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1. 将一元二次方程$x^2 -8x -5=0$化成$(x+a)^2 = b$（$a,b$为常数）的形式，则$a,b$的值分别是（）
A.$-4,21$
B.$-4,11$
C.$4,21$
D.$-8,69$
A.$-4,21$
B.$-4,11$
C.$4,21$
D.$-8,69$
答案
A
解析
【分析】
本题考查用配方法将一元二次方程转化为指定形式的方法，解题思路如下：第一步先把原方程的常数项移到等号右侧；第二步根据完全平方公式的结构，给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方的形式；最后将得到的式子和题目给出的$(x+a)^2 = b$对比，即可确定a、b的值。
【解析】
解：对原方程$x^2 -8x -5=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右边：$x^2 - 8x = 5$
2. 配方：一次项系数为$-8$，其一半的平方为$(\frac{-8}{2})^2=16$，给方程左右两边同时加16：
$x^2 - 8x + 16 = 5 + 16$
3. 左侧写成完全平方形式，右侧合并常数项：$(x - 4)^2 = 21$
将该式与$(x+a)^2 = b$对比可得：$a=-4$，$b=21$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
配方法，完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，核心是掌握配方法的操作步骤，需要注意配方时所加的常数是一次项系数一半的平方，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查用配方法将一元二次方程转化为指定形式的方法，解题思路如下：第一步先把原方程的常数项移到等号右侧；第二步根据完全平方公式的结构，给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方的形式；最后将得到的式子和题目给出的$(x+a)^2 = b$对比，即可确定a、b的值。
【解析】
解：对原方程$x^2 -8x -5=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右边：$x^2 - 8x = 5$
2. 配方：一次项系数为$-8$，其一半的平方为$(\frac{-8}{2})^2=16$，给方程左右两边同时加16：
$x^2 - 8x + 16 = 5 + 16$
3. 左侧写成完全平方形式，右侧合并常数项：$(x - 4)^2 = 21$
将该式与$(x+a)^2 = b$对比可得：$a=-4$，$b=21$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
配方法，完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，核心是掌握配方法的操作步骤，需要注意配方时所加的常数是一次项系数一半的平方，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
2. 在同一时刻,身高1.6 m的小强在阳光下的影长为0.8 m,一棵大树的影长为4.8 m,则树的高度为 ()
A.4.8 m
B.6.4 m
C.9.6 m
D.10 m
A.4.8 m
B.6.4 m
C.9.6 m
D.10 m
答案
C
解析
【分析】
这是平行投影的实际应用题，解题核心是明确同一时刻阳光下，物体的高度与影长的比值是固定的，即物高和影长成正比例关系。我们可以先设树的高度为未知数，再根据上述比例关系列方程，解方程即可得到树的高度。
【解析】
解：同一时刻，物体高度与影长的比值相等，设树的高度为$x\ \mathrm{m}$。
根据题意列比例式：
$\frac{\mathrm{小强身高}}{\mathrm{小强影长}}=\frac{\mathrm{树的高度}}{\mathrm{树的影长}}$
代入已知数值：
$\frac{1.6}{0.8}=\frac{x}{4.8}$
化简得：$2=\frac{x}{4.8}$
解得：$x=2×4.8=9.6$
即树的高度为$9.6\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
1.平行投影的性质 2.比例方程求解
【点评】
本题是平行投影在生活中的基础应用题，解题关键是掌握同一时刻物高与影长成正比的规律，计算量小，思路清晰易理解。
【难度系数】
0.9
这是平行投影的实际应用题，解题核心是明确同一时刻阳光下，物体的高度与影长的比值是固定的，即物高和影长成正比例关系。我们可以先设树的高度为未知数，再根据上述比例关系列方程，解方程即可得到树的高度。
【解析】
解：同一时刻，物体高度与影长的比值相等，设树的高度为$x\ \mathrm{m}$。
根据题意列比例式：
$\frac{\mathrm{小强身高}}{\mathrm{小强影长}}=\frac{\mathrm{树的高度}}{\mathrm{树的影长}}$
代入已知数值：
$\frac{1.6}{0.8}=\frac{x}{4.8}$
化简得：$2=\frac{x}{4.8}$
解得：$x=2×4.8=9.6$
即树的高度为$9.6\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
