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1. 二次函数$y=3x^2+1$的图象不经过的象限是 （）
A.第一、二象限
B.第二、三象限
C.第三、四象限
D.第一、四象限
A.第一、二象限
B.第二、三象限
C.第三、四象限
D.第一、四象限
答案
C
解析
【分析】
解题时首先明确本题考查二次函数图像的象限分布，可按以下思路推导：第一步，先根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向；第二步，结合解析式分析函数值的取值范围，判断y的正负性；第三步，根据各象限点的坐标特征，确定函数不经过的象限。由于本题中二次函数无一次项，也可通过顶点位置辅助判断图像分布。
【解析】
对于二次函数$y=3x^2+1$：
1. 二次项系数$a=3＞0$，可知抛物线开口向上；
2. 对任意实数$x$，都有$x^2≥0$，因此$y=3x^2+1≥1＞0$，即函数值恒为正数，说明图像上所有点的纵坐标都大于0，仅分布在x轴上方的第一、二象限；
因此该函数图像不经过第三、四象限，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图像性质；函数值取值范围；象限坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数的基本性质，解题的关键是通过解析式判断函数值的正负情况，掌握二次函数的开口方向、取值范围等基础知识点就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确本题考查二次函数图像的象限分布，可按以下思路推导：第一步，先根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向；第二步，结合解析式分析函数值的取值范围，判断y的正负性；第三步，根据各象限点的坐标特征，确定函数不经过的象限。由于本题中二次函数无一次项，也可通过顶点位置辅助判断图像分布。
【解析】
对于二次函数$y=3x^2+1$：
1. 二次项系数$a=3＞0$，可知抛物线开口向上；
2. 对任意实数$x$，都有$x^2≥0$，因此$y=3x^2+1≥1＞0$，即函数值恒为正数，说明图像上所有点的纵坐标都大于0，仅分布在x轴上方的第一、二象限；
因此该函数图像不经过第三、四象限，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图像性质；函数值取值范围；象限坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数的基本性质，解题的关键是通过解析式判断函数值的正负情况，掌握二次函数的开口方向、取值范围等基础知识点就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
2. 函数$y=ax^2 -2x +1$和$y=ax -a$（$a$是常数，且$a≠0$）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）
答案
$\boldsymbol{B}$
解析
【分析】本题是一次函数与二次函数图象共存类问题，解题需围绕参数a的符号分类讨论：首先分别推导a＞0和a＜0时，两个函数的开口方向、对称轴位置、与y轴交点、一次函数的增减性和截距等特征，再对照选项逐一排除存在矛盾的选项即可得出答案。
【解析】分两种情况讨论参数a的取值：
1. 若$a＜0$：
二次函数$y=ax^2-2x+1$开口向下，对称轴$x=\frac{-b}{2a}=\frac{2}{2a}=\frac{1}{a}＜0$（位于y轴左侧），且当$x=0$时$y=1$，即与y轴交于正半轴点$(0,1)$；
一次函数$y=ax-a$斜率为$a＜0$，图象呈下降趋势，截距为$-a＞0$，与y轴交于正半轴。
选项A中二次函数开口向上（对应$a＞0$），与一次函数下降趋势（对应$a＜0$）矛盾，排除A；选项D中二次函数开口向下（对应$a＜0$），与一次函数上升趋势（对应$a＞0$）矛盾，排除D。
2. 若$a＞0$：
