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23. (11分)(2024·安徽)已知抛物线$y=-x^2+bx$（$b$为常数）的顶点横坐标比抛物线$y=-x^2+2x$的顶点横坐标大1。
(1)求$b$的值。
(2)点$A(x_1,y_1)$在抛物线$y=-x^2+2x$上，点$B(x_1+t,y_1+h)$在抛物线$y=-x^2+bx$上。
(ⅰ)若$h=3t$，且$x_1≥0$，$t＞0$，求$h$的值；
(ⅱ)若$x_1=t-1$，求$h$的最大值。
(1)求$b$的值。
(2)点$A(x_1,y_1)$在抛物线$y=-x^2+2x$上，点$B(x_1+t,y_1+h)$在抛物线$y=-x^2+bx$上。
(ⅰ)若$h=3t$，且$x_1≥0$，$t＞0$，求$h$的值；
(ⅱ)若$x_1=t-1$，求$h$的最大值。
答案
解：
(1) 对于抛物线$y=-x^2+2x$，其顶点横坐标为$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$。
由题意，抛物线$y=-x^2+bx$的顶点横坐标为$1+1=2$。
又抛物线$y=-x^2+bx$的顶点横坐标为$x=\frac{b}{2}$，因此$\frac{b}{2}=2$，解得$b=4$。
(2)(ⅰ) 已知点$A(x_1,y_1)$在$y=-x^2+2x$上，故$y_1=-x_1^2+2x_1$。
点$B(x_1+t,y_1+h)$在$y=-x^2+4x$上，代入得：
$y_1+h=-(x_1+t)^2+4(x_1+t)$
将$y_1=-x_1^2+2x_1$代入上式，整理得：
$h=-2tx_1+2x_1-t^2+4t$
由$h=3t$，代入得：
$3t=-2x_1(t-1)-t^2+4t$
移项因式分解得：
$2(t-1)x_1=t-t^2$
即$(t-1)(2x_1+t)=0$。
因为$t＞0$，$x_1\ge0$，所以$2x_1+t＞0$，因此仅$t-1=0$，即$t=1$。
故$h=3t=3$。
(ⅱ) 将$x_1=t-1$代入$h=-2tx_1+2x_1-t^2+4t$，得：
$\begin{aligned}h&=-2t(t-1)+2(t-1)-t^2+4t\\&=-3t^2+8t-2\end{aligned}$
这是开口向下的二次函数，其顶点处取得最大值，当$t=-\frac{8}{2×(-3)}=\frac{4}{3}$时，
$h_{\mathrm{max}}=-3×(\frac{4}{3})^2+8×\frac{4}{3}-2=\frac{10}{3}$
综上，(1)$b=4$；(2)(ⅰ)$h=3$；(ⅱ)$h$的最大值为$\frac{10}{3}$。
(1) 对于抛物线$y=-x^2+2x$，其顶点横坐标为$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$。
由题意，抛物线$y=-x^2+bx$的顶点横坐标为$1+1=2$。
又抛物线$y=-x^2+bx$的顶点横坐标为$x=\frac{b}{2}$，因此$\frac{b}{2}=2$，解得$b=4$。
(2)(ⅰ) 已知点$A(x_1,y_1)$在$y=-x^2+2x$上，故$y_1=-x_1^2+2x_1$。
点$B(x_1+t,y_1+h)$在$y=-x^2+4x$上，代入得：
$y_1+h=-(x_1+t)^2+4(x_1+t)$
将$y_1=-x_1^2+2x_1$代入上式，整理得：
$h=-2tx_1+2x_1-t^2+4t$
由$h=3t$，代入得：
$3t=-2x_1(t-1)-t^2+4t$
移项因式分解得：
$2(t-1)x_1=t-t^2$
即$(t-1)(2x_1+t)=0$。
因为$t＞0$，$x_1\ge0$，所以$2x_1+t＞0$，因此仅$t-1=0$，即$t=1$。
故$h=3t=3$。
(ⅱ) 将$x_1=t-1$代入$h=-2tx_1+2x_1-t^2+4t$，得：
$\begin{aligned}h&=-2t(t-1)+2(t-1)-t^2+4t\\&=-3t^2+8t-2\end{aligned}$
这是开口向下的二次函数，其顶点处取得最大值，当$t=-\frac{8}{2×(-3)}=\frac{4}{3}$时，
$h_{\mathrm{max}}=-3×(\frac{4}{3})^2+8×\frac{4}{3}-2=\frac{10}{3}$
综上，(1)$b=4$；(2)(ⅰ)$h=3$；(ⅱ)$h$的最大值为$\frac{10}{3}$。
解析
【分析】
1. 求解第(1)问时，先利用二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$（$a\ne0$）算出抛物线$y=-x^2+2x$的顶点横坐标，结合“顶点横坐标大1”的条件得到$y=-x^2+bx$的顶点横坐标，再代入公式列方程即可求出$b$的值。
2. 求解第(2)(ⅰ)问时，先将点$A$、$B$分别代入对应的抛物线解析式，消去$y_1$得到$h$关于$x_1$、$t$的表达式，再代入$h=3t$的条件因式分解，结合$x_1\ge0$、$t＞0$的范围排除不符合题意的解，求出$t$后即可得到$h$的值。
3. 求解第(2)(ⅱ)问时，将$x_1=t-1$代入已得的$h$的表达式，把$h$转化为关于$t$的二次函数，根据开口方向，用顶点坐标公式求最大值即可。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=-x^2+2x$，其中$a=-1$，一次项系数为2，根据顶点横坐标公式可得其顶点横坐标为$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$。