1.平行投影的性质 2.比例方程求解
【点评】
本题是平行投影在生活中的基础应用题，解题关键是掌握同一时刻物高与影长成正比的规律，计算量小，思路清晰易理解。
【难度系数】
0.9
3. (2024·通辽)如图1，$□ ABCD$的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明$□ ABCD$是菱形的是 ()
A.$∠ BAC = ∠ BCA$
B.$∠ ABD = ∠ CBD$
C.$OA^2 + OB^2 = AD^2$
D.$AD^2 + OA^2 = OD^2$
A.$∠ BAC = ∠ BCA$
B.$∠ ABD = ∠ CBD$
C.$OA^2 + OB^2 = AD^2$
D.$AD^2 + OA^2 = OD^2$
答案
D
解析
【分析】
要判断平行四边形是否为菱形，只需判定其满足“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”两个条件之一即可。我们结合平行四边形的性质，逐一分析各选项能否推导出上述两个判定条件，无法推导的即为本题答案。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，因此有性质：$AB=CD,AD=BC,OA=OC,OB=OD,AD// BC,AB// CD$。
选项A：$∠ BAC=∠ BCA$，由等角对等边可得$AB=BC$，平行四边形一组邻边相等，可证明$□ABCD$是菱形，不符合题意。
选项B：$∠ ABD=∠ CBD$，由$AD// BC$得$∠ ADB=∠ CBD$，等量代换得$∠ ABD=∠ ADB$，由等角对等边得$AB=AD$，平行四边形一组邻边相等，可证明$□ABCD$是菱形，不符合题意。
选项C：$OA^2+OB^2=AD^2$，由$OB=OD$替换得$OA^2+OD^2=AD^2$，根据勾股定理逆定理可知$∠ AOD=90°$，即$AC⊥ BD$，平行四边形对角线互相垂直，可证明$□ABCD$是菱形，不符合题意。
选项D：$AD^2+OA^2=OD^2$，根据勾股定理逆定理可知$∠ OAD=90°$，即$AC⊥ AD$，仅能推出边AD与对角线AC垂直，无法得到邻边相等或对角线互相垂直的结论，不能证明$□ABCD$是菱形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定；平行四边形的性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是平行四边形性质与菱形判定的综合应用题，解题的核心是熟练掌握菱形的判定条件，结合等腰三角形性质、勾股定理逆定理逐一分析选项即可求解，属于基础类的几何常考题。
【难度系数】
0.7
要判断平行四边形是否为菱形，只需判定其满足“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”两个条件之一即可。我们结合平行四边形的性质，逐一分析各选项能否推导出上述两个判定条件，无法推导的即为本题答案。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，因此有性质：$AB=CD,AD=BC,OA=OC,OB=OD,AD// BC,AB// CD$。
选项A：$∠ BAC=∠ BCA$，由等角对等边可得$AB=BC$，平行四边形一组邻边相等，可证明$□ABCD$是菱形，不符合题意。
选项B：$∠ ABD=∠ CBD$，由$AD// BC$得$∠ ADB=∠ CBD$，等量代换得$∠ ABD=∠ ADB$，由等角对等边得$AB=AD$，平行四边形一组邻边相等，可证明$□ABCD$是菱形，不符合题意。
选项C：$OA^2+OB^2=AD^2$，由$OB=OD$替换得$OA^2+OD^2=AD^2$，根据勾股定理逆定理可知$∠ AOD=90°$，即$AC⊥ BD$，平行四边形对角线互相垂直，可证明$□ABCD$是菱形，不符合题意。
选项D：$AD^2+OA^2=OD^2$，根据勾股定理逆定理可知$∠ OAD=90°$，即$AC⊥ AD$，仅能推出边AD与对角线AC垂直，无法得到邻边相等或对角线互相垂直的结论，不能证明$□ABCD$是菱形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定；平行四边形的性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是平行四边形性质与菱形判定的综合应用题，解题的核心是熟练掌握菱形的判定条件，结合等腰三角形性质、勾股定理逆定理逐一分析选项即可求解，属于基础类的几何常考题。
【难度系数】
0.7
4. (2025·驻马店驿城区一模)中国古代的数学研究成果辉煌,产生的一些数学名词颇有趣味,如《九章算术》中的“刍童”,原指上、下底面都是长方形的草垛。如图2①是一个“刍童”形状的几何体,它的主视图和左视图如图2②所示,则其俯视图是 ()
答案
D
解析
【分析】
要确定该“刍童”的俯视图，需先明确三视图的对应规则：主视图反映几何体的长和高，左视图反映几何体的宽和高，俯视图反映几何体的长和宽，可见轮廓线用实线绘制，不可见轮廓线用虚线绘制。结合给出的主视图和左视图可推断几何体结构：上下底面均为长方形，上底面更小且位于下底面正上方，前后、左右方向均居中。从正上方观察时，下底面的大长方形和上底面的小长方形都可见，据此即可匹配正确选项。
【解析】
根据三视图的定义与绘制规则分析：