二次函数$y=ax^2-2x+1$开口向上，对称轴$x=\frac{1}{a}＞0$（位于y轴右侧），与y轴交于正半轴点$(0,1)$；
一次函数$y=ax-a$斜率为$a＞0$，图象呈上升趋势，截距为$-a＜0$，与y轴交于负半轴。
选项C中二次函数与y轴交于负半轴，不符合二次函数恒过$(0,1)$的特征，排除C；选项B的所有图象特征均符合推导结论。
综上，本题选B。
【答案】$\boldsymbol{B}$
【知识点】一次函数图象性质；二次函数图象性质；含参函数图象判断
【点评】本题是函数图象类的典型题型，核心考查函数图象与系数的对应关系，解题的关键是通过分类讨论参数符号，逐个排查矛盾选项，熟练掌握一次、二次函数的图象特征即可快速解题。
【难度系数】0.65
【解析】分两种情况讨论参数a的取值：
1. 若$a＜0$：
二次函数$y=ax^2-2x+1$开口向下，对称轴$x=\frac{-b}{2a}=\frac{2}{2a}=\frac{1}{a}＜0$（位于y轴左侧），且当$x=0$时$y=1$，即与y轴交于正半轴点$(0,1)$；
一次函数$y=ax-a$斜率为$a＜0$，图象呈下降趋势，截距为$-a＞0$，与y轴交于正半轴。
选项A中二次函数开口向上（对应$a＞0$），与一次函数下降趋势（对应$a＜0$）矛盾，排除A；选项D中二次函数开口向下（对应$a＜0$），与一次函数上升趋势（对应$a＞0$）矛盾，排除D。
2. 若$a＞0$：
二次函数$y=ax^2-2x+1$开口向上，对称轴$x=\frac{1}{a}＞0$（位于y轴右侧），与y轴交于正半轴点$(0,1)$；
一次函数$y=ax-a$斜率为$a＞0$，图象呈上升趋势，截距为$-a＜0$，与y轴交于负半轴。
选项C中二次函数与y轴交于负半轴，不符合二次函数恒过$(0,1)$的特征，排除C；选项B的所有图象特征均符合推导结论。
综上，本题选B。
【答案】$\boldsymbol{B}$
【知识点】一次函数图象性质；二次函数图象性质；含参函数图象判断
【点评】本题是函数图象类的典型题型，核心考查函数图象与系数的对应关系，解题的关键是通过分类讨论参数符号，逐个排查矛盾选项，熟练掌握一次、二次函数的图象特征即可快速解题。
【难度系数】0.65
3. 已知函数$y=x^2+bx+c$的部分图象如图1所示，若$y＜0$，则$x$的取值范围是（）
A.$-1＜x＜3$
B.$-1＜x＜4$
C.$x＜-1$或$x＞4$
D.$x＜-1$或$x＞3$
A.$-1＜x＜3$
B.$-1＜x＜4$
C.$x＜-1$或$x＞4$
D.$x＜-1$或$x＞3$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先利用二次函数的对称性求解抛物线与x轴的另一个交点坐标：已知抛物线对称轴为直线$x=1$，且图像显示抛物线与x轴的一个交点为$(-1,0)$，根据抛物线关于对称轴对称的性质，两个交点到对称轴的水平距离相等，即可算出另一个交点坐标。再结合抛物线开口向上的特征，$y＜0$对应抛物线在x轴下方的部分，对应x的取值范围就是两个交点之间的区间。
【解析】
解：由图像可知，二次函数$y=x^2+bx+c$的对称轴为直线$x=1$，且抛物线与x轴的一个交点为$(-1,0)$。
设抛物线与x轴的另一个交点横坐标为$m$，根据对称轴是两个交点横坐标的中点，可得：
$\frac{-1+m}{2}=1$
解得$m=3$，即抛物线与x轴的另一个交点为$(3,0)$。
由于抛物线开口向上，因此当$y＜0$时，图像位于x轴下方，对应$x$的取值范围是$-1＜x＜3$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与不等式；二次函数图像性质
【点评】
本题将二次函数图像与不等式相结合，核心考查二次函数的对称性和数形结合思想的应用，解题的关键是利用对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，再结合图像走向判断对应自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用二次函数的对称性求解抛物线与x轴的另一个交点坐标：已知抛物线对称轴为直线$x=1$，且图像显示抛物线与x轴的一个交点为$(-1,0)$，根据抛物线关于对称轴对称的性质，两个交点到对称轴的水平距离相等，即可算出另一个交点坐标。再结合抛物线开口向上的特征，$y＜0$对应抛物线在x轴下方的部分，对应x的取值范围就是两个交点之间的区间。
