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20. (9分)如图7,在平面直角坐标系中,二次函数$y=ax^2+4x-3$的图象的顶点是A,与x轴交于B,C两点,与y轴交于点D,点B的坐标是(1,0)。
(1)求A,C两点的坐标,并根据图象直接写出当$y＞0$时x的取值范围;
(2)平移该二次函数的图象,使点D恰好落在点A的位置上,求平移后图象所对应的二次函数的表达式。
(1)求A,C两点的坐标,并根据图象直接写出当$y＞0$时x的取值范围;
(2)平移该二次函数的图象,使点D恰好落在点A的位置上,求平移后图象所对应的二次函数的表达式。
答案
解：
(1) 将点$B(1,0)$代入二次函数$y=ax^2+4x-3$，得：
$a·1^2 + 4×1 - 3 = 0$
解得$a=-1$，
因此二次函数的表达式为$y=-x^2+4x-3$。
对表达式配方得：$y=-(x-2)^2+1$，
∴顶点$A$的坐标为$(2,1)$。
令$y=0$，即$-x^2+4x-3=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=3$，
∵点$B$坐标为$(1,0)$，
∴点$C$的坐标为$(3,0)$。
由图象可得，当$y＞0$时，$x$的取值范围是$1＜x＜3$。
(2) 对于$y=-x^2+4x-3$，令$x=0$，得$y=-3$，
∴点$D$的坐标为$(0,-3)$。
∵点$D(0,-3)$平移后恰好落在点$A(2,1)$，
∴平移规则为：向右平移2个单位长度，向上平移4个单位长度。
将二次函数$y=-(x-2)^2+1$按上述规则平移，得：
$y=-(x-2-2)^2+1+4=-(x-4)^2+5$
即平移后图象所对应的二次函数的表达式为$\boldsymbol{y=-x^2+8x-11}$（或写成$y=-(x-4)^2+5$）。
(1) 将点$B(1,0)$代入二次函数$y=ax^2+4x-3$，得：
$a·1^2 + 4×1 - 3 = 0$
解得$a=-1$，
因此二次函数的表达式为$y=-x^2+4x-3$。
对表达式配方得：$y=-(x-2)^2+1$，
∴顶点$A$的坐标为$(2,1)$。
令$y=0$，即$-x^2+4x-3=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=3$，
∵点$B$坐标为$(1,0)$，
∴点$C$的坐标为$(3,0)$。
由图象可得，当$y＞0$时，$x$的取值范围是$1＜x＜3$。
(2) 对于$y=-x^2+4x-3$，令$x=0$，得$y=-3$，
∴点$D$的坐标为$(0,-3)$。
∵点$D(0,-3)$平移后恰好落在点$A(2,1)$，
∴平移规则为：向右平移2个单位长度，向上平移4个单位长度。
将二次函数$y=-(x-2)^2+1$按上述规则平移，得：
$y=-(x-2-2)^2+1+4=-(x-4)^2+5$
即平移后图象所对应的二次函数的表达式为$\boldsymbol{y=-x^2+8x-11}$（或写成$y=-(x-4)^2+5$）。
解析
【分析】
(1) 要得到A、C两点坐标，首先需确定完整的二次函数解析式：已知点B在函数图象上，将B点坐标代入解析式即可求出未知系数a；得到解析式后通过配方法将一般式转化为顶点式，可直接得到顶点A的坐标；再令y=0解一元二次方程，得到抛物线与x轴的两个交点横坐标，结合已知的B点坐标就能得到C点坐标；由于抛物线开口向下，y＞0对应x轴上方的图象，因此x的取值范围在B、C两点横坐标之间。
(2) 先求出原抛物线与y轴交点D的坐标，对比D和A的坐标差确定平移规则：横坐标差对应左右平移（右移减、左移加），纵坐标差对应上下平移（上移加、下移减），再将原抛物线的顶点式按照平移规则变换，即可得到平移后的函数表达式。
【解析】
(1) 将点$B(1,0)$代入二次函数$y=ax^2+4x-3$，得：
$a·1^2 + 4×1 - 3 = 0$
解得$a=-1$，
因此二次函数的表达式为$y=-x^2+4x-3$。
对表达式配方得：$y=-(x^2-4x+4)+4-3=-(x-2)^2+1$，
∴顶点$A$的坐标为$(2,1)$。
令$y=0$，即$-x^2+4x-3=0$，
因式分解得$-(x-1)(x-3)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=3$，
∵点$B$坐标为$(1,0)$，
∴点$C$的坐标为$(3,0)$。
由图象可得，抛物线开口向下，B、C之间的图象在x轴上方，因此当$y＞0$时，$x$的取值范围是$1＜x＜3$。
(2) 对于$y=-x^2+4x-3$，令$x=0$，得$y=-3$，
∴点$D$的坐标为$(0,-3)$。
∵点$D(0,-3)$平移后恰好落在点$A(2,1)$，
横坐标变化：$2-0=2$，即向右平移2个单位长度；纵坐标变化：$1-(-3)=4$，即向上平移4个单位长度。