1. 由主视图可知：该几何体上底面的长小于下底面的长，上底面在左右方向上居中；
2. 由左视图可知：该几何体上底面的宽小于下底面的宽，上底面在前后方向上居中；
3. 俯视图是从几何体正上方观察得到的图形，此时下底面的大长方形外框、上底面的小长方形都可见，可见的棱均用实线绘制，因此俯视图为外框是大长方形，内部居中位置有一个与外框边平行的小实线长方形，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
简单几何体三视图，视图绘制规则
【点评】
本题结合中国古代数学文化考查三视图的识别，重点考查空间想象能力，解题关键是根据已知的主视图、左视图推断几何体的结构特征，牢记视图的绘制规则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要确定该“刍童”的俯视图，需先明确三视图的对应规则：主视图反映几何体的长和高，左视图反映几何体的宽和高，俯视图反映几何体的长和宽，可见轮廓线用实线绘制，不可见轮廓线用虚线绘制。结合给出的主视图和左视图可推断几何体结构：上下底面均为长方形，上底面更小且位于下底面正上方，前后、左右方向均居中。从正上方观察时，下底面的大长方形和上底面的小长方形都可见，据此即可匹配正确选项。
【解析】
根据三视图的定义与绘制规则分析：
1. 由主视图可知：该几何体上底面的长小于下底面的长，上底面在左右方向上居中；
2. 由左视图可知：该几何体上底面的宽小于下底面的宽，上底面在前后方向上居中；
3. 俯视图是从几何体正上方观察得到的图形，此时下底面的大长方形外框、上底面的小长方形都可见，可见的棱均用实线绘制，因此俯视图为外框是大长方形，内部居中位置有一个与外框边平行的小实线长方形，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
简单几何体三视图，视图绘制规则
【点评】
本题结合中国古代数学文化考查三视图的识别，重点考查空间想象能力，解题关键是根据已知的主视图、左视图推断几何体的结构特征，牢记视图的绘制规则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
5. (2026·内蒙古)二次函数$y=x^2 -9$的图象与x轴交于A,B两点,则线段AB的长是 ()
A.3
B.6
C.9
D.18
A.3
B.6
C.9
D.18
答案
B
解析
【分析】
要计算二次函数与x轴交点A、B之间的线段长度，首先明确x轴上点的纵坐标为0，因此先令函数的y=0，解对应的一元二次方程得到两个交点的横坐标，再计算两个横坐标差的绝对值，即可得到AB的长度。
【解析】
解：
∵二次函数图象与x轴交点的纵坐标为0
∴令$y=0$，可得方程：$x^2 - 9 = 0$
移项得：$x^2=9$
解得：$x_1=3$，$x_2=-3$
即A、B两点的坐标为$(-3,0)$和$(3,0)$
∴线段AB的长为$|3 - (-3)|=6$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与坐标轴的交点；解一元二次方程；坐标轴上两点距离计算
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次函数与x轴交点的求解逻辑，只要掌握将函数交点问题转化为解方程的思路，就能快速解题。
【难度系数】
0.85
要计算二次函数与x轴交点A、B之间的线段长度，首先明确x轴上点的纵坐标为0，因此先令函数的y=0，解对应的一元二次方程得到两个交点的横坐标，再计算两个横坐标差的绝对值，即可得到AB的长度。
【解析】
解：
∵二次函数图象与x轴交点的纵坐标为0
∴令$y=0$，可得方程：$x^2 - 9 = 0$
移项得：$x^2=9$
解得：$x_1=3$，$x_2=-3$
即A、B两点的坐标为$(-3,0)$和$(3,0)$
∴线段AB的长为$|3 - (-3)|=6$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与坐标轴的交点；解一元二次方程；坐标轴上两点距离计算
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次函数与x轴交点的求解逻辑，只要掌握将函数交点问题转化为解方程的思路，就能快速解题。
【难度系数】
0.85
6.(2024·眉山)眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，设该村水稻亩产量年平均增长率为x，则可列方程为 ()
A.$670×(1+2x)=780$
B.$670×(1+x)^2=780$
C.$670×(1+x^2)=780$
D.$670×(1+x)=780$
A.$670×(1+2x)=780$
B.$670×(1+x)^2=780$
C.$670×(1+x^2)=780$
D.$670×(1+x)=780$
答案
B
解析
【分析】
这是一道平均增长率类的实际应用题，解题思路如下：首先回忆平均增长率的基本数量关系：若初始量为a，年平均增长率为x，经过n次增长后的最终量为b，则满足关系式$b=a(1+x)^n$。接下来从题目中提取对应量：2021年的亩产量670千克是初始量a，2023年的亩产量780千克是最终量b，从2021年到2023年共经过2次增长，即n=2，把对应数值代入公式即可列出方程。
【解析】
解：已知2021年水稻亩产量为670千克，年平均增长率为x。
1. 2022年的水稻亩产量为：$670×(1+x)$