【解析】
解：由图像可知，二次函数$y=x^2+bx+c$的对称轴为直线$x=1$，且抛物线与x轴的一个交点为$(-1,0)$。
设抛物线与x轴的另一个交点横坐标为$m$，根据对称轴是两个交点横坐标的中点，可得：
$\frac{-1+m}{2}=1$
解得$m=3$，即抛物线与x轴的另一个交点为$(3,0)$。
由于抛物线开口向上，因此当$y＜0$时，图像位于x轴下方，对应$x$的取值范围是$-1＜x＜3$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与不等式；二次函数图像性质
【点评】
本题将二次函数图像与不等式相结合，核心考查二次函数的对称性和数形结合思想的应用，解题的关键是利用对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，再结合图像走向判断对应自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
4. (2025·台湾改编)坐标平面上有二次函数$y=-(x+7)^2+12$的图象，今将此图象向右平移10个单位长度，平移过程中此图象与y轴的交点也会跟着变化。假设此图象与y轴的交点为P，判断在平移过程中，P点位置的变化情形为（）
A.持续向下
B.持续向上
C.先向下，再向上
D.先向上，再向下
A.持续向下
B.持续向上
C.先向下，再向上
D.先向上，再向下
答案
D
解析
【分析】
要判断平移过程中y轴交点P的位置变化，首先需根据二次函数平移规律写出平移后的函数解析式，再求出P点纵坐标关于平移距离的函数，最后根据该函数的增减性判断P点的变化趋势。具体思路：1. 设向右平移的距离为t（0≤t≤10），按“左加右减”的平移规则写出平移后的解析式；2. 令x=0，求出P点的纵坐标表达式；3. 分析纵坐标关于t的函数的单调性，即可得到P点的变化情况。
【解析】
设二次函数图象向右平移t个单位长度，其中$0≤ t≤10$。
根据二次函数图象平移“左加右减”的规则，平移后的函数解析式为：
$y=-(x+7-t)^2+12$
二次函数图象与y轴的交点P的横坐标为0，将$x=0$代入解析式，得P点的纵坐标：
$y=-(0+7-t)^2+12=-(t-7)^2+12$
该式是关于t的二次函数，二次项系数为$-1＜0$，开口向下，对称轴为$t=7$。
因此：
① 当$0≤ t＜7$时，t增大，y随t的增大而增大，即P点持续向上移动；
② 当$7＜ t≤10$时，t增大，y随t的增大而减小，即P点持续向下移动。
综上，平移过程中P点先向上，再向下。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数的性质；二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题将二次函数的平移与二次函数增减性相结合考查，解题的核心是将交点P的纵坐标转化为关于平移距离的二次函数，再通过分析该函数的单调性得到结论，需要熟练掌握二次函数的平移规则和图象性质。
【难度系数】
0.7
要判断平移过程中y轴交点P的位置变化，首先需根据二次函数平移规律写出平移后的函数解析式，再求出P点纵坐标关于平移距离的函数，最后根据该函数的增减性判断P点的变化趋势。具体思路：1. 设向右平移的距离为t（0≤t≤10），按“左加右减”的平移规则写出平移后的解析式；2. 令x=0，求出P点的纵坐标表达式；3. 分析纵坐标关于t的函数的单调性，即可得到P点的变化情况。
【解析】
设二次函数图象向右平移t个单位长度，其中$0≤ t≤10$。
根据二次函数图象平移“左加右减”的规则，平移后的函数解析式为：
$y=-(x+7-t)^2+12$
二次函数图象与y轴的交点P的横坐标为0，将$x=0$代入解析式，得P点的纵坐标：
$y=-(0+7-t)^2+12=-(t-7)^2+12$
该式是关于t的二次函数，二次项系数为$-1＜0$，开口向下，对称轴为$t=7$。
