0\end{aligned}$
解得$\boldsymbol{a＜\frac{9}{8}}$；
4. 验证对称轴：对称轴$x=\frac{3-2a}{2a}$，结合$1≤ a＜\frac{9}{8}$可得对称轴恒在x轴正半轴，满足两根均为非负的要求。
联立所有条件得$1≤ a＜\frac{9}{8}$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质，根的判别式，不等式组求解
【点评】
本题是二次函数图象与参数范围的综合题，需要将图象的象限特征转化为对应的代数不等式，解题时需注意临界情况（如与y轴交于原点）的判断，避免漏解。
【难度系数】
0.6
9. 如图3,若抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,$∠OAC=∠OCB$,则ac的值为 ()
A.-1
B.-2
C.$-\dfrac{1}{2}$
D.$-\dfrac{1}{3}$
A.-1
B.-2
C.$-\dfrac{1}{2}$
D.$-\dfrac{1}{3}$
答案
A
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，观察到△AOC和△COB均为直角三角形，结合已知∠OAC=∠OCB，可证明两个三角形相似，得到边的比例关系；第二步，设出A、B、C三点的坐标，将线段长度用坐标表示，再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），代入比例式化简即可求出ac的值，解题时需注意坐标的符号，避免符号错误。
【解析】
设A点坐标为$(x_1,0)$，B点坐标为$(x_2,0)$，C点坐标为$(0,c)$。
∵$∠ AOC=∠ COB=90°$，$∠ OAC=∠ OCB$
∴$△ AOC ∽ △ COB$（两角对应相等的两个三角形相似）
根据相似三角形的性质，对应边成比例：$\frac{OA}{OC}=\frac{OC}{OB}$，即$OC^2=OA· OB$。
∵抛物线与x轴交于A、B两点，
∴$x_1、x_2$是方程$ax^2+bx+c=0$的两个实数根，由韦达定理得$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
由题可知A、B分别在原点两侧，即$x_1＜0,x_2＞0$，因此$OA=-x_1$，$OB=x_2$，$OC=|c|$，代入$OC^2=OA· OB$得：
$c^2=-x_1x_2$
将$x_1x_2=\frac{c}{a}$代入上式：$c^2=-\frac{c}{a}$
∵$c≠0$（若$c=0$则点C与原点重合，题目中的角度不存在），两边同时除以$c$得：$c=-\frac{1}{a}$，整理得$ac=-1$。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定与性质，二次函数的图像与性质，韦达定理
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，解题的关键是通过角度相等证明三角形相似，建立线段长度的关系后结合韦达定理化简计算，坐标符号的处理是本题的易错点。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为两步：第一步，观察到△AOC和△COB均为直角三角形，结合已知∠OAC=∠OCB，可证明两个三角形相似，得到边的比例关系；第二步，设出A、B、C三点的坐标，将线段长度用坐标表示，再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），代入比例式化简即可求出ac的值，解题时需注意坐标的符号，避免符号错误。
【解析】
设A点坐标为$(x_1,0)$，B点坐标为$(x_2,0)$，C点坐标为$(0,c)$。
∵$∠ AOC=∠ COB=90°$，$∠ OAC=∠ OCB$
∴$△ AOC ∽ △ COB$（两角对应相等的两个三角形相似）
根据相似三角形的性质，对应边成比例：$\frac{OA}{OC}=\frac{OC}{OB}$，即$OC^2=OA· OB$。
∵抛物线与x轴交于A、B两点，
∴$x_1、x_2$是方程$ax^2+bx+c=0$的两个实数根，由韦达定理得$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
