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18. (12分)(2024·大庆)“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，某农副产品也随之畅销全国。某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的30天中，第x天(1≤x≤30且x为整数)的售价为y(元/千克)。当1≤x≤20时，y=kx+b；当20＜x≤30时，y=15。销量z(千克)与x的函数关系式为z=x+10，已知该产品第10天的售价为20元/千克，第15天的售价为15元/千克，设第x天的销售额为M(元)。
(1)k=,b=；
(2)写出第x天的销售额M与x之间的函数关系式；
(3)求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元。
(1)k=,b=；
(2)写出第x天的销售额M与x之间的函数关系式；
(3)求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元。
答案
解：
(1) 将$x=10,y=20$和$x=15,y=15$代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}10k + b = 20 \\15k + b = 15\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\b=30\end{cases}$
故$k=\boldsymbol{-1}$，$b=\boldsymbol{30}$。
(2) 分两种情况：
当$1≤ x≤ 20$且$x$为整数时，$y=-x+30$，
$M=y· z=(-x+30)(x+10)=-x^2+20x+300$；
当$20＜x≤ 30$且$x$为整数时，$y=15$，
$M=y· z=15(x+10)=15x+150$。
因此销售额$M$与$x$的函数关系式为：
$M=\begin{cases}-x^2 + 20x + 300 & (1≤ x≤ 20,\ x为整数) \\15x + 150 & (20＜ x≤ 30,\ x为整数)\end{cases}$
(3) 分情况讨论：
① 当$1≤ x≤ 20$时，令$M＞500$，即：
$-x^2+20x+300＞500$
整理得$(x-10)^2 + 100 ＜ 0$，该不等式无解，此区间没有销售额超过500元的天数。
② 当$20＜x≤ 30$时，令$M＞500$，即：
$15x+150＞500$
解得$x＞\frac{70}{3}\approx23.33$。
结合$x$为整数且$20＜x≤30$，得$x$可取24,25,26,27,28,29,30，共7个值。
答：在试销售的30天中，共有7天销售额超过500元。
(1) 将$x=10,y=20$和$x=15,y=15$代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}10k + b = 20 \\15k + b = 15\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\b=30\end{cases}$
故$k=\boldsymbol{-1}$，$b=\boldsymbol{30}$。
(2) 分两种情况：
当$1≤ x≤ 20$且$x$为整数时，$y=-x+30$，
$M=y· z=(-x+30)(x+10)=-x^2+20x+300$；
当$20＜x≤ 30$且$x$为整数时，$y=15$，
$M=y· z=15(x+10)=15x+150$。
因此销售额$M$与$x$的函数关系式为：
$M=\begin{cases}-x^2 + 20x + 300 & (1≤ x≤ 20,\ x为整数) \\15x + 150 & (20＜ x≤ 30,\ x为整数)\end{cases}$
(3) 分情况讨论：
① 当$1≤ x≤ 20$时，令$M＞500$，即：
$-x^2+20x+300＞500$
整理得$(x-10)^2 + 100 ＜ 0$，该不等式无解，此区间没有销售额超过500元的天数。
② 当$20＜x≤ 30$时，令$M＞500$，即：
$15x+150＞500$
解得$x＞\frac{70}{3}\approx23.33$。
结合$x$为整数且$20＜x≤30$，得$x$可取24,25,26,27,28,29,30，共7个值。
答：在试销售的30天中，共有7天销售额超过500元。
解析
【分析】
(1) 已知1≤x≤20时售价y是关于x的一次函数，且给出第10天售价20元/千克、第15天售价15元/千克，将两组x、y的对应值代入y=kx+b得到二元一次方程组，解方程组即可求出k、b的值。
(2) 销售额=售价×销量，已知销量z=x+10，售价按x的取值分为两段，因此分1≤x≤20、20＜x≤30两种情况，分别用对应区间的售价乘以销量，整理后即可得到M与x的分段函数关系式。