将二次函数$y=-(x-2)^2+1$按上述规则平移，根据“左加右减、上加下减”的规律得：
$y=-(x-2-2)^2+1+4=-(x-4)^2+5$，展开为一般式为$y=-x^2+8x-11$。
【答案】
(1) $A(2,1)$，$C(3,0)$，当$y＞0$时$x$的取值范围是$1＜x＜3$；
(2) 平移后图象所对应的二次函数的表达式为$\boldsymbol{y=-x^2+8x-11}$（或$y=-(x-4)^2+5$）。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数图象与性质；二次函数平移
【点评】
本题是二次函数基础综合题，考察了二次函数核心的基础知识点，解题逻辑清晰，没有复杂变形，熟练掌握二次函数的基本性质和平移规律即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 要得到A、C两点坐标，首先需确定完整的二次函数解析式：已知点B在函数图象上，将B点坐标代入解析式即可求出未知系数a；得到解析式后通过配方法将一般式转化为顶点式，可直接得到顶点A的坐标；再令y=0解一元二次方程，得到抛物线与x轴的两个交点横坐标，结合已知的B点坐标就能得到C点坐标；由于抛物线开口向下，y＞0对应x轴上方的图象，因此x的取值范围在B、C两点横坐标之间。
(2) 先求出原抛物线与y轴交点D的坐标，对比D和A的坐标差确定平移规则：横坐标差对应左右平移（右移减、左移加），纵坐标差对应上下平移（上移加、下移减），再将原抛物线的顶点式按照平移规则变换，即可得到平移后的函数表达式。
【解析】
(1) 将点$B(1,0)$代入二次函数$y=ax^2+4x-3$，得：
$a·1^2 + 4×1 - 3 = 0$
解得$a=-1$，
因此二次函数的表达式为$y=-x^2+4x-3$。
对表达式配方得：$y=-(x^2-4x+4)+4-3=-(x-2)^2+1$，
∴顶点$A$的坐标为$(2,1)$。
令$y=0$，即$-x^2+4x-3=0$，
因式分解得$-(x-1)(x-3)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=3$，
∵点$B$坐标为$(1,0)$，
∴点$C$的坐标为$(3,0)$。
由图象可得，抛物线开口向下，B、C之间的图象在x轴上方，因此当$y＞0$时，$x$的取值范围是$1＜x＜3$。
(2) 对于$y=-x^2+4x-3$，令$x=0$，得$y=-3$，
∴点$D$的坐标为$(0,-3)$。
∵点$D(0,-3)$平移后恰好落在点$A(2,1)$，
横坐标变化：$2-0=2$，即向右平移2个单位长度；纵坐标变化：$1-(-3)=4$，即向上平移4个单位长度。
将二次函数$y=-(x-2)^2+1$按上述规则平移，根据“左加右减、上加下减”的规律得：
$y=-(x-2-2)^2+1+4=-(x-4)^2+5$，展开为一般式为$y=-x^2+8x-11$。
【答案】
(1) $A(2,1)$，$C(3,0)$，当$y＞0$时$x$的取值范围是$1＜x＜3$；
(2) 平移后图象所对应的二次函数的表达式为$\boldsymbol{y=-x^2+8x-11}$（或$y=-(x-4)^2+5$）。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数图象与性质；二次函数平移
【点评】
本题是二次函数基础综合题，考察了二次函数核心的基础知识点，解题逻辑清晰，没有复杂变形，熟练掌握二次函数的基本性质和平移规律即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
21. (10分)(2025·河南)在二次函数$y=ax^2+bx-2$中，x与y的几组对应值如下表所示。
(1)求二次函数的表达式；
(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在图8所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图象；
(3)将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当$0≤x≤3$时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值。
(1)求二次函数的表达式；
(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在图8所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图象；
(3)将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当$0≤x≤3$时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值。