由题可知A、B分别在原点两侧，即$x_1＜0,x_2＞0$，因此$OA=-x_1$，$OB=x_2$，$OC=|c|$，代入$OC^2=OA· OB$得：
$c^2=-x_1x_2$
将$x_1x_2=\frac{c}{a}$代入上式：$c^2=-\frac{c}{a}$
∵$c≠0$（若$c=0$则点C与原点重合，题目中的角度不存在），两边同时除以$c$得：$c=-\frac{1}{a}$，整理得$ac=-1$。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定与性质，二次函数的图像与性质，韦达定理
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，解题的关键是通过角度相等证明三角形相似，建立线段长度的关系后结合韦达定理化简计算，坐标符号的处理是本题的易错点。
【难度系数】
0.6
10. 抛物线$y_1=ax^2+bx+c(a≠0)$的部分图象如图4所示，抛物线顶点C的横坐标是1，直线$y_2=mx+n(m≠0)$与抛物线的一个交点为$B(4,0)$。有下列结论：①$2a+b＜0$；②$abc＞0$；③方程$ax^2+bx+c=mx+n$有两个不相等的实数根；④抛物线与$x$轴的另一个交点是$(-2,0)$。其中正确的个数为 ()
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
【分析】
解题时先结合已知条件提取抛物线核心性质：顶点横坐标为1即对称轴为直线x=1，再结合二次函数图像特征、函数交点与方程根的对应关系、抛物线与x轴交点的对称性，逐个判断4个结论的正误：
1. 用对称轴公式推导2a+b的数值，判断结论①；
2. 根据抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断a、b、c的符号，判断结论②；
3. 方程$ax^2+bx+c=mx+n$的根对应抛物线与直线的交点横坐标，结合交点个数判断结论③；
4. 利用抛物线与x轴两交点关于对称轴对称的性质，计算另一个交点坐标，判断结论④。
【解析】
解：
∵ 抛物线顶点C的横坐标是1，
∴ 抛物线对称轴为直线$x=1$。
1. 对结论①：由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，即$2a+b=0$，故①错误；
2. 对结论②：由图像特征可知抛物线开口向下，
∴ $a＜0$，结合$b=-2a$得$b＞0$；抛物线与y轴交于正半轴，
∴ $c＞0$，因此$abc＜0$，故②错误；
3. 对结论③：方程$ax^2+bx+c=mx+n$的根就是抛物线与直线交点的横坐标，已知两函数交于$B(4,0)$，且图像显示两函数还有另一个交点，即方程有两个不相等的实数根，故③正确；
4. 对结论④：抛物线与x轴的两个交点关于对称轴$x=1$对称，设另一个交点横坐标为$x$，则$\frac{x+4}{2}=1$，解得$x=-2$，即另一个交点为$(-2,0)$，故④正确。
综上，正确的结论为③④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数与一元二次方程；二次函数的对称性
【点评】
本题围绕二次函数的核心性质命题，需要熟练掌握对称轴公式、函数交点与方程根的对应关系等内容，解题时结合图像特征判断参数符号是常见考查方向。
【难度系数】
0.6
解题时先结合已知条件提取抛物线核心性质：顶点横坐标为1即对称轴为直线x=1，再结合二次函数图像特征、函数交点与方程根的对应关系、抛物线与x轴交点的对称性，逐个判断4个结论的正误：
1. 用对称轴公式推导2a+b的数值，判断结论①；
2. 根据抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断a、b、c的符号，判断结论②；
3. 方程$ax^2+bx+c=mx+n$的根对应抛物线与直线的交点横坐标，结合交点个数判断结论③；
4. 利用抛物线与x轴两交点关于对称轴对称的性质，计算另一个交点坐标，判断结论④。
【解析】
解：
∵ 抛物线顶点C的横坐标是1，
∴ 抛物线对称轴为直线$x=1$。
1. 对结论①：由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，即$2a+b=0$，故①错误；
2. 对结论②：由图像特征可知抛物线开口向下，
