登录
二、填空题(每小题3分,共18分)
9.(2025·安阳二模)请写出一个以y轴为对称轴的二次函数表达式：。
9.(2025·安阳二模)请写出一个以y轴为对称轴的二次函数表达式：。
答案
解：二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
若二次函数以y轴为对称轴，即对称轴为直线$x=0$，则$-\frac{b}{2a}=0$，可得$b=0$。
任意取满足$a≠0$、一次项系数为0的表达式即可，例如：
$\boldsymbol{y=x^2}$（答案不唯一）
若二次函数以y轴为对称轴，即对称轴为直线$x=0$，则$-\frac{b}{2a}=0$，可得$b=0$。
任意取满足$a≠0$、一次项系数为0的表达式即可，例如：
$\boldsymbol{y=x^2}$（答案不唯一）
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆二次函数对称轴的相关知识：首先明确二次函数的对称轴计算公式，再结合“以y轴为对称轴即对称轴为直线x=0”的条件，推导得出二次函数各项系数需要满足的要求，最后根据要求写出任意一个符合条件的表达式即可。
【解析】
二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
若二次函数以y轴为对称轴，即对称轴为直线$x=0$，则$-\frac{b}{2a}=0$，由于$a≠0$，可得$b=0$。
任意取满足$a≠0$、一次项系数为0的表达式即可，例如$y=x^2$。
【答案】
$y=x^2$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数对称轴计算
【点评】
本题是开放性基础题，主要考查二次函数对称轴的性质，理解以y轴为对称轴的二次函数一次项系数为0是解题的关键，答案不唯一，符合要求即可得分。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆二次函数对称轴的相关知识：首先明确二次函数的对称轴计算公式，再结合“以y轴为对称轴即对称轴为直线x=0”的条件，推导得出二次函数各项系数需要满足的要求，最后根据要求写出任意一个符合条件的表达式即可。
【解析】
二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
若二次函数以y轴为对称轴，即对称轴为直线$x=0$，则$-\frac{b}{2a}=0$，由于$a≠0$，可得$b=0$。
任意取满足$a≠0$、一次项系数为0的表达式即可，例如$y=x^2$。
【答案】
$y=x^2$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数对称轴计算
【点评】
本题是开放性基础题，主要考查二次函数对称轴的性质，理解以y轴为对称轴的二次函数一次项系数为0是解题的关键，答案不唯一，符合要求即可得分。
【难度系数】
0.9
10. 小颖用画图软件探索方程$ax^2+bx+c=0$的实数根，作出了如图2所示的图象，观察后得一个近似根为$x_1=-4.5$，则方程的另一个近似根$x_2=$。（精确到0.1）
图2
图2答案
$\boldsymbol{2.5}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根与对应二次函数$y=ax^2+bx+c$图象和$x$轴交点的横坐标一一对应；其次二次函数的图象是轴对称图形，两个交点关于抛物线的对称轴对称，因此两个根到对称轴的距离相等。解题时先从图象中读出抛物线的对称轴，再利用对称性质计算另一个根即可。
【解析】
解：观察图象可得，二次函数图象的对称轴为直线$x=-1$。
因为一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个实根是抛物线与$x$轴两个交点的横坐标，且两个交点关于对称轴对称，所以两个根到对称轴的距离相等。
已知一个近似根$x_1=-4.5$，它到对称轴$x=-1$的距离为：$|-4.5 - (-1)|=3.5$
因此另一个近似根$x_2$在对称轴右侧，到对称轴的距离也为3.5，可得：
$x_2 = -1 + 3.5 = 2.5$
【答案】
$\boldsymbol{2.5}$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的对称性
【点评】
