17. (11分)某农场计划建造一个矩形养殖场,为充分利用现有资源,该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10 m),另外三面用栅栏围成,中间再用栅栏把它分成两个面积比为1:2的矩形。已知栅栏的总长度为24 m,设较小矩形的宽为x m(如图5)。
(1)若矩形养殖场的总面积为36 m²,求此时x的值。
(2)当x为多少时,矩形养殖场的总面积最大?最大值为多少?

解：
(1) 由两个矩形面积比为1:2，且二者垂直于墙的边长相等，可得较大矩形平行于墙的边长为$2x\ \mathrm{m}$，因此整个养殖场平行于墙的总长度为$x+2x=3x\ \mathrm{m}$。
已知栅栏总长度为24 m，三条垂直于墙的栅栏总长度为$24-3x\ \mathrm{m}$，因此垂直于墙的边长为$\frac{24-3x}{3}=(8-x)\ \mathrm{m}$。
由墙长为10 m，得$3x≤10$，即$x≤\frac{10}{3}$，结合$x＞0$，得自变量取值范围为$0＜x≤\frac{10}{3}$。
根据总面积为$36\ \mathrm{m}^2$列方程：
$3x·(8-x)=36$
整理得：$x^2-8x+12=0$
解得$x_1=2$，$x_2=6$。
因为$6＞\frac{10}{3}$，不符合题意，舍去，故$x=2$。
(2) 设矩形养殖场的总面积为$S\ \mathrm{m}^2$，则：
$S=3x(8-x)=-3x^2+24x=-3(x-4)^2+48$
该二次函数开口向下，对称轴为$x=4$，结合自变量取值范围$0＜x≤\frac{10}{3}＜4$，可知$S$在$0＜x≤\frac{10}{3}$范围内随$x$的增大而增大。
因此当$x=\frac{10}{3}$时，$S$取得最大值，最大值为：
$S=-3×(\frac{10}{3}-4)^2+48=\frac{140}{3}$
答：(1) 此时$x$的值为2；(2) 当$x$为$\frac{10}{3}$时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为$\frac{140}{3}\ \mathrm{m}^2$。

【分析】
(1) 求解第一问时，首先根据两个矩形面积比为1:2且垂直于墙的边长相等，可得较大矩形平行于墙的边长为2x m，因此整个养殖场平行于墙的总长度为3x m；再结合栅栏总长度24m，求出垂直于墙的边长；同时注意墙长仅10m，因此3x≤10，得到x的取值范围；最后根据总面积为36m²列一元二次方程求解，舍去超出取值范围的解即可。
(2) 求解第二问时，先根据矩形面积公式建立总面积S关于x的二次函数解析式，再根据二次函数的开口方向、对称轴，结合x的取值范围判断函数的单调性，即可求出S的最大值及对应的x值。
【解析】
(1) 已知两个矩形面积比为1:2，且二者垂直于墙的边长相等，因此较大矩形平行于墙的边长为2x m，整个养殖场平行于墙的总长度为$x+2x=3x\ \mathrm{m}$。
由栅栏总长度为24 m，可知三条垂直于墙的栅栏与平行于墙的栅栏总长为24m，因此三条垂直于墙的栅栏总长度为$24-3x\ \mathrm{m}$，垂直于墙的边长为$\frac{24-3x}{3}=(8-x)\ \mathrm{m}$。
由墙长为10 m，得$3x≤10$，即$x≤\frac{10}{3}$，结合$x＞0$，得自变量取值范围为$0＜x≤\frac{10}{3}$。
根据总面积为$36\ \mathrm{m}^2$列方程：
$3x·(8-x)=36$
整理得：$x^2-8x+12=0$
解得$x_1=2$，$x_2=6$。
因为$6＞\frac{10}{3}$，不符合题意，舍去，故$x=2$。
(2) 设矩形养殖场的总面积为$S\ \mathrm{m}^2$，则：
$S=3x(8-x)=-3x^2+24x=-3(x-4)^2+48$
该二次函数开口向下，对称轴为$x=4$，结合自变量取值范围$0＜x≤\frac{10}{3}＜4$，可知$S$在$0＜x≤\frac{10}{3}$范围内随$x$的增大而增大。
因此当$x=\frac{10}{3}$时，$S$取得最大值，最大值为：
$S=-3×(\frac{10}{3}-4)^2+48=\frac{140}{3}\ \mathrm{m}^2$
【答案】
(1) $x$的值为2；
(2) 当$x=\frac{10}{3}$时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为$\frac{140}{3}\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的性质；二次函数的最值应用
【点评】
本题结合实际场景出题，既考查了一元二次方程的求解，也考查了二次函数的性质及最值计算，解题时要特别注意实际问题对自变量取值范围的限制，避免忽略边界条件出现错解。
【难度系数】
0.6