2. 2023年的水稻亩产量是在2022年的基础上再增长x，因此为：$670×(1+x)×(1+x)=670(1+x)^2$
3. 题目给出2023年亩产量为780千克，因此可列方程：$670(1+x)^2=780$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是实际应用类的基础常考题，解题核心是明确增长是在上一年的产量基础上进行，准确判断增长的次数即可快速列出方程。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率类的实际应用题，解题思路如下：首先回忆平均增长率的基本数量关系：若初始量为a，年平均增长率为x，经过n次增长后的最终量为b，则满足关系式$b=a(1+x)^n$。接下来从题目中提取对应量：2021年的亩产量670千克是初始量a，2023年的亩产量780千克是最终量b，从2021年到2023年共经过2次增长，即n=2，把对应数值代入公式即可列出方程。
【解析】
解：已知2021年水稻亩产量为670千克，年平均增长率为x。
1. 2022年的水稻亩产量为：$670×(1+x)$
2. 2023年的水稻亩产量是在2022年的基础上再增长x，因此为：$670×(1+x)×(1+x)=670(1+x)^2$
3. 题目给出2023年亩产量为780千克，因此可列方程：$670(1+x)^2=780$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是实际应用类的基础常考题，解题核心是明确增长是在上一年的产量基础上进行，准确判断增长的次数即可快速列出方程。
【难度系数】
0.8
7. (2026·陕西)某种鱼在捕食时,能从口中射出一股水流,如果不考虑空气阻力,那么射出的水流可以看成抛物线的一部分。按如图3所示的平面直角坐标系,某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度$y$(cm)与水平距离$x$(cm)的关系可以表示为$y=-0.1x^2+6x$,则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（）
A.9 cm
B.30 cm
C.90 cm
D.360 cm
A.9 cm
B.30 cm
C.90 cm
D.360 cm
答案
C
解析
【分析】
本题要求水流的最大高度，本质是求给定二次函数的最大值。首先观察函数解析式$y=-0.1x^2+6x$，二次项系数为$-0.1＜0$，说明抛物线开口向下，函数的最大值就是抛物线顶点的纵坐标，我们可以通过配方法或者顶点坐标公式计算顶点的纵坐标，即可得到最大高度。
【解析】
已知水流高度$y$与水平距离$x$的函数关系为二次函数$y=-0.1x^2+6x$，其中$a=-0.1＜0$，抛物线开口向下，函数存在最大值，最大值为顶点的纵坐标。
方法一：配方法
对函数解析式配方：
$\begin{aligned}y&=-0.1x^2+6x\\&=-0.1(x^2-60x)\\&=-0.1(x^2-60x+900-900)\\&=-0.1(x-30)^2+90\end{aligned}$
当$x=30$时，$y$取最大值90，即水流最大高度为90cm。
方法二：顶点坐标公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入$a=-0.1$，$b=6$，$c=0$得：
$\frac{4×(-0.1)×0 - 6^2}{4×(-0.1)}=\frac{-36}{-0.4}=90$
即水流最大高度为90cm。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的图象与性质；配方法变形
【点评】
本题结合生活实际场景考查二次函数的应用，解题关键是将实际问题中的“最大高度”转化为二次函数最大值的求解问题，熟练掌握二次函数顶点坐标的求解方法即可快速作答。
【难度系数】
0.7
本题要求水流的最大高度，本质是求给定二次函数的最大值。首先观察函数解析式$y=-0.1x^2+6x$，二次项系数为$-0.1＜0$，说明抛物线开口向下，函数的最大值就是抛物线顶点的纵坐标，我们可以通过配方法或者顶点坐标公式计算顶点的纵坐标，即可得到最大高度。
【解析】
已知水流高度$y$与水平距离$x$的函数关系为二次函数$y=-0.1x^2+6x$，其中$a=-0.1＜0$，抛物线开口向下，函数存在最大值，最大值为顶点的纵坐标。
方法一：配方法
对函数解析式配方：
$\begin{aligned}y&=-0.1x^2+6x\\&=-0.1(x^2-60x)\\&=-0.1(x^2-60x+900-900)\\&=-0.1(x-30)^2+90\end{aligned}$
当$x=30$时，$y$取最大值90，即水流最大高度为90cm。
方法二：顶点坐标公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入$a=-0.1$，$b=6$，$c=0$得：
$\frac{4×(-0.1)×0 - 6^2}{4×(-0.1)}=\frac{-36}{-0.4}=90$
即水流最大高度为90cm。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的图象与性质；配方法变形
【点评】
本题结合生活实际场景考查二次函数的应用，解题关键是将实际问题中的“最大高度”转化为二次函数最大值的求解问题，熟练掌握二次函数顶点坐标的求解方法即可快速作答。
【难度系数】
0.7