本题将一元二次方程的根和二次函数图象结合考查，解题的关键是准确读取抛物线的对称轴，熟练运用二次函数的对称性计算对应根，属于对基础知识点的灵活应用。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先要明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根与对应二次函数$y=ax^2+bx+c$图象和$x$轴交点的横坐标一一对应；其次二次函数的图象是轴对称图形，两个交点关于抛物线的对称轴对称，因此两个根到对称轴的距离相等。解题时先从图象中读出抛物线的对称轴，再利用对称性质计算另一个根即可。
【解析】
解：观察图象可得，二次函数图象的对称轴为直线$x=-1$。
因为一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个实根是抛物线与$x$轴两个交点的横坐标，且两个交点关于对称轴对称，所以两个根到对称轴的距离相等。
已知一个近似根$x_1=-4.5$，它到对称轴$x=-1$的距离为：$|-4.5 - (-1)|=3.5$
因此另一个近似根$x_2$在对称轴右侧，到对称轴的距离也为3.5，可得：
$x_2 = -1 + 3.5 = 2.5$
【答案】
$\boldsymbol{2.5}$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的对称性
【点评】
本题将一元二次方程的根和二次函数图象结合考查，解题的关键是准确读取抛物线的对称轴，熟练运用二次函数的对称性计算对应根，属于对基础知识点的灵活应用。
【难度系数】
0.8
11.(2024·广西)如图3,壮壮同学投掷实心球,出手(点P处)的高度OP是$\frac{7}{4}$m,出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是5 m,高度是4 m。若实心球落地点为M,则OM=m。
答案
解：以点O为原点，直线OM为x轴，直线OP为y轴建立平面直角坐标系。
由题意可知抛物线的顶点坐标为$(5,4)$，设抛物线的解析式为$y=a(x-5)^2+4$。
将点$P(0,\dfrac{7}{4})$代入解析式，得：
$\dfrac{7}{4}=a·(0-5)^2+4$
解得$a=-\dfrac{9}{100}$，因此抛物线的解析式为$y=-\dfrac{9}{100}(x-5)^2+4$。
令$y=0$，得：
$-\dfrac{9}{100}(x-5)^2+4=0$
整理得$(x-5)^2=\dfrac{400}{9}$，解得$x_1=\dfrac{35}{3}$，$x_2=-\dfrac{5}{3}$（不符合实际意义，舍去）。
所以$OM=\boldsymbol{\dfrac{35}{3}}\ \mathrm{m}$。
由题意可知抛物线的顶点坐标为$(5,4)$，设抛物线的解析式为$y=a(x-5)^2+4$。
将点$P(0,\dfrac{7}{4})$代入解析式，得：
$\dfrac{7}{4}=a·(0-5)^2+4$
解得$a=-\dfrac{9}{100}$，因此抛物线的解析式为$y=-\dfrac{9}{100}(x-5)^2+4$。
令$y=0$，得：
$-\dfrac{9}{100}(x-5)^2+4=0$
整理得$(x-5)^2=\dfrac{400}{9}$，解得$x_1=\dfrac{35}{3}$，$x_2=-\dfrac{5}{3}$（不符合实际意义，舍去）。
所以$OM=\boldsymbol{\dfrac{35}{3}}\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
遇到抛物线类的实际应用问题，首先要建立平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题求解。本题以O为原点、OM为x轴、OP为y轴建系最为简便，已知抛物线的顶点坐标，因此选择顶点式设二次函数解析式，再代入点P的坐标求出解析式的未知系数，最后落地点M的纵坐标为0，代入解析式求出x的正解，即为OM的长度。
【解析】
解：以点O为原点，直线OM为x轴，直线OP为y轴建立平面直角坐标系。
由题意可知抛物线的顶点坐标为$(5,4)$，设抛物线的解析式为$y=a(x-5)^2+4$。
将点$P(0,\dfrac{7}{4})$代入解析式，得：
$\dfrac{7}{4}=a·(0-5)^2+4$
解得$a=-\dfrac{9}{100}$，因此抛物线的解析式为$y=-\dfrac{9}{100}(x-5)^2+4$。