因此：
① 当$0≤ t＜7$时，t增大，y随t的增大而增大，即P点持续向上移动；
② 当$7＜ t≤10$时，t增大，y随t的增大而减小，即P点持续向下移动。
综上，平移过程中P点先向上，再向下。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数的性质；二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题将二次函数的平移与二次函数增减性相结合考查，解题的核心是将交点P的纵坐标转化为关于平移距离的二次函数，再通过分析该函数的单调性得到结论，需要熟练掌握二次函数的平移规则和图象性质。
【难度系数】
0.7
5. (2025·陕西)在平面直角坐标系中,二次函数$y=ax^2 -2ax +a -3$($a≠0$)的图象与x轴有两个交点,且这两个交点分别位于y轴两侧,则下列关于该函数的结论正确的是 ()
A.图象的开口向下
B.当$x＞0$时,y的值随x值的增大而增大
C.函数的最小值小于-3
D.当$x=2$时,$y＜0$
A.图象的开口向下
B.当$x＞0$时,y的值随x值的增大而增大
C.函数的最小值小于-3
D.当$x=2$时,$y＜0$
答案
D
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先将二次函数解析式整理为顶点式，确定函数的对称轴与顶点坐标；第二步根据“图象与x轴的两个交点位于y轴两侧”的条件，利用一元二次方程根与系数的关系，两根之积小于0，求出参数a的取值范围；第三步结合a的取值范围和二次函数的性质，逐一分析四个选项的正误即可。
【解析】
首先将二次函数解析式变形为顶点式：
$y=ax^2-2ax+a-3=a(x^2-2x+1)-3=a(x-1)^2-3$
由此可得：函数对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-3)$。
设二次函数与x轴交点的横坐标为$x_1,x_2$，已知两交点在y轴两侧，即两根异号，故$x_1x_2＜0$。
对于一元二次方程$ax^2-2ax+a-3=0$，由韦达定理得：$x_1x_2=\frac{a-3}{a}$，因此：
$\frac{a-3}{a}＜0$，即$a$与$a-3$异号，解得$0＜a＜3$。
逐一分析选项：
A. 由$0＜a＜3$可知$a＞0$，二次函数图象开口向上，A错误；
B. 函数开口向上，对称轴为$x=1$，因此当$x＞1$时，y随x的增大而增大，当$0＜x＜1$时y随x的增大而减小，B错误；
C. 函数开口向上，顶点为最小值点，最小值为顶点纵坐标$-3$，即最小值等于$-3$，并非小于$-3$，C错误；
D. 当$x=2$时，代入解析式得$y=a×2^2-2a×2+a-3=a-3$，由$a＜3$可得$a-3＜0$，即$y＜0$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；根与系数的关系；二次函数的最值
【点评】
本题综合考查二次函数的图象与性质，解题核心是先根据交点的位置特征求出参数a的取值范围，再结合二次函数的开口方向、对称轴、最值等性质判断选项，是二次函数的典型综合题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步先将二次函数解析式整理为顶点式，确定函数的对称轴与顶点坐标；第二步根据“图象与x轴的两个交点位于y轴两侧”的条件，利用一元二次方程根与系数的关系，两根之积小于0，求出参数a的取值范围；第三步结合a的取值范围和二次函数的性质，逐一分析四个选项的正误即可。
【解析】
首先将二次函数解析式变形为顶点式：
$y=ax^2-2ax+a-3=a(x^2-2x+1)-3=a(x-1)^2-3$
由此可得：函数对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-3)$。
设二次函数与x轴交点的横坐标为$x_1,x_2$，已知两交点在y轴两侧，即两根异号，故$x_1x_2＜0$。
对于一元二次方程$ax^2-2ax+a-3=0$，由韦达定理得：$x_1x_2=\frac{a-3}{a}$，因此：
