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19. (14分)在平面直角坐标系$xOy$中,直线$y=-\frac{1}{2}x+5$与$x$轴、$y$轴分别交于点$A,B$(
),抛物线$y=ax^2+bx$经过点$A$。
(1)求线段$AB$的长；
(2)如果抛物线$y=ax^2+bx$经过线段$AB$上的另一点$C$,且$BC=\sqrt{5}$,求这条抛物线的表达式；
(3)如果抛物线$y=ax^2+bx$的顶点$D$位于$△ AOB$内,求$a$的取值范围。
),抛物线$y=ax^2+bx$经过点$A$。(1)求线段$AB$的长；
(2)如果抛物线$y=ax^2+bx$经过线段$AB$上的另一点$C$,且$BC=\sqrt{5}$,求这条抛物线的表达式；
(3)如果抛物线$y=ax^2+bx$的顶点$D$位于$△ AOB$内,求$a$的取值范围。
答案
解：
(1) 对于直线$y=-\frac{1}{2}x+5$：
令$y=0$，则$0=-\frac{1}{2}x+5$，解得$x=10$，得$A(10,0)$；
令$x=0$，则$y=5$，得$B(0,5)$。
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$OA=10$，$OB=5$，由勾股定理：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{10^2+5^2}=5\sqrt{5}$
(2) 设点$C$坐标为$(x,-\frac{1}{2}x+5)$，其中$0＜x＜10$，由$BC=\sqrt{5}$得：
$\sqrt{(x-0)^2+(-\frac{1}{2}x+5-5)^2}=\sqrt{5}$
化简得$\frac{\sqrt{5}}{2}x=\sqrt{5}$，解得$x=2$，代入直线方程得$y=4$，即$C(2,4)$。
将$A(10,0)$、$C(2,4)$代入$y=ax^2+bx$，得方程组：
$\begin{cases}100a+10b=0\\4a+2b=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{4}\\b=\frac{5}{2}\end{cases}$
因此抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{5}{2}x$。
(3) 把$A(10,0)$代入$y=ax^2+bx$，得$100a+10b=0$，即$b=-10a$。
抛物线顶点$D$的横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-10a}{2a}=5$，
顶点纵坐标为$y=\frac{-b^2}{4a}=\frac{-100a^2}{4a}=-25a$，即$D(5,-25a)$。
因为顶点$D$位于$△ AOB$内，需满足$0＜y_D＜-\frac{1}{2}×5+5=\frac{5}{2}$，即：
$0＜-25a＜\frac{5}{2}$
解得$-\frac{1}{10}＜a＜0$。
综上：
(1) $AB=5\sqrt{5}$；
(2) 抛物线表达式为$y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{5}{2}x$；
(3) $a$的取值范围是$-\frac{1}{10}＜a＜0$。
(1) 对于直线$y=-\frac{1}{2}x+5$：
令$y=0$，则$0=-\frac{1}{2}x+5$，解得$x=10$，得$A(10,0)$；
令$x=0$，则$y=5$，得$B(0,5)$。
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$OA=10$，$OB=5$，由勾股定理：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{10^2+5^2}=5\sqrt{5}$
(2) 设点$C$坐标为$(x,-\frac{1}{2}x+5)$，其中$0＜x＜10$，由$BC=\sqrt{5}$得：
$\sqrt{(x-0)^2+(-\frac{1}{2}x+5-5)^2}=\sqrt{5}$
化简得$\frac{\sqrt{5}}{2}x=\sqrt{5}$，解得$x=2$，代入直线方程得$y=4$，即$C(2,4)$。
将$A(10,0)$、$C(2,4)$代入$y=ax^2+bx$，得方程组：
$\begin{cases}100a+10b=0\\4a+2b=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{4}\\b=\frac{5}{2}\end{cases}$
因此抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{5}{2}x$。
(3) 把$A(10,0)$代入$y=ax^2+bx$，得$100a+10b=0$，即$b=-10a$。
抛物线顶点$D$的横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-10a}{2a}=5$，
顶点纵坐标为$y=\frac{-b^2}{4a}=\frac{-100a^2}{4a}=-25a$，即$D(5,-25a)$。
因为顶点$D$位于$△ AOB$内，需满足$0＜y_D＜-\frac{1}{2}×5+5=\frac{5}{2}$，即：
$0＜-25a＜\frac{5}{2}$
解得$-\frac{1}{10}＜a＜0$。
综上：
(1) $AB=5\sqrt{5}$；
(2) 抛物线表达式为$y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{5}{2}x$；
(3) $a$的取值范围是$-\frac{1}{10}＜a＜0$。
解析
【分析】
(1) 求线段AB长的第一步是确定A、B两点坐标：直线与x轴交点的纵坐标为0，与y轴交点的横坐标为0，代入直线解析式即可求出A、B坐标，再在Rt△AOB中用勾股定理计算AB长度即可。
(2) 点C在线段AB上，可设其横坐标为x，纵坐标用直线解析式表示，结合BC=√5的条件，利用两点间距离公式列方程求出C点坐标，再将A、C两点代入抛物线解析式，解二元一次方程组得到a、b的值，即可确定抛物线表达式。
(3) 先将A点坐标代入抛物线解析式，得到a与b的关系，再利用二次函数顶点坐标公式求出顶点D的坐标，结合顶点在△AOB内的限制：顶点纵坐标大于0，且小于直线AB在顶点横坐标处的函数值，列不等式求解即可得到a的取值范围。