令$y=0$，得：
$-\dfrac{9}{100}(x-5)^2+4=0$
整理得$(x-5)^2=\dfrac{400}{9}$，解得$x_1=\dfrac{35}{3}$，$x_2=-\dfrac{5}{3}$（不符合实际意义，舍去）。
所以$OM=\dfrac{35}{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\dfrac{35}{3}$
【知识点】
二次函数实际应用；待定系数法求解析式；二次函数与方程的关系
【点评】
本题是抛物线实际应用的基础题型，核心考点是合理建立坐标系，结合已知条件选择顶点式简化求解，解题时要注意结合实际意义舍去不合理解，是投掷、拱桥类抛物线问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
遇到抛物线类的实际应用问题，首先要建立平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题求解。本题以O为原点、OM为x轴、OP为y轴建系最为简便，已知抛物线的顶点坐标，因此选择顶点式设二次函数解析式，再代入点P的坐标求出解析式的未知系数，最后落地点M的纵坐标为0，代入解析式求出x的正解，即为OM的长度。
【解析】
解：以点O为原点，直线OM为x轴，直线OP为y轴建立平面直角坐标系。
由题意可知抛物线的顶点坐标为$(5,4)$，设抛物线的解析式为$y=a(x-5)^2+4$。
将点$P(0,\dfrac{7}{4})$代入解析式，得：
$\dfrac{7}{4}=a·(0-5)^2+4$
解得$a=-\dfrac{9}{100}$，因此抛物线的解析式为$y=-\dfrac{9}{100}(x-5)^2+4$。
令$y=0$，得：
$-\dfrac{9}{100}(x-5)^2+4=0$
整理得$(x-5)^2=\dfrac{400}{9}$，解得$x_1=\dfrac{35}{3}$，$x_2=-\dfrac{5}{3}$（不符合实际意义，舍去）。
所以$OM=\dfrac{35}{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\dfrac{35}{3}$
【知识点】
二次函数实际应用；待定系数法求解析式；二次函数与方程的关系
【点评】
本题是抛物线实际应用的基础题型，核心考点是合理建立坐标系，结合已知条件选择顶点式简化求解，解题时要注意结合实际意义舍去不合理解，是投掷、拱桥类抛物线问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
12. 图4是二次函数$y_1=ax^2+bx+c(a≠0)$和一次函数$y_2=kx+n$的图象，当$y_1＞y_2$时，x的取值范围是。
答案
解：由图象可知，二次函数$y_1$和一次函数$y_2$的图象的两个交点的横坐标分别为$-1$和$2$，当$y_1＞y_2$时，二次函数图象在一次函数图象的上方，对应的$x$的取值范围是$-1＜x＜2$。
$\boldsymbol{-1＜x＜2}$
$\boldsymbol{-1＜x＜2}$
解析
【分析】
遇到比较两个函数值大小的问题，可利用函数图象的几何意义求解：同一x取值下，图象位置更高的函数对应的函数值更大。解题时第一步先找两个函数图象的交点，交点处两个函数值相等，是$y_1$和$y_2$大小关系变化的分界点。观察图象可得两个交点的横坐标分别为-1和2，接下来判断在交点划分的三个区间中，哪个区间内二次函数$y_1$的图象在一次函数$y_2$的上方，该区间就是所求x的取值范围。
【解析】
观察图象可知，二次函数$y_1$与一次函数$y_2$图象的两个交点的横坐标分别为$-1$和$2$。
根据函数图象的性质：同一横坐标下，图象位置更高的函数值更大，因此当$y_1＞y_2$时，对应二次函数图象位于一次函数图象上方的部分，对应的$x$取值范围是$-1＜x＜2$。
【答案】
$\boldsymbol{-1＜x＜2}$
【知识点】
函数图象与不等式关系、二次函数图象、一次函数图象
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，解题核心是明确两个函数的交点是函数值大小关系的分界点，结合图象判断高低位置即可得到不等式的解集，侧重考查读图分析能力。
【难度系数】
0.8