∴ $a＜0$，结合$b=-2a$得$b＞0$；抛物线与y轴交于正半轴，
∴ $c＞0$，因此$abc＜0$，故②错误；
3. 对结论③：方程$ax^2+bx+c=mx+n$的根就是抛物线与直线交点的横坐标，已知两函数交于$B(4,0)$，且图像显示两函数还有另一个交点，即方程有两个不相等的实数根，故③正确；
4. 对结论④：抛物线与x轴的两个交点关于对称轴$x=1$对称，设另一个交点横坐标为$x$，则$\frac{x+4}{2}=1$，解得$x=-2$，即另一个交点为$(-2,0)$，故④正确。
综上，正确的结论为③④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数与一元二次方程；二次函数的对称性
【点评】
本题围绕二次函数的核心性质命题，需要熟练掌握对称轴公式、函数交点与方程根的对应关系等内容，解题时结合图像特征判断参数符号是常见考查方向。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.(2024·滨州)将抛物线$y=-x^2$先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,则平移后抛物线的顶点坐标为。
11.(2024·滨州)将抛物线$y=-x^2$先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,则平移后抛物线的顶点坐标为。
答案
解：抛物线$y=-x^2$的顶点坐标为$(0,0)$。
将点$(0,0)$向右平移1个单位长度，横坐标变为$0+1=1$，再向上平移2个单位长度，纵坐标变为$0+2=2$，
因此平移后抛物线的顶点坐标为$\boldsymbol{(1,2)}$。
将点$(0,0)$向右平移1个单位长度，横坐标变为$0+1=1$，再向上平移2个单位长度，纵坐标变为$0+2=2$，
因此平移后抛物线的顶点坐标为$\boldsymbol{(1,2)}$。
解析
【分析】
解决本题可利用抛物线平移时顶点同步平移的规律求解，思路如下：第一步，先确定原抛物线的顶点坐标，抛物线$y=-x^2$是顶点式，可直接得到顶点为$(0,0)$；第二步，根据点的平移规则计算平移后的顶点坐标，平移规则为：横坐标右移加、左移减，纵坐标上移加、下移减，对应题目中的平移要求计算即可，无需先推导平移后的抛物线解析式，可简化计算过程。
【解析】
首先，抛物线$y=-x^2$的顶点坐标为$(0,0)$。
根据点的平移规律：向右平移1个单位长度，横坐标加1，即$0+1=1$；再向上平移2个单位长度，纵坐标加2，即$0+2=2$。
因此平移后抛物线的顶点坐标为$(1,2)$。
【答案】
$(1,2)$
【知识点】
二次函数图象平移、点的平移规律、抛物线顶点坐标
【点评】
本题是二次函数平移类基础题，核心考查抛物线平移的性质，既可以通过平移顶点直接求解，也可以先写出平移后的解析式再确定顶点，两种方法都能快速得到结果，侧重对基础规则的考查。
【难度系数】
0.9
解决本题可利用抛物线平移时顶点同步平移的规律求解，思路如下：第一步，先确定原抛物线的顶点坐标，抛物线$y=-x^2$是顶点式，可直接得到顶点为$(0,0)$；第二步，根据点的平移规则计算平移后的顶点坐标，平移规则为：横坐标右移加、左移减，纵坐标上移加、下移减，对应题目中的平移要求计算即可，无需先推导平移后的抛物线解析式，可简化计算过程。
【解析】
首先，抛物线$y=-x^2$的顶点坐标为$(0,0)$。
根据点的平移规律：向右平移1个单位长度，横坐标加1，即$0+1=1$；再向上平移2个单位长度，纵坐标加2，即$0+2=2$。
因此平移后抛物线的顶点坐标为$(1,2)$。
【答案】
$(1,2)$
【知识点】
二次函数图象平移、点的平移规律、抛物线顶点坐标
【点评】
本题是二次函数平移类基础题，核心考查抛物线平移的性质，既可以通过平移顶点直接求解，也可以先写出平移后的解析式再确定顶点，两种方法都能快速得到结果，侧重对基础规则的考查。
【难度系数】
0.9
12. 已知抛物线$y=x^2 -k$的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是等边三角形，则k的值是。