答案
解：
(1) 将$x=-2,y=-2$和$x=1,y=1$代入$y=ax^2+bx-2$，得：
$\begin{cases}4a-2b-2=-2 \\a+b-2=1\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2a-b=0 \\a+b=3\end{cases}$
两式相加得$3a=3$，解得$a=1$，
将$a=1$代入$a+b=3$，得$b=2$，
∴二次函数的表达式为$y=x^2+2x-2$。
(2) 对二次函数表达式配方得：
$y=x^2+2x-2=(x+1)^2-3$，
∴二次函数图象的顶点坐标为$(-1,-3)$。
画图：描出点$(-3,1)$、$(-2,-2)$、$(-1,-3)$、$(0,-2)$、$(1,1)$，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到二次函数的图象。
(3) $n$的值为$4-\sqrt{5}$或$1+\sqrt{5}$。
(1) 将$x=-2,y=-2$和$x=1,y=1$代入$y=ax^2+bx-2$，得：
$\begin{cases}4a-2b-2=-2 \\a+b-2=1\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2a-b=0 \\a+b=3\end{cases}$
两式相加得$3a=3$，解得$a=1$，
将$a=1$代入$a+b=3$，得$b=2$，
∴二次函数的表达式为$y=x^2+2x-2$。
(2) 对二次函数表达式配方得：
$y=x^2+2x-2=(x+1)^2-3$，
∴二次函数图象的顶点坐标为$(-1,-3)$。
画图：描出点$(-3,1)$、$(-2,-2)$、$(-1,-3)$、$(0,-2)$、$(1,1)$，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到二次函数的图象。
(3) $n$的值为$4-\sqrt{5}$或$1+\sqrt{5}$。
解析
【分析】
(1) 二次函数一般式$y=ax^2+bx-2$中仅a、b两个未知系数，选取两组x、y的对应值代入解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出系数，得到函数表达式。
(2) 求顶点坐标可通过配方法将一般式转化为顶点式直接得到；画函数图象时，先确定顶点、表格给出的特征点，再用平滑曲线顺次连接即可。
(3) 先根据“左加右减”的平移规律写出平移后的函数解析式，确定其开口方向与对称轴，再分三类讨论对称轴和区间$0≤x≤3$的位置关系，分别求出对应区间内的最大值与最小值，根据差值为5列方程求解，舍去不符合范围的解即可得到n的值。
【解析】
(1) 将$x=-2,y=-2$和$x=1,y=1$代入$y=ax^2+bx-2$，得：
$\begin{cases}4a-2b-2=-2 \\a+b-2=1\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2a-b=0 ①\\a+b=3 ②\end{cases}$
①+②得$3a=3$，解得$a=1$，
将$a=1$代入②，得$b=2$，
∴二次函数的表达式为$y=x^2+2x-2$。
(2) 对二次函数表达式配方：
$y=x^2+2x-2=(x+1)^2-3$，
∴二次函数图象的顶点坐标为$(-1,-3)$。
画图：描出点$(-3,1)$、$(-2,-2)$、$(-1,-3)$、$(0,-2)$、$(1,1)$，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到二次函数的图象。
(3) 二次函数向右平移n个单位后解析式为$y=(x+1-n)^2-3$，开口向上，对称轴为直线$x=n-1$：
① 若$n-1≤0$（$n≤1$），区间内y随x增大而增大，最值差为$(4-n)^2-(1-n)^2=5$，解得$n=\frac{5}{3}$，不符合$n≤1$，舍去；
② 若$n-1≥3$（$n≥4$），区间内y随x增大而减小，最值差为$(1-n)^2-(4-n)^2=5$，解得$n=\frac{10}{3}$，不符合$n≥4$，舍去；
③ 若$0＜n-1＜3$（$1＜n＜4$），最小值为$-3$：当$1＜n≤2.5$时，最大值为$x=3$的函数值，得$(4-n)^2=5$，解得$n=4-\sqrt{5}$（符合范围）；当$2.5＜n＜4$时，最大值为$x=0$的函数值，得$(n-1)^2=5$，解得$n=1+\sqrt{5}$（符合范围）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=x^2+2x-2}$；
(2) 顶点坐标为$\boldsymbol{(-1,-3)}$，画图见解析；
