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三、解答题(共58分)
15. (10分)已知函数$y=(m^2 - m)x^2 + (m - 1)x + 2 - 2m$。
(1)若这个函数是二次函数,求$m$的取值范围。
(2)若这个函数是一次函数,求$m$的值。
(3)这个函数可能是正比例函数吗?为什么?
15. (10分)已知函数$y=(m^2 - m)x^2 + (m - 1)x + 2 - 2m$。
(1)若这个函数是二次函数,求$m$的取值范围。
(2)若这个函数是一次函数,求$m$的值。
(3)这个函数可能是正比例函数吗?为什么?
答案
解：
(1) 若这个函数是二次函数，则二次项系数不为0，即
$m^2 - m ≠ 0$
因式分解得 $m(m-1)≠0$，
解得 $m≠0$ 且 $m≠1$。
(2) 若这个函数是一次函数，则二次项系数为0，且一次项系数不为0，即
$\begin{cases}m^2 - m = 0 \\m - 1 ≠ 0\end{cases}$
由$m^2 - m=0$得$m=0$或$m=1$，结合$m-1≠0$即$m≠1$，
得 $m=0$。
(3) 这个函数不可能是正比例函数，理由如下：
若该函数为正比例函数，需同时满足：
$\begin{cases}m^2 - m = 0 \\m - 1 ≠ 0 \\2 - 2m = 0\end{cases}$
由$m^2 - m=0$得$m=0$或$m=1$，由$2-2m=0$得$m=1$，此时$m-1=0$，不满足一次项系数不为0的要求，不存在符合条件的$m$值，因此这个函数不可能是正比例函数。
(1) 若这个函数是二次函数，则二次项系数不为0，即
$m^2 - m ≠ 0$
因式分解得 $m(m-1)≠0$，
解得 $m≠0$ 且 $m≠1$。
(2) 若这个函数是一次函数，则二次项系数为0，且一次项系数不为0，即
$\begin{cases}m^2 - m = 0 \\m - 1 ≠ 0\end{cases}$
由$m^2 - m=0$得$m=0$或$m=1$，结合$m-1≠0$即$m≠1$，
得 $m=0$。
(3) 这个函数不可能是正比例函数，理由如下：
若该函数为正比例函数，需同时满足：
$\begin{cases}m^2 - m = 0 \\m - 1 ≠ 0 \\2 - 2m = 0\end{cases}$
由$m^2 - m=0$得$m=0$或$m=1$，由$2-2m=0$得$m=1$，此时$m-1=0$，不满足一次项系数不为0的要求，不存在符合条件的$m$值，因此这个函数不可能是正比例函数。
解析
【分析】
本题需紧扣不同类型函数的定义，根据系数要求列方程或不等式求解：
(1) 二次函数要求二次项系数不为0，因此只需令二次项对应的代数式不等于0，求解即可得到m的取值范围；
(2) 一次函数要求没有二次项（即二次项系数为0），且一次项系数不能为0，因此联立两个条件即可解出m的值；
(3) 正比例函数是特殊的一次函数，除满足一次函数的全部条件外，还要求常数项为0，联立三个条件判断是否存在符合要求的m值，即可得出结论。
【解析】
(1) 若这个函数是二次函数，则二次项系数不为0，即：
$m^2 - m ≠ 0$
因式分解得 $m(m-1)≠0$，
解得 $m≠0$ 且 $m≠1$。
(2) 若这个函数是一次函数，则二次项系数为0，且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases}m^2 - m = 0 \\m - 1 ≠ 0\end{cases}$
由$m^2 - m=0$得$m=0$或$m=1$，结合$m-1≠0$即$m≠1$，
得 $m=0$。
(3) 这个函数不可能是正比例函数，理由如下：
若该函数为正比例函数，需同时满足：
$\begin{cases}m^2 - m = 0 \\m - 1 ≠ 0 \\2 - 2m = 0\end{cases}$
由$m^2 - m=0$得$m=0$或$m=1$，由$2-2m=0$得$m=1$，此时$m-1=0$，不满足一次项系数不为0的要求，不存在符合条件的$m$值，因此这个函数不可能是正比例函数。
【答案】
(1) $m≠0$且$m≠1$；
(2) $m=0$；
(3) 不可能，不存在同时满足正比例函数系数条件的$m$值。
【知识点】
二次函数的定义、一次函数的定义、正比例函数的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是准确掌握各类函数的定义，明确不同函数对各项系数的限制要求，尤其要注意不要遗漏一次项系数不为0的隐含条件，避免因考虑不全面出错。