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数的相关性质：首先确定抛物线$y=x^2-k$的顶点坐标，再求解抛物线与x轴的交点得到线段AB的长度；由于△ABP是等边三角形，结合等边三角形“高等于边长的$\frac{\sqrt{3}}{2}$倍”的性质，这里的高就是顶点P到x轴（即AB边）的距离，据此列方程求解即可，注意k为正数（抛物线与x轴有两个交点）。
【解析】
1. 求顶点P坐标及到AB的距离：
抛物线$y=x^2 -k$的顶点P的坐标为$(0, -k)$，因为抛物线与x轴有两个交点，所以$k＞0$，顶点P到x轴（AB边所在直线）的距离为$| -k | =k$。
2. 求A、B坐标及AB的长度：
令$y=0$，得$x^2 -k=0$，解得$x=\pm\sqrt{k}$，因此$A(-\sqrt{k}, 0)$，$B(\sqrt{k}, 0)$，则AB的长度为$\sqrt{k} - (-\sqrt{k})=2\sqrt{k}$。
3. 利用等边三角形性质列方程求解：
∵△ABP是等边三角形，等边三角形的高$=\frac{\sqrt{3}}{2}×$边长，此处高为$k$，边长为$AB=2\sqrt{k}$，
∴$k = \frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{k}$，
化简得$k=\sqrt{3}·\sqrt{k}$，
∵$k＞0$，两边同时除以$\sqrt{k}$得$\sqrt{k}=\sqrt{3}$，
两边平方得$k=3$。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
二次函数的图像与性质；等边三角形的性质；二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题是二次函数与几何结合的基础题型，解题核心是将二次函数的坐标特征转化为几何线段的长度，再结合等边三角形的边长与高的关系建立方程求解，考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆二次函数的相关性质：首先确定抛物线$y=x^2-k$的顶点坐标，再求解抛物线与x轴的交点得到线段AB的长度；由于△ABP是等边三角形，结合等边三角形“高等于边长的$\frac{\sqrt{3}}{2}$倍”的性质，这里的高就是顶点P到x轴（即AB边）的距离，据此列方程求解即可，注意k为正数（抛物线与x轴有两个交点）。
【解析】
1. 求顶点P坐标及到AB的距离：
抛物线$y=x^2 -k$的顶点P的坐标为$(0, -k)$，因为抛物线与x轴有两个交点，所以$k＞0$，顶点P到x轴（AB边所在直线）的距离为$| -k | =k$。
2. 求A、B坐标及AB的长度：
令$y=0$，得$x^2 -k=0$，解得$x=\pm\sqrt{k}$，因此$A(-\sqrt{k}, 0)$，$B(\sqrt{k}, 0)$，则AB的长度为$\sqrt{k} - (-\sqrt{k})=2\sqrt{k}$。
3. 利用等边三角形性质列方程求解：
∵△ABP是等边三角形，等边三角形的高$=\frac{\sqrt{3}}{2}×$边长，此处高为$k$，边长为$AB=2\sqrt{k}$，
∴$k = \frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{k}$，
化简得$k=\sqrt{3}·\sqrt{k}$，
∵$k＞0$，两边同时除以$\sqrt{k}$得$\sqrt{k}=\sqrt{3}$，
两边平方得$k=3$。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
二次函数的图像与性质；等边三角形的性质；二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题是二次函数与几何结合的基础题型，解题核心是将二次函数的坐标特征转化为几何线段的长度，再结合等边三角形的边长与高的关系建立方程求解，考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
13. (2024·济宁)将抛物线$y=x^2 -6x +12$向下平移$k$个单位长度。若平移后得到的抛物线与$x$轴有公共点，则$k$的取值范围是。
答案
解：
先将原抛物线解析式配方变形：
$y=x^2-6x+12=(x-3)^2+3$
将该抛物线向下平移$k$个单位长度后，所得抛物线的解析式为：
$y=(x-3)^2+3-k=x^2-6x+12-k$