【解析】
(1) 对于直线$y=-\frac{1}{2}x+5$：
令$y=0$，则$0=-\frac{1}{2}x+5$，解得$x=10$，得$A(10,0)$；
令$x=0$，则$y=5$，得$B(0,5)$。
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$OA=10$，$OB=5$，由勾股定理：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{10^2+5^2}=5\sqrt{5}$。
(2) 设点$C$坐标为$(x,-\frac{1}{2}x+5)$，其中$0＜x＜10$，由$BC=\sqrt{5}$得：
$\sqrt{(x-0)^2+(-\frac{1}{2}x+5-5)^2}=\sqrt{5}$
化简得$\frac{\sqrt{5}}{2}x=\sqrt{5}$，解得$x=2$，代入直线方程得$y=4$，即$C(2,4)$。
将$A(10,0)$、$C(2,4)$代入$y=ax^2+bx$，得方程组：
$\begin{cases}100a+10b=0\\4a+2b=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{4}\\b=\frac{5}{2}\end{cases}$
因此抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{5}{2}x$。
(3) 把$A(10,0)$代入$y=ax^2+bx$，得$100a+10b=0$，即$b=-10a$。
抛物线顶点$D$的横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-10a}{2a}=5$，
顶点纵坐标为$y=\frac{-b^2}{4a}=\frac{-100a^2}{4a}=-25a$，即$D(5,-25a)$。
因为顶点$D$位于$△ AOB$内，需满足$0＜y_D＜-\frac{1}{2}×5+5=\frac{5}{2}$，即：
$0＜-25a＜\frac{5}{2}$
解得$-\frac{1}{10}＜a＜0$。
【答案】
(1) $5\sqrt{5}$
(2) $y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{5}{2}x$
(3) $-\frac{1}{10}＜a＜0$
【知识点】
1.一次函数交点求解
2.待定系数法求二次函数解析式
3.二次函数顶点坐标公式
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合题型，涵盖了坐标计算、勾股定理、不等式求解等多个考点，既考察基础运算能力，也要求结合函数图像性质分析参数范围，是函数模块的典型综合题。
【难度系数】
0.6
(1) 求线段AB长的第一步是确定A、B两点坐标：直线与x轴交点的纵坐标为0，与y轴交点的横坐标为0，代入直线解析式即可求出A、B坐标，再在Rt△AOB中用勾股定理计算AB长度即可。
(2) 点C在线段AB上，可设其横坐标为x，纵坐标用直线解析式表示，结合BC=√5的条件，利用两点间距离公式列方程求出C点坐标，再将A、C两点代入抛物线解析式，解二元一次方程组得到a、b的值，即可确定抛物线表达式。
(3) 先将A点坐标代入抛物线解析式，得到a与b的关系，再利用二次函数顶点坐标公式求出顶点D的坐标，结合顶点在△AOB内的限制：顶点纵坐标大于0，且小于直线AB在顶点横坐标处的函数值，列不等式求解即可得到a的取值范围。
【解析】
(1) 对于直线$y=-\frac{1}{2}x+5$：
令$y=0$，则$0=-\frac{1}{2}x+5$，解得$x=10$，得$A(10,0)$；
令$x=0$，则$y=5$，得$B(0,5)$。
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$OA=10$，$OB=5$，由勾股定理：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{10^2+5^2}=5\sqrt{5}$。
(2) 设点$C$坐标为$(x,-\frac{1}{2}x+5)$，其中$0＜x＜10$，由$BC=\sqrt{5}$得：
$\sqrt{(x-0)^2+(-\frac{1}{2}x+5-5)^2}=\sqrt{5}$
化简得$\frac{\sqrt{5}}{2}x=\sqrt{5}$，解得$x=2$，代入直线方程得$y=4$，即$C(2,4)$。
将$A(10,0)$、$C(2,4)$代入$y=ax^2+bx$，得方程组：
$\begin{cases}100a+10b=0\\4a+2b=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{4}\\b=\frac{5}{2}\end{cases}$
因此抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{5}{2}x$。
(3) 把$A(10,0)$代入$y=ax^2+bx$，得$100a+10b=0$，即$b=-10a$。
抛物线顶点$D$的横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-10a}{2a}=5$，
顶点纵坐标为$y=\frac{-b^2}{4a}=\frac{-100a^2}{4a}=-25a$，即$D(5,-25a)$。
因为顶点$D$位于$△ AOB$内，需满足$0＜y_D＜-\frac{1}{2}×5+5=\frac{5}{2}$，即：
$0＜-25a＜\frac{5}{2}$
解得$-\frac{1}{10}＜a＜0$。
【答案】
(1) $5\sqrt{5}$
(2) $y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{5}{2}x$
(3) $-\frac{1}{10}＜a＜0$
【知识点】
1.一次函数交点求解
2.待定系数法求二次函数解析式
3.二次函数顶点坐标公式
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合题型，涵盖了坐标计算、勾股定理、不等式求解等多个考点，既考察基础运算能力，也要求结合函数图像性质分析参数范围，是函数模块的典型综合题。
【难度系数】
0.6