【难度系数】
0.75
本题需紧扣不同类型函数的定义，根据系数要求列方程或不等式求解：
(1) 二次函数要求二次项系数不为0，因此只需令二次项对应的代数式不等于0，求解即可得到m的取值范围；
(2) 一次函数要求没有二次项（即二次项系数为0），且一次项系数不能为0，因此联立两个条件即可解出m的值；
(3) 正比例函数是特殊的一次函数，除满足一次函数的全部条件外，还要求常数项为0，联立三个条件判断是否存在符合要求的m值，即可得出结论。
【解析】
(1) 若这个函数是二次函数，则二次项系数不为0，即：
$m^2 - m ≠ 0$
因式分解得 $m(m-1)≠0$，
解得 $m≠0$ 且 $m≠1$。
(2) 若这个函数是一次函数，则二次项系数为0，且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases}m^2 - m = 0 \\m - 1 ≠ 0\end{cases}$
由$m^2 - m=0$得$m=0$或$m=1$，结合$m-1≠0$即$m≠1$，
得 $m=0$。
(3) 这个函数不可能是正比例函数，理由如下：
若该函数为正比例函数，需同时满足：
$\begin{cases}m^2 - m = 0 \\m - 1 ≠ 0 \\2 - 2m = 0\end{cases}$
由$m^2 - m=0$得$m=0$或$m=1$，由$2-2m=0$得$m=1$，此时$m-1=0$，不满足一次项系数不为0的要求，不存在符合条件的$m$值，因此这个函数不可能是正比例函数。
【答案】
(1) $m≠0$且$m≠1$；
(2) $m=0$；
(3) 不可能，不存在同时满足正比例函数系数条件的$m$值。
【知识点】
二次函数的定义、一次函数的定义、正比例函数的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是准确掌握各类函数的定义，明确不同函数对各项系数的限制要求，尤其要注意不要遗漏一次项系数不为0的隐含条件，避免因考虑不全面出错。
【难度系数】
0.75
16. (11分)已知抛物线$y=ax^2+bx+1$经过点$(1,-2),(-2,13)$。
(1)求$a,b$的值；
(2)若$(5,y_1),(m,y_2)$是抛物线上不同的两点，且$y_2=12-y_1$，求$m$的值。
(1)求$a,b$的值；
(2)若$(5,y_1),(m,y_2)$是抛物线上不同的两点，且$y_2=12-y_1$，求$m$的值。
答案
解：
(1) 将点$(1, -2)$，$(-2, 13)$分别代入抛物线解析式$y=ax^2+bx+1$，得：
$\begin{cases}a + b + 1 = -2 \\4a - 2b + 1 = 13\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}a + b = -3 \\2a - b = 6\end{cases}$
两式相加得$3a=3$，解得$a=1$，
将$a=1$代入$a + b = -3$，得$1 + b = -3$，解得$b=-4$。
(2) 由(1)得抛物线的解析式为$y=x^2 -4x +1$。
把$x=5$代入解析式，得$y_1=5^2 -4×5 +1=6$，
由$y_2=12 - y_1$，得$y_2=12-6=6$。
将$(m, 6)$代入抛物线解析式，得：
$m^2 -4m +1 =6$
整理得$m^2 -4m -5=0$
因式分解得$(m-5)(m+1)=0$
解得$m_1=5$，$m_2=-1$。
因为$(5,y_1)$和$(m,y_2)$是抛物线上不同的两点，所以$m≠5$，
故$m=-1$。
(1) 将点$(1, -2)$，$(-2, 13)$分别代入抛物线解析式$y=ax^2+bx+1$，得：
$\begin{cases}a + b + 1 = -2 \\4a - 2b + 1 = 13\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}a + b = -3 \\2a - b = 6\end{cases}$
两式相加得$3a=3$，解得$a=1$，
将$a=1$代入$a + b = -3$，得$1 + b = -3$，解得$b=-4$。
(2) 由(1)得抛物线的解析式为$y=x^2 -4x +1$。
把$x=5$代入解析式，得$y_1=5^2 -4×5 +1=6$，
由$y_2=12 - y_1$，得$y_2=12-6=6$。