遇到比较两个函数值大小的问题，可利用函数图象的几何意义求解：同一x取值下，图象位置更高的函数对应的函数值更大。解题时第一步先找两个函数图象的交点，交点处两个函数值相等，是$y_1$和$y_2$大小关系变化的分界点。观察图象可得两个交点的横坐标分别为-1和2，接下来判断在交点划分的三个区间中，哪个区间内二次函数$y_1$的图象在一次函数$y_2$的上方，该区间就是所求x的取值范围。
【解析】
观察图象可知，二次函数$y_1$与一次函数$y_2$图象的两个交点的横坐标分别为$-1$和$2$。
根据函数图象的性质：同一横坐标下，图象位置更高的函数值更大，因此当$y_1＞y_2$时，对应二次函数图象位于一次函数图象上方的部分，对应的$x$取值范围是$-1＜x＜2$。
【答案】
$\boldsymbol{-1＜x＜2}$
【知识点】
函数图象与不等式关系、二次函数图象、一次函数图象
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，解题核心是明确两个函数的交点是函数值大小关系的分界点，结合图象判断高低位置即可得到不等式的解集，侧重考查读图分析能力。
【难度系数】
0.8
13. 若抛物线 $y=2x^2 - px + 4p + 1$ 中不管 $p$ 取何值都通过定点，则定点坐标为。
答案
解：将抛物线解析式整理变形得：
$y = 2x^2 + p(4 - x) + 1$
因为无论$p$取何值，抛物线都经过定点，因此含$p$的项的系数必须为0，即：
$4 - x = 0$
解得$x=4$
把$x=4$代入原抛物线解析式：
$y=2×4^2 - 4p + 4p +1 = 33$
则定点坐标为$\boldsymbol{(4,33)}$。
$y = 2x^2 + p(4 - x) + 1$
因为无论$p$取何值，抛物线都经过定点，因此含$p$的项的系数必须为0，即：
$4 - x = 0$
解得$x=4$
把$x=4$代入原抛物线解析式：
$y=2×4^2 - 4p + 4p +1 = 33$
则定点坐标为$\boldsymbol{(4,33)}$。
解析
【分析】
要解决抛物线无论p取何值都过定点的问题，核心是找到不受p值影响的x、y值。我们可以先将抛物线解析式整理为关于参数p的表达式，因为定点坐标和p的取值无关，所以含p的项的系数必须为0，由此先求出x的值，再代入解析式求出对应的y值，即可得到定点坐标。
【解析】
解：将抛物线解析式整理变形，把含p的项合并，得：
$y = 2x^2 + p(4 - x) + 1$
∵ 无论p取何值，抛物线都经过定点，即解析式的值与p的取值无关
∴ 含p的项的系数为0，即$4 - x = 0$
解得：$x = 4$
将$x = 4$代入原抛物线解析式：
$y = 2×4^2 - 4p + 4p + 1 = 32 + 1 = 33$
∴ 该抛物线经过的定点坐标为$(4,33)$
【答案】
$(4,33)$
【知识点】
1. 二次函数过定点问题
2. 代数式与参数无关的条件
【点评】
本题是二次函数定点类问题的常规考法，解题关键是抓住“函数过定点即坐标不受参数影响”的核心，通过令参数的系数为0快速求解，方法性较强，掌握对应规律后很容易得分。
【难度系数】
0.7
要解决抛物线无论p取何值都过定点的问题，核心是找到不受p值影响的x、y值。我们可以先将抛物线解析式整理为关于参数p的表达式，因为定点坐标和p的取值无关，所以含p的项的系数必须为0，由此先求出x的值，再代入解析式求出对应的y值，即可得到定点坐标。
【解析】
解：将抛物线解析式整理变形，把含p的项合并，得：
$y = 2x^2 + p(4 - x) + 1$
∵ 无论p取何值，抛物线都经过定点，即解析式的值与p的取值无关
∴ 含p的项的系数为0，即$4 - x = 0$
解得：$x = 4$
将$x = 4$代入原抛物线解析式：
$y = 2×4^2 - 4p + 4p + 1 = 32 + 1 = 33$
∴ 该抛物线经过的定点坐标为$(4,33)$
【答案】
$(4,33)$
【知识点】
1. 二次函数过定点问题
2. 代数式与参数无关的条件
【点评】
本题是二次函数定点类问题的常规考法，解题关键是抓住“函数过定点即坐标不受参数影响”的核心，通过令参数的系数为0快速求解，方法性较强，掌握对应规律后很容易得分。
【难度系数】
0.7
14. 已知抛物线$y=ax^2+bx+c$($a,b,c$是常数,$0＜a＜c$)经过点$(1,0)$,有下列结论:①$2a+b＜0$;②当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而增大;③关于$x$的方程$ax^2+bx+(b+c)=0$有两个不相等的实数根。其中,正确的结论是。(填序号)