因为平移后得到的抛物线与$x$轴有公共点，
所以一元二次方程$x^2-6x+12-k=0$的判别式$\Delta\ge0$，即：
$\Delta=(-6)^2-4×1×(12-k)\ge0$
计算得：
$36-48+4k\ge0$
$4k\ge12$
解得$k\ge3$。
故$k$的取值范围是$\boldsymbol{k\ge3}$。
先将原抛物线解析式配方变形：
$y=x^2-6x+12=(x-3)^2+3$
将该抛物线向下平移$k$个单位长度后，所得抛物线的解析式为：
$y=(x-3)^2+3-k=x^2-6x+12-k$
因为平移后得到的抛物线与$x$轴有公共点，
所以一元二次方程$x^2-6x+12-k=0$的判别式$\Delta\ge0$，即：
$\Delta=(-6)^2-4×1×(12-k)\ge0$
计算得：
$36-48+4k\ge0$
$4k\ge12$
解得$k\ge3$。
故$k$的取值范围是$\boldsymbol{k\ge3}$。
解析
【分析】
要解决这道题，可按以下思路推导：首先明确两个核心考点，一是抛物线的平移规律，二是抛物线与x轴有公共点的等价条件。第一步先将原抛物线的一般式配方为顶点式，方便平移计算；第二步根据“上加下减”的平移规则，写出向下平移k个单位后的抛物线解析式；第三步，抛物线与x轴有公共点说明对应的一元二次方程有实数根，即根的判别式Δ≥0，据此列出关于k的不等式，求解即可得到k的取值范围。
【解析】
先对原抛物线解析式配方变形：
$y=x^2-6x+12=(x^2-6x+9)+3=(x-3)^2+3$
根据抛物线平移“上加下减”的规律，向下平移k个单位长度后，所得抛物线的解析式为：
$y=(x-3)^2+3-k$，整理为一般式为$y=x^2-6x+12-k$
因为平移后抛物线与x轴有公共点，所以一元二次方程$x^2-6x+12-k=0$有实数根，即根的判别式$\Delta\ge0$。
代入判别式公式计算：
$\Delta=(-6)^2-4×1×(12-k)\ge0$
化简得：$36-48+4k\ge0$
合并同类项得：$4k\ge12$
解得：$k\ge3$
【答案】
$k\ge3$
【知识点】
二次函数图象平移、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，考查了平移运算规则和二次函数图象与x轴交点的判断方法，解题的关键是熟练掌握平移规律，明确抛物线与x轴交点个数和对应方程判别式的对应关系。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，可按以下思路推导：首先明确两个核心考点，一是抛物线的平移规律，二是抛物线与x轴有公共点的等价条件。第一步先将原抛物线的一般式配方为顶点式，方便平移计算；第二步根据“上加下减”的平移规则，写出向下平移k个单位后的抛物线解析式；第三步，抛物线与x轴有公共点说明对应的一元二次方程有实数根，即根的判别式Δ≥0，据此列出关于k的不等式，求解即可得到k的取值范围。
【解析】
先对原抛物线解析式配方变形：
$y=x^2-6x+12=(x^2-6x+9)+3=(x-3)^2+3$
根据抛物线平移“上加下减”的规律，向下平移k个单位长度后，所得抛物线的解析式为：
$y=(x-3)^2+3-k$，整理为一般式为$y=x^2-6x+12-k$
因为平移后抛物线与x轴有公共点，所以一元二次方程$x^2-6x+12-k=0$有实数根，即根的判别式$\Delta\ge0$。
代入判别式公式计算：
$\Delta=(-6)^2-4×1×(12-k)\ge0$
化简得：$36-48+4k\ge0$
合并同类项得：$4k\ge12$
解得：$k\ge3$
【答案】
$k\ge3$
【知识点】
二次函数图象平移、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，考查了平移运算规则和二次函数图象与x轴交点的判断方法，解题的关键是熟练掌握平移规律，明确抛物线与x轴交点个数和对应方程判别式的对应关系。
【难度系数】
0.7
14. (2024·上海改编)若抛物线$y=a(x-m)^2+k(a≠0)$上存在一点$P(x',y')$,使得$x'-m=y'-k≠0$,则称$2|x'-m|$为该抛物线的“开口大小”。那么抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x+3$的“开口大小”为。