将$(m, 6)$代入抛物线解析式，得：
$m^2 -4m +1 =6$
整理得$m^2 -4m -5=0$
因式分解得$(m-5)(m+1)=0$
解得$m_1=5$，$m_2=-1$。
因为$(5,y_1)$和$(m,y_2)$是抛物线上不同的两点，所以$m≠5$，
故$m=-1$。
解析
【分析】
(1) 函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此将已知的两个点坐标代入抛物线解析式，可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值。
(2) 先利用(1)的结果得到抛物线的完整解析式，先代入x=5求出y₁，再根据y₂与y₁的关系求出y₂，最后将点(m,y₂)代入解析式得到关于m的一元二次方程，解方程后结合“两点为不同点”的条件舍去不合题意的解，即可得到m的最终值。
【解析】
(1) 将点$(1, -2)$，$(-2, 13)$分别代入抛物线解析式$y=ax^2+bx+1$，得：
$\begin{cases}a + b + 1 = -2 \\4a - 2b + 1 = 13\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}a + b = -3 ①\\2a - b = 6 ②\end{cases}$
①+②得$3a=3$，解得$a=1$，
将$a=1$代入①，得$1 + b = -3$，解得$b=-4$。
(2) 由(1)得抛物线的解析式为$y=x^2 -4x +1$。
把$x=5$代入解析式，得$y_1=5^2 -4×5 +1=6$，
由$y_2=12 - y_1$，得$y_2=12-6=6$。
将$(m, 6)$代入抛物线解析式，得：
$m^2 -4m +1 =6$
整理得$m^2 -4m -5=0$
因式分解得$(m-5)(m+1)=0$
解得$m_1=5$，$m_2=-1$。
因为$(5,y_1)$和$(m,y_2)$是抛物线上不同的两点，所以$m≠5$，
故$m=-1$。
【答案】
(1)$a=1$，$b=-4$；(2)$m=-1$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数基础题，侧重对基础方法的考查，计算难度小，解题时需注意第二问要结合题目给出的“两点不同”的限制条件舍去增解，避免因漏看条件出错。
【难度系数】
0.8
(1) 函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此将已知的两个点坐标代入抛物线解析式，可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值。
(2) 先利用(1)的结果得到抛物线的完整解析式，先代入x=5求出y₁，再根据y₂与y₁的关系求出y₂，最后将点(m,y₂)代入解析式得到关于m的一元二次方程，解方程后结合“两点为不同点”的条件舍去不合题意的解，即可得到m的最终值。
【解析】
(1) 将点$(1, -2)$，$(-2, 13)$分别代入抛物线解析式$y=ax^2+bx+1$，得：
$\begin{cases}a + b + 1 = -2 \\4a - 2b + 1 = 13\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}a + b = -3 ①\\2a - b = 6 ②\end{cases}$
①+②得$3a=3$，解得$a=1$，
将$a=1$代入①，得$1 + b = -3$，解得$b=-4$。
(2) 由(1)得抛物线的解析式为$y=x^2 -4x +1$。
把$x=5$代入解析式，得$y_1=5^2 -4×5 +1=6$，
由$y_2=12 - y_1$，得$y_2=12-6=6$。
将$(m, 6)$代入抛物线解析式，得：
$m^2 -4m +1 =6$
整理得$m^2 -4m -5=0$
因式分解得$(m-5)(m+1)=0$
解得$m_1=5$，$m_2=-1$。
因为$(5,y_1)$和$(m,y_2)$是抛物线上不同的两点，所以$m≠5$，
故$m=-1$。
【答案】
(1)$a=1$，$b=-4$；(2)$m=-1$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数基础题，侧重对基础方法的考查，计算难度小，解题时需注意第二问要结合题目给出的“两点不同”的限制条件舍去增解，避免因漏看条件出错。
【难度系数】
0.8