答案
解：
因为抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点$(1,0)$，代入得：
$a+b+c=0$，结合已知$0＜a＜c$，可得$b=-a-c$。
1. 验证结论①：
将$b=-a-c$代入$2a+b$，得
$2a+b=2a -a -c=a-c$，
因为$0＜a＜c$，所以$a-c＜0$，即$2a+b＜0$，结论①正确。
2. 验证结论②：
抛物线对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，将$b=-a-c$代入得：
$x=\frac{a+c}{2a}=\frac{1}{2}+\frac{c}{2a}$，
由$0＜a＜c$得$\frac{c}{a}＞1$，因此$\frac{c}{2a}＞\frac{1}{2}$，可得对称轴$x＞1$。
抛物线开口向上，因此当$1＜x＜对称轴$时，$y$随$x$增大而减小，当$x＞对称轴$时，$y$随$x$增大而增大，故“当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大”不成立，结论②错误。
3. 验证结论③：
对于方程$ax^2+bx+(b+c)=0$，其判别式为：
$\Delta=b^2-4a(b+c)$，
由$a+b+c=0$得$b+c=-a$，代入得：
$\Delta=b^2-4a·(-a)=b^2+4a^2$，
因为$0＜a$，所以$4a^2＞0$，又$b=-a-c＜0$，$b^2＞0$，因此$\Delta＞0$，该方程有两个不相等的实数根，结论③正确。
综上，正确的结论是$\boldsymbol{①③}$。
因为抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点$(1,0)$，代入得：
$a+b+c=0$，结合已知$0＜a＜c$，可得$b=-a-c$。
1. 验证结论①：
将$b=-a-c$代入$2a+b$，得
$2a+b=2a -a -c=a-c$，
因为$0＜a＜c$，所以$a-c＜0$，即$2a+b＜0$，结论①正确。
2. 验证结论②：
抛物线对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，将$b=-a-c$代入得：
$x=\frac{a+c}{2a}=\frac{1}{2}+\frac{c}{2a}$，
由$0＜a＜c$得$\frac{c}{a}＞1$，因此$\frac{c}{2a}＞\frac{1}{2}$，可得对称轴$x＞1$。
抛物线开口向上，因此当$1＜x＜对称轴$时，$y$随$x$增大而减小，当$x＞对称轴$时，$y$随$x$增大而增大，故“当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大”不成立，结论②错误。
3. 验证结论③：
对于方程$ax^2+bx+(b+c)=0$，其判别式为：
$\Delta=b^2-4a(b+c)$，
由$a+b+c=0$得$b+c=-a$，代入得：
$\Delta=b^2-4a·(-a)=b^2+4a^2$，
因为$0＜a$，所以$4a^2＞0$，又$b=-a-c＜0$，$b^2＞0$，因此$\Delta＞0$，该方程有两个不相等的实数根，结论③正确。
综上，正确的结论是$\boldsymbol{①③}$。
解析
【分析】
解题时先利用抛物线经过点$(1,0)$的条件，代入解析式得到$a+b+c=0$，进而推出$b=-a-c$，再结合已知$0＜a＜c$的条件，逐个验证三个结论：①直接将$b$的表达式代入$2a+b$，通过$a$和$c$的大小关系判断符号；②先求出抛物线的对称轴，结合$a＜c$判断对称轴和1的大小关系，再根据开口方向判断$x＞1$时的增减性；③写出方程的判别式，利用$a+b+c=0$代换$b+c$，判断判别式的正负即可确定根的情况。
【解析】
解：
∵抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点$(1,0)$，将点代入解析式得：
$a+b+c=0$，即$b=-a-c$，结合已知$0＜a＜c$进行验证：
1. 验证结论①：
将$b=-a-c$代入$2a+b$，得$2a+b=2a-a-c=a-c$，
∵$0＜a＜c$，
∴$a-c＜0$，即$2a+b＜0$，故结论①正确；
2. 验证结论②：