(3) 求销售额超过500元的天数，同样分两个区间讨论，分别令对应区间的M＞500，解不等式后结合x的取值范围和x为正整数的条件，统计符合要求的x的个数，求和即为总天数。
【解析】
(1) 将$x=10,y=20$和$x=15,y=15$代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}10k + b = 20 \\15k + b = 15\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\b=30\end{cases}$
(2) 分两种情况计算销售额M：
① 当$1≤ x≤ 20$且x为整数时，$y=-x+30$，已知$z=x+10$，则
$M=y· z=(-x+30)(x+10)=-x^2+20x+300$；
② 当$20＜x≤ 30$且x为整数时，$y=15$，则
$M=y· z=15(x+10)=15x+150$。
因此销售额M与x的函数关系式为：
$M=\begin{cases}-x^2 + 20x + 300 & (1≤ x≤ 20,\ x为整数) \\15x + 150 & (20＜ x≤ 30,\ x为整数)\end{cases}$
(3) 分情况解不等式M＞500：
① 当$1≤ x≤ 20$时，令$-x^2+20x+300＞500$，
整理得$x^2-20x+200＜0$，配方得$(x-10)^2 + 100 ＜ 0$，该不等式无解，此区间没有符合要求的天数。
② 当$20＜x≤ 30$时，令$15x+150＞500$，
解得$x＞\frac{70}{3}\approx23.33$，结合x为整数且$20＜x≤30$，得x可取24、25、26、27、28、29、30，共7个值。
【答案】
(1) $-1$，$30$
(2) $M=\begin{cases}-x^2 + 20x + 300 & (1≤ x≤ 20,\ x为整数) \\15x + 150 & (20＜ x≤ 30,\ x为整数)\end{cases}$
(3) $7$
【知识点】
待定系数法求一次函数，分段函数应用，不等式求解
【点评】
本题结合热点生活情境考查函数的实际应用，需要学生掌握分类讨论的思想，解题时要注意自变量的取值范围为正整数，避免出现多解、漏解的问题。
【难度系数】
0.6
(1) 已知1≤x≤20时售价y是关于x的一次函数，且给出第10天售价20元/千克、第15天售价15元/千克，将两组x、y的对应值代入y=kx+b得到二元一次方程组，解方程组即可求出k、b的值。
(2) 销售额=售价×销量，已知销量z=x+10，售价按x的取值分为两段，因此分1≤x≤20、20＜x≤30两种情况，分别用对应区间的售价乘以销量，整理后即可得到M与x的分段函数关系式。
(3) 求销售额超过500元的天数，同样分两个区间讨论，分别令对应区间的M＞500，解不等式后结合x的取值范围和x为正整数的条件，统计符合要求的x的个数，求和即为总天数。
【解析】
(1) 将$x=10,y=20$和$x=15,y=15$代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}10k + b = 20 \\15k + b = 15\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\b=30\end{cases}$
(2) 分两种情况计算销售额M：
① 当$1≤ x≤ 20$且x为整数时，$y=-x+30$，已知$z=x+10$，则
$M=y· z=(-x+30)(x+10)=-x^2+20x+300$；
② 当$20＜x≤ 30$且x为整数时，$y=15$，则
$M=y· z=15(x+10)=15x+150$。
因此销售额M与x的函数关系式为：
$M=\begin{cases}-x^2 + 20x + 300 & (1≤ x≤ 20,\ x为整数) \\15x + 150 & (20＜ x≤ 30,\ x为整数)\end{cases}$
(3) 分情况解不等式M＞500：
① 当$1≤ x≤ 20$时，令$-x^2+20x+300＞500$，
整理得$x^2-20x+200＜0$，配方得$(x-10)^2 + 100 ＜ 0$，该不等式无解，此区间没有符合要求的天数。
② 当$20＜x≤ 30$时，令$15x+150＞500$，
解得$x＞\frac{70}{3}\approx23.33$，结合x为整数且$20＜x≤30$，得x可取24、25、26、27、28、29、30，共7个值。
【答案】
(1) $-1$，$30$
(2) $M=\begin{cases}-x^2 + 20x + 300 & (1≤ x≤ 20,\ x为整数) \\15x + 150 & (20＜ x≤ 30,\ x为整数)\end{cases}$
(3) $7$
【知识点】
待定系数法求一次函数，分段函数应用，不等式求解
【点评】
本题结合热点生活情境考查函数的实际应用，需要学生掌握分类讨论的思想，解题时要注意自变量的取值范围为正整数，避免出现多解、漏解的问题。
【难度系数】
0.6