$\frac{a-3}{a}＜0$，即$a$与$a-3$异号，解得$0＜a＜3$。
逐一分析选项：
A. 由$0＜a＜3$可知$a＞0$，二次函数图象开口向上，A错误；
B. 函数开口向上，对称轴为$x=1$，因此当$x＞1$时，y随x的增大而增大，当$0＜x＜1$时y随x的增大而减小，B错误；
C. 函数开口向上，顶点为最小值点，最小值为顶点纵坐标$-3$，即最小值等于$-3$，并非小于$-3$，C错误；
D. 当$x=2$时，代入解析式得$y=a×2^2-2a×2+a-3=a-3$，由$a＜3$可得$a-3＜0$，即$y＜0$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；根与系数的关系；二次函数的最值
【点评】
本题综合考查二次函数的图象与性质，解题核心是先根据交点的位置特征求出参数a的取值范围，再结合二次函数的开口方向、对称轴、最值等性质判断选项，是二次函数的典型综合题型。
【难度系数】
0.7
6. 如图2,现要在抛物线$y=x(4-x)$上找一点$P(a,b)$。针对$b$的不同取值,所找点$P$的个数,三人的说法如下：
甲:若$b=5$,则点$P$的个数为0。
乙:若$b=4$,则点$P$的个数为1。
丙:若$b=3$,则点$P$的个数为1。
下列判断正确的是 ()
A.乙错,丙对
B.甲和乙都错
C.乙对,丙错
D.甲错,丙对
甲:若$b=5$,则点$P$的个数为0。
乙:若$b=4$,则点$P$的个数为1。
丙:若$b=3$,则点$P$的个数为1。
下列判断正确的是 ()
A.乙错,丙对
B.甲和乙都错
C.乙对,丙错
D.甲错,丙对
答案
C
解析
【分析】
首先将抛物线的一般式化为顶点式，确定抛物线的开口方向和函数最大值，再分别对应b的不同取值，通过判断对应一元二次方程解的个数，确定点P的个数，进而判断三人说法的对错，选出正确选项。
【解析】
先整理抛物线解析式：
$y=x(4-x)=-x^2+4x$，配方得$y=-(x-2)^2+4$，
由此可知抛物线开口向下，顶点坐标为$(2,4)$，函数的最大值为4。
1. 当$b=5$时：
因为$5＞4$，不存在x使得函数值$y=5$，所以点P的个数为0，甲的说法正确；
2. 当$b=4$时：
对应点为抛物线的顶点，仅1个点满足条件，所以乙的说法正确；
3. 当$b=3$时：
令$x(4-x)=3$，整理得$x^2-4x+3=0$，
判别式$\Delta=(-4)^2-4×1×3=4＞0$，方程有2个不同的实数根，即点P的个数为2，所以丙的说法错误。
综上，乙对、丙错，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题将二次函数图象上点的坐标特征与一元二次方程根的情况结合考查，解题核心是先确定二次函数的最值，再通过方程解的个数判断对应点的个数，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
首先将抛物线的一般式化为顶点式，确定抛物线的开口方向和函数最大值，再分别对应b的不同取值，通过判断对应一元二次方程解的个数，确定点P的个数，进而判断三人说法的对错，选出正确选项。
【解析】
先整理抛物线解析式：
$y=x(4-x)=-x^2+4x$，配方得$y=-(x-2)^2+4$，
由此可知抛物线开口向下，顶点坐标为$(2,4)$，函数的最大值为4。
1. 当$b=5$时：
因为$5＞4$，不存在x使得函数值$y=5$，所以点P的个数为0，甲的说法正确；
2. 当$b=4$时：
对应点为抛物线的顶点，仅1个点满足条件，所以乙的说法正确；
3. 当$b=3$时：
令$x(4-x)=3$，整理得$x^2-4x+3=0$，
判别式$\Delta=(-4)^2-4×1×3=4＞0$，方程有2个不同的实数根，即点P的个数为2，所以丙的说法错误。
综上，乙对、丙错，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题将二次函数图象上点的坐标特征与一元二次方程根的情况结合考查，解题核心是先确定二次函数的最值，再通过方程解的个数判断对应点的个数，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