由题意，抛物线$y=-x^2+bx$的顶点横坐标为$1+1=2$。
对于抛物线$y=-x^2+bx$，其顶点横坐标为$x=\frac{b}{2}$，因此$\frac{b}{2}=2$，解得$b=4$。
(2)(ⅰ) 已知点$A(x_1,y_1)$在$y=-x^2+2x$上，代入得：$y_1=-x_1^2+2x_1$①。
点$B(x_1+t,y_1+h)$在$y=-x^2+4x$上，代入得：$y_1+h=-(x_1+t)^2+4(x_1+t)$②。
将①代入②，整理得：
$h=-2tx_1+2x_1-t^2+4t$。
代入$h=3t$得：
$3t=-2tx_1+2x_1-t^2+4t$，
移项因式分解得：$(t-1)(2x_1+t)=0$。
因为$t＞0$，$x_1\ge0$，所以$2x_1+t＞0$，因此仅$t-1=0$，即$t=1$。
故$h=3t=3$。
(ⅱ) 将$x_1=t-1$代入$h=-2tx_1+2x_1-t^2+4t$，得：
$\begin{aligned}h&=-2t(t-1)+2(t-1)-t^2+4t\\&=-3t^2+8t-2\end{aligned}$
这是开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值，当$t=-\frac{8}{2×(-3)}=\frac{4}{3}$时，
$h_{\mathrm{max}}=-3×(\frac{4}{3})^2+8×\frac{4}{3}-2=\frac{10}{3}$。
【答案】
(1)$b=4$；(2)(ⅰ)$h=3$；(ⅱ)$h$的最大值为$\frac{10}{3}$
【知识点】
抛物线顶点坐标公式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值
【点评】
本题综合考查二次函数的基础性质，解题核心是熟练运用二次函数相关公式，结合点在图象上则坐标满足解析式的性质列方程，将问题转化为代数式化简、方程求解或二次函数求最值问题，重点考查代数运算能力和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
1. 求解第(1)问时，先利用二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$（$a\ne0$）算出抛物线$y=-x^2+2x$的顶点横坐标，结合“顶点横坐标大1”的条件得到$y=-x^2+bx$的顶点横坐标，再代入公式列方程即可求出$b$的值。
2. 求解第(2)(ⅰ)问时，先将点$A$、$B$分别代入对应的抛物线解析式，消去$y_1$得到$h$关于$x_1$、$t$的表达式，再代入$h=3t$的条件因式分解，结合$x_1\ge0$、$t＞0$的范围排除不符合题意的解，求出$t$后即可得到$h$的值。
3. 求解第(2)(ⅱ)问时，将$x_1=t-1$代入已得的$h$的表达式，把$h$转化为关于$t$的二次函数，根据开口方向，用顶点坐标公式求最大值即可。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=-x^2+2x$，其中$a=-1$，一次项系数为2，根据顶点横坐标公式可得其顶点横坐标为$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$。
由题意，抛物线$y=-x^2+bx$的顶点横坐标为$1+1=2$。
对于抛物线$y=-x^2+bx$，其顶点横坐标为$x=\frac{b}{2}$，因此$\frac{b}{2}=2$，解得$b=4$。
(2)(ⅰ) 已知点$A(x_1,y_1)$在$y=-x^2+2x$上，代入得：$y_1=-x_1^2+2x_1$①。
点$B(x_1+t,y_1+h)$在$y=-x^2+4x$上，代入得：$y_1+h=-(x_1+t)^2+4(x_1+t)$②。
将①代入②，整理得：
$h=-2tx_1+2x_1-t^2+4t$。
代入$h=3t$得：
$3t=-2tx_1+2x_1-t^2+4t$，
移项因式分解得：$(t-1)(2x_1+t)=0$。
因为$t＞0$，$x_1\ge0$，所以$2x_1+t＞0$，因此仅$t-1=0$，即$t=1$。
故$h=3t=3$。
(ⅱ) 将$x_1=t-1$代入$h=-2tx_1+2x_1-t^2+4t$，得：
$\begin{aligned}h&=-2t(t-1)+2(t-1)-t^2+4t\\&=-3t^2+8t-2\end{aligned}$
这是开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值，当$t=-\frac{8}{2×(-3)}=\frac{4}{3}$时，
$h_{\mathrm{max}}=-3×(\frac{4}{3})^2+8×\frac{4}{3}-2=\frac{10}{3}$。
【答案】
(1)$b=4$；(2)(ⅰ)$h=3$；(ⅱ)$h$的最大值为$\frac{10}{3}$
【知识点】
抛物线顶点坐标公式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值
【点评】
本题综合考查二次函数的基础性质，解题核心是熟练运用二次函数相关公式，结合点在图象上则坐标满足解析式的性质列方程，将问题转化为代数式化简、方程求解或二次函数求最值问题，重点考查代数运算能力和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