(3) $\boldsymbol{n=4-\sqrt{5}}$或$\boldsymbol{n=1+\sqrt{5}}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象与性质；二次函数的平移
【点评】
本题是二次函数综合题型，涵盖了解析式求解、顶点坐标计算、图象绘制和平移后区间最值的考查，解题时需要熟练运用分类讨论思想判断对称轴与给定区间的位置关系，是二次函数模块的典型考法。
【难度系数】
0.4
(1) 二次函数一般式$y=ax^2+bx-2$中仅a、b两个未知系数，选取两组x、y的对应值代入解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出系数，得到函数表达式。
(2) 求顶点坐标可通过配方法将一般式转化为顶点式直接得到；画函数图象时，先确定顶点、表格给出的特征点，再用平滑曲线顺次连接即可。
(3) 先根据“左加右减”的平移规律写出平移后的函数解析式，确定其开口方向与对称轴，再分三类讨论对称轴和区间$0≤x≤3$的位置关系，分别求出对应区间内的最大值与最小值，根据差值为5列方程求解，舍去不符合范围的解即可得到n的值。
【解析】
(1) 将$x=-2,y=-2$和$x=1,y=1$代入$y=ax^2+bx-2$，得：
$\begin{cases}4a-2b-2=-2 \\a+b-2=1\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2a-b=0 ①\\a+b=3 ②\end{cases}$
①+②得$3a=3$，解得$a=1$，
将$a=1$代入②，得$b=2$，
∴二次函数的表达式为$y=x^2+2x-2$。
(2) 对二次函数表达式配方：
$y=x^2+2x-2=(x+1)^2-3$，
∴二次函数图象的顶点坐标为$(-1,-3)$。
画图：描出点$(-3,1)$、$(-2,-2)$、$(-1,-3)$、$(0,-2)$、$(1,1)$，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到二次函数的图象。
(3) 二次函数向右平移n个单位后解析式为$y=(x+1-n)^2-3$，开口向上，对称轴为直线$x=n-1$：
① 若$n-1≤0$（$n≤1$），区间内y随x增大而增大，最值差为$(4-n)^2-(1-n)^2=5$，解得$n=\frac{5}{3}$，不符合$n≤1$，舍去；
② 若$n-1≥3$（$n≥4$），区间内y随x增大而减小，最值差为$(1-n)^2-(4-n)^2=5$，解得$n=\frac{10}{3}$，不符合$n≥4$，舍去；
③ 若$0＜n-1＜3$（$1＜n＜4$），最小值为$-3$：当$1＜n≤2.5$时，最大值为$x=3$的函数值，得$(4-n)^2=5$，解得$n=4-\sqrt{5}$（符合范围）；当$2.5＜n＜4$时，最大值为$x=0$的函数值，得$(n-1)^2=5$，解得$n=1+\sqrt{5}$（符合范围）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=x^2+2x-2}$；
(2) 顶点坐标为$\boldsymbol{(-1,-3)}$，画图见解析；
(3) $\boldsymbol{n=4-\sqrt{5}}$或$\boldsymbol{n=1+\sqrt{5}}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象与性质；二次函数的平移
【点评】
本题是二次函数综合题型，涵盖了解析式求解、顶点坐标计算、图象绘制和平移后区间最值的考查，解题时需要熟练运用分类讨论思想判断对称轴与给定区间的位置关系，是二次函数模块的典型考法。
【难度系数】
0.4
22. (10分)九年级(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第$x(1≤ x≤90)$天的售价与销量的相关信息如下表：
| 时间$x$/天 | $1≤ x＜50$ | $50≤ x≤90$ |
| --- | --- | --- |
| 售价/(元/件) |
$x+40$ | 90 |
| 每天销量/件 | μlticolumn{2}{c}{$200-2x$} |
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为$y$元。
(1)求出$y$与$x$的函数关系式。
(2)销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？
(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果。
| 时间$x$/天 | $1≤ x＜50$ | $50≤ x≤90$ |
| --- | --- | --- |