抛物线开口向上（$a＞0$），对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，将$b=-a-c$代入得：
$x=\frac{a+c}{2a}=\frac{1}{2}+\frac{c}{2a}$，
∵$0＜a＜c$，
∴$\frac{c}{a}＞1$，即$\frac{c}{2a}＞\frac{1}{2}$，可得对称轴$x＞\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$，
∴当$1＜x＜$对称轴时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＞$对称轴时，$y$随$x$的增大而增大，因此“当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大”不成立，结论②错误；
3. 验证结论③：
关于$x$的方程$ax^2+bx+(b+c)=0$的判别式$\Delta=b^2-4a(b+c)$，
由$a+b+c=0$可得$b+c=-a$，代入判别式得：
$\Delta=b^2-4a·(-a)=b^2+4a^2$，
∵$a＞0$，
∴$4a^2＞0$，又$b=-a-c＜0$，则$b^2＞0$，因此$\Delta＞0$，
∴该方程有两个不相等的实数根，结论③正确。
【答案】
①③
【知识点】
二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数的结论判断类常考题型，解题核心是利用已知点坐标得到三个参数的等量关系，结合参数的大小限制逐一推导验证，能有效考查对二次函数相关知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先利用抛物线经过点$(1,0)$的条件，代入解析式得到$a+b+c=0$，进而推出$b=-a-c$，再结合已知$0＜a＜c$的条件，逐个验证三个结论：①直接将$b$的表达式代入$2a+b$，通过$a$和$c$的大小关系判断符号；②先求出抛物线的对称轴，结合$a＜c$判断对称轴和1的大小关系，再根据开口方向判断$x＞1$时的增减性；③写出方程的判别式，利用$a+b+c=0$代换$b+c$，判断判别式的正负即可确定根的情况。
【解析】
解：
∵抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点$(1,0)$，将点代入解析式得：
$a+b+c=0$，即$b=-a-c$，结合已知$0＜a＜c$进行验证：
1. 验证结论①：
将$b=-a-c$代入$2a+b$，得$2a+b=2a-a-c=a-c$，
∵$0＜a＜c$，
∴$a-c＜0$，即$2a+b＜0$，故结论①正确；
2. 验证结论②：
抛物线开口向上（$a＞0$），对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，将$b=-a-c$代入得：
$x=\frac{a+c}{2a}=\frac{1}{2}+\frac{c}{2a}$，
∵$0＜a＜c$，
∴$\frac{c}{a}＞1$，即$\frac{c}{2a}＞\frac{1}{2}$，可得对称轴$x＞\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$，
∴当$1＜x＜$对称轴时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＞$对称轴时，$y$随$x$的增大而增大，因此“当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大”不成立，结论②错误；
3. 验证结论③：
关于$x$的方程$ax^2+bx+(b+c)=0$的判别式$\Delta=b^2-4a(b+c)$，
由$a+b+c=0$可得$b+c=-a$，代入判别式得：
$\Delta=b^2-4a·(-a)=b^2+4a^2$，
∵$a＞0$，
∴$4a^2＞0$，又$b=-a-c＜0$，则$b^2＞0$，因此$\Delta＞0$，
∴该方程有两个不相等的实数根，结论③正确。
【答案】
①③
【知识点】
二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数的结论判断类常考题型，解题核心是利用已知点坐标得到三个参数的等量关系，结合参数的大小限制逐一推导验证，能有效考查对二次函数相关知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