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
首先理解题目给出的“开口大小”新定义，解题分三步进行：第一步用配方法将给定的抛物线一般式转化为顶点式，得到$a、m、k$的值；第二步根据定义的等量关系$x'-m=y'-k≠0$，设这个公共值为$t$，将点$P(m+t,k+t)$代入顶点式，化简求出$t$的绝对值；第三步按照“开口大小”为$2|t|$的规则计算最终结果。
【解析】
先将抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x+3$化为顶点式：
1. 提取二次项系数：
$y=-\frac{1}{2}(x^2-\frac{2}{3}x)+3$
2. 配方化简：
$y=-\frac{1}{2}[(x-\frac{1}{3})^2-\frac{1}{9}]+3 = -\frac{1}{2}(x-\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{18} + 3 = -\frac{1}{2}(x-\frac{1}{3})^2 + \frac{55}{18}$
可得$a=-\frac{1}{2}$，$m=\frac{1}{3}$，$k=\frac{55}{18}$。
根据题意设$x'-m = y'-k = t$（$t≠0$），则点$P$坐标为$(m+t,k+t)$，代入顶点式得：
$k + t = a· t^2 + k$
消去$k$后整理得$t = a t^2$，因为$t≠0$，两边同除以$t$得$a t =1$，即$t=\frac{1}{a}$。
代入$a=-\frac{1}{2}$得$t=-2$，则“开口大小”为：
$2|x'-m|=2|t|=2×|-2|=4$
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
配方法求顶点式、二次函数的性质、新定义运算
【点评】
本题结合新定义考查二次函数的基础应用，解题核心是将新定义的等量关系转化为方程，熟练掌握配方法化简二次函数是解题的基础，注意题目中$t≠0$的限制条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
首先理解题目给出的“开口大小”新定义，解题分三步进行：第一步用配方法将给定的抛物线一般式转化为顶点式，得到$a、m、k$的值；第二步根据定义的等量关系$x'-m=y'-k≠0$，设这个公共值为$t$，将点$P(m+t,k+t)$代入顶点式，化简求出$t$的绝对值；第三步按照“开口大小”为$2|t|$的规则计算最终结果。
【解析】
先将抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x+3$化为顶点式：
1. 提取二次项系数：
$y=-\frac{1}{2}(x^2-\frac{2}{3}x)+3$
2. 配方化简：
$y=-\frac{1}{2}[(x-\frac{1}{3})^2-\frac{1}{9}]+3 = -\frac{1}{2}(x-\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{18} + 3 = -\frac{1}{2}(x-\frac{1}{3})^2 + \frac{55}{18}$
可得$a=-\frac{1}{2}$，$m=\frac{1}{3}$，$k=\frac{55}{18}$。
根据题意设$x'-m = y'-k = t$（$t≠0$），则点$P$坐标为$(m+t,k+t)$，代入顶点式得：
$k + t = a· t^2 + k$
消去$k$后整理得$t = a t^2$，因为$t≠0$，两边同除以$t$得$a t =1$，即$t=\frac{1}{a}$。
代入$a=-\frac{1}{2}$得$t=-2$，则“开口大小”为：
$2|x'-m|=2|t|=2×|-2|=4$
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
配方法求顶点式、二次函数的性质、新定义运算
【点评】
本题结合新定义考查二次函数的基础应用，解题核心是将新定义的等量关系转化为方程，熟练掌握配方法化简二次函数是解题的基础，注意题目中$t≠0$的限制条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