| 售价/(元/件) |
$x+40$ | 90 || 每天销量/件 | μlticolumn{2}{c}{$200-2x$} |
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为$y$元。
(1)求出$y$与$x$的函数关系式。
(2)销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？
(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果。
答案
解：(1) 当$1 ≤ x ＜ 50$时，
每件商品的利润为$(x+40-30)$元，销量为$(200-2x)$件，
$y=(x+40-30)(200-2x)=-2x^2+180x+2000$；
当$50 ≤ x ≤ 90$时，
每件商品的利润为$(90-30)$元，销量为$(200-2x)$件，
$y=(90-30)(200-2x)=-120x+12000$。
综上，$y=\begin{cases}-2x^2+180x+2000 & (1≤ x＜50) \\-120x+12000 & (50≤ x≤90)\end{cases}$。
(2) 当$1 ≤ x ＜ 50$时，$y=-2x^2+180x+2000$，
二次项系数$-2＜0$，函数图象开口向下，对称轴为$x=-\frac{180}{2×(-2)}=45$，
$\therefore$ 当$x=45$时，$y$取得最大值，$y_{\mathrm{max}}=-2×45^2+180×45+2000=6050$；
当$50 ≤ x ≤ 90$时，$y=-120x+12000$，
$-120＜0$，$y$随$x$的增大而减小，
$\therefore$ 当$x=50$时，$y$取得最大值，$y_{\mathrm{max}}=-120×50+12000=6000$。
$\because 6050＞6000$，
$\therefore$ 销售该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元。
(3) 41天。
每件商品的利润为$(x+40-30)$元，销量为$(200-2x)$件，
$y=(x+40-30)(200-2x)=-2x^2+180x+2000$；
当$50 ≤ x ≤ 90$时，
每件商品的利润为$(90-30)$元，销量为$(200-2x)$件，
$y=(90-30)(200-2x)=-120x+12000$。
综上，$y=\begin{cases}-2x^2+180x+2000 & (1≤ x＜50) \\-120x+12000 & (50≤ x≤90)\end{cases}$。
(2) 当$1 ≤ x ＜ 50$时，$y=-2x^2+180x+2000$，
二次项系数$-2＜0$，函数图象开口向下，对称轴为$x=-\frac{180}{2×(-2)}=45$，
$\therefore$ 当$x=45$时，$y$取得最大值，$y_{\mathrm{max}}=-2×45^2+180×45+2000=6050$；
当$50 ≤ x ≤ 90$时，$y=-120x+12000$，
$-120＜0$，$y$随$x$的增大而减小，
$\therefore$ 当$x=50$时，$y$取得最大值，$y_{\mathrm{max}}=-120×50+12000=6000$。
$\because 6050＞6000$，
$\therefore$ 销售该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元。
(3) 41天。
解析
【分析】
本题为销售利润类分段函数应用题，解题思路如下：
1. 求函数关系式：利润=（单件售价-单件进价）×销售量，题中售价按x的取值分为两段，因此需分$1≤x＜50$和$50≤x≤90$两种情况，分别代入对应售价、销量计算利润，得到分段函数；
2. 求最大利润：分别在两个区间内求函数最大值，第一段为开口向下的二次函数，在对称轴处取最大值；第二段为k＜0的一次函数，y随x增大而减小，在区间左端点取最大值，最终比较两个最大值得到全局最大利润；
3. 求利润不低于4800元的天数：分别在两个区间内解$y≥4800$的不等式，统计符合条件的整数x的总个数即可。
【解析】
(1) 分情况计算函数关系式：
① 当$1 ≤ x ＜ 50$时，单件利润为$(x+40-30)$元，销量为$(200-2x)$件，
$y=(x+40-30)(200-2x)=-2x^2+180x+2000$；
② 当$50 ≤ x ≤ 90$时，单件利润为$(90-30)$元，销量为$(200-2x)$件，
$y=(90-30)(200-2x)=-120x+12000$。
综上，y与x的函数关系式为：
$y=\begin{cases}-2x^2+180x+2000 & (1≤ x＜50) \\-120x+12000 & (50≤ x≤90)\end{cases}$。
(2) 分段求最大值：
① 当$1 ≤ x ＜ 50$时，$y=-2x^2+180x+2000$，二次项系数$-2＜0$，图象开口向下，对称轴为$x=-\frac{180}{2×(-2)}=45$，
因此当$x=45$时，y取最大值：$y_{\mathrm{max}}=-2×45^2+180×45+2000=6050$；
② 当$50 ≤ x ≤ 90$时，$y=-120x+12000$，一次项系数$-120＜0$，y随x增大而减小，
因此当$x=50$时，y取最大值：$y_{\mathrm{max}}=-120×50+12000=6000$。
对比得$6050＞6000$，因此第45天利润最大。
(3) 分别解两段$y≥4800$的不等式：
① $1≤x＜50$时，$-2x^2+180x+2000≥4800$，解得$20≤x＜50$，共30天；
② $50≤x≤90$时，$-120x+12000≥4800$，解得$50≤x≤60$，共11天；
总天数为$30+11=41$天。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}-2x^2+180x+2000 & (1≤ x＜50) \\-120x+12000 & (50≤ x≤90)\end{cases}$
(2) 销售该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元
(3) 41天
【知识点】
分段函数应用；二次函数的最值；一次函数的性质
【点评】
本题是典型的实际应用类函数题，核心考查分段讨论的数学思想，需要结合不同类型函数的性质求解最值和不等式，解题时要格外注意自变量的取值范围，避免因忽略范围导致计算错误。
【难度系数】
0.6
本题为销售利润类分段函数应用题，解题思路如下：
1. 求函数关系式：利润=（单件售价-单件进价）×销售量，题中售价按x的取值分为两段，因此需分$1≤x＜50$和$50≤x≤90$两种情况，分别代入对应售价、销量计算利润，得到分段函数；
2. 求最大利润：分别在两个区间内求函数最大值，第一段为开口向下的二次函数，在对称轴处取最大值；第二段为k＜0的一次函数，y随x增大而减小，在区间左端点取最大值，最终比较两个最大值得到全局最大利润；
3. 求利润不低于4800元的天数：分别在两个区间内解$y≥4800$的不等式，统计符合条件的整数x的总个数即可。
【解析】
(1) 分情况计算函数关系式：
① 当$1 ≤ x ＜ 50$时，单件利润为$(x+40-30)$元，销量为$(200-2x)$件，
$y=(x+40-30)(200-2x)=-2x^2+180x+2000$；
② 当$50 ≤ x ≤ 90$时，单件利润为$(90-30)$元，销量为$(200-2x)$件，
$y=(90-30)(200-2x)=-120x+12000$。
综上，y与x的函数关系式为：
$y=\begin{cases}-2x^2+180x+2000 & (1≤ x＜50) \\-120x+12000 & (50≤ x≤90)\end{cases}$。
(2) 分段求最大值：
① 当$1 ≤ x ＜ 50$时，$y=-2x^2+180x+2000$，二次项系数$-2＜0$，图象开口向下，对称轴为$x=-\frac{180}{2×(-2)}=45$，
因此当$x=45$时，y取最大值：$y_{\mathrm{max}}=-2×45^2+180×45+2000=6050$；
② 当$50 ≤ x ≤ 90$时，$y=-120x+12000$，一次项系数$-120＜0$，y随x增大而减小，
因此当$x=50$时，y取最大值：$y_{\mathrm{max}}=-120×50+12000=6000$。
对比得$6050＞6000$，因此第45天利润最大。
(3) 分别解两段$y≥4800$的不等式：
① $1≤x＜50$时，$-2x^2+180x+2000≥4800$，解得$20≤x＜50$，共30天；
② $50≤x≤90$时，$-120x+12000≥4800$，解得$50≤x≤60$，共11天；
总天数为$30+11=41$天。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}-2x^2+180x+2000 & (1≤ x＜50) \\-120x+12000 & (50≤ x≤90)\end{cases}$
(2) 销售该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元
(3) 41天
【知识点】
分段函数应用；二次函数的最值；一次函数的性质
【点评】
本题是典型的实际应用类函数题，核心考查分段讨论的数学思想，需要结合不同类型函数的性质求解最值和不等式，解题时要格外注意自变量的取值范围，避免因忽略范围导致计算错误。
【难度系数】
0.6
