登录
8. 如图4,在$△ ABC$中,$AC=2$,$BC=4$,$D$为$BC$边上一点,且$∠ CAD=∠ B$。若$△ ADC$的面积为$a$,则$△ ABD$的面积为 ()
A.$2a$
B.$\dfrac{5}{2}a$
C.$3a$
D.$\dfrac{7}{2}a$
A.$2a$
B.$\dfrac{5}{2}a$
C.$3a$
D.$\dfrac{7}{2}a$
答案
C
解析
【分析】
首先观察图形和已知条件，发现∠CAD=∠B，且∠C是△ADC和△BAC的公共角，可根据两角对应相等判定两个三角形相似；再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，求出△BAC的面积，最后用△BAC的面积减去△ADC的面积即可得到△ABD的面积。
【解析】
在$△ ADC$和$△ BAC$中：
$\because ∠ CAD=∠ B$，$∠ C=∠ C$（公共角）
$\therefore △ ADC ∽ △ BAC$（两角分别相等的两个三角形相似）
$\therefore$ 相似比为 $\frac{AC}{BC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ADC}}{S_{△ BAC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
已知$S_{△ ADC}=a$，代入得$S_{△ BAC}=4a$
$\therefore S_{△ ABD}=S_{△ BAC}-S_{△ ADC}=4a - a=3a$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题核心是通过公共角和已知等角证明三角形相似，再结合相似三角形的面积性质求解，熟练掌握相似的判定和性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
首先观察图形和已知条件，发现∠CAD=∠B，且∠C是△ADC和△BAC的公共角，可根据两角对应相等判定两个三角形相似；再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，求出△BAC的面积，最后用△BAC的面积减去△ADC的面积即可得到△ABD的面积。
【解析】
在$△ ADC$和$△ BAC$中：
$\because ∠ CAD=∠ B$，$∠ C=∠ C$（公共角）
$\therefore △ ADC ∽ △ BAC$（两角分别相等的两个三角形相似）
$\therefore$ 相似比为 $\frac{AC}{BC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ADC}}{S_{△ BAC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
已知$S_{△ ADC}=a$，代入得$S_{△ BAC}=4a$
$\therefore S_{△ ABD}=S_{△ BAC}-S_{△ ADC}=4a - a=3a$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题核心是通过公共角和已知等角证明三角形相似，再结合相似三角形的面积性质求解，熟练掌握相似的判定和性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
9. (2025·福建)已知点$A(-2,y_1)$,$B(1,y_2)$在抛物线$y=3x^2+bx+1$上,若$3＜b＜4$,则下列判断正确的是 ()
A.$1＜y_1＜y_2$
B.$y_1＜1＜y_2$
C.$1＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜1＜y_1$
A.$1＜y_1＜y_2$
B.$y_1＜1＜y_2$
C.$1＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜1＜y_1$
答案
A
解析
【分析】
要比较$y_1$、$y_2$和$1$的大小，可先利用二次函数图象上点的坐标满足函数解析式的性质，将点A、B的坐标分别代入抛物线表达式，得到$y_1$、$y_2$关于$b$的代数式，再结合已知$3＜b＜4$的范围，利用不等式的性质分别求出$y_1$、$y_2$的取值范围，最后比较三者大小即可得到结论。
【解析】
1. 求$y_1$的表达式：
将点$A(-2,y_1)$代入$y=3x^2+bx+1$，得：
$y_1=3×(-2)^2 + b×(-2) + 1=12-2b+1=13-2b$
2. 求$y_2$的表达式：
将点$B(1,y_2)$代入$y=3x^2+bx+1$，得：
$y_2=3×1^2 + b×1 + 1=3+b+1=b+4$
3. 结合$3＜b＜4$求$y_1$、$y_2$的范围：
对于$y_2=b+4$，不等式三边同时加4，得$3+4 ＜ b+4 ＜ 4+4$，即$7＜y_2＜8$；
对于$y_1=13-2b$，先给$3＜b＜4$三边同乘$-2$（不等号方向改变），得$-8 ＜ -2b ＜ -6$，再三边同时加13，得$13-8 ＜ 13-2b ＜ 13-6$，即$5＜y_1＜7$。
4. 比较大小：
由$1＜5＜y_1＜7＜y_2$，可得$1＜y_1＜y_2$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；不等式的基本性质
【点评】
本题主要考查二次函数图象上点的坐标性质与不等式范围计算的结合，解题核心是正确代入点坐标得到函数值的表达式，再结合不等式性质推导取值范围，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.7
要比较$y_1$、$y_2$和$1$的大小，可先利用二次函数图象上点的坐标满足函数解析式的性质，将点A、B的坐标分别代入抛物线表达式，得到$y_1$、$y_2$关于$b$的代数式，再结合已知$3＜b＜4$的范围，利用不等式的性质分别求出$y_1$、$y_2$的取值范围，最后比较三者大小即可得到结论。
【解析】
1. 求$y_1$的表达式：
将点$A(-2,y_1)$代入$y=3x^2+bx+1$，得：
$y_1=3×(-2)^2 + b×(-2) + 1=12-2b+1=13-2b$
2. 求$y_2$的表达式：
将点$B(1,y_2)$代入$y=3x^2+bx+1$，得：
$y_2=3×1^2 + b×1 + 1=3+b+1=b+4$
3. 结合$3＜b＜4$求$y_1$、$y_2$的范围：
对于$y_2=b+4$，不等式三边同时加4，得$3+4 ＜ b+4 ＜ 4+4$，即$7＜y_2＜8$；
对于$y_1=13-2b$，先给$3＜b＜4$三边同乘$-2$（不等号方向改变），得$-8 ＜ -2b ＜ -6$，再三边同时加13，得$13-8 ＜ 13-2b ＜ 13-6$，即$5＜y_1＜7$。
4. 比较大小：
由$1＜5＜y_1＜7＜y_2$，可得$1＜y_1＜y_2$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；不等式的基本性质
【点评】
本题主要考查二次函数图象上点的坐标性质与不等式范围计算的结合，解题核心是正确代入点坐标得到函数值的表达式，再结合不等式性质推导取值范围，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.7
10. 如图5,在一斜边长为 30 cm 的直角三角形木板(即 $\mathrm{Rt}△ ACB$)中截取一个正方形 $CDEF$,点 $D$ 在边 $BC$ 上,点 $E$ 在斜边 $AB$ 上,点 $F$ 在边 $AC$ 上。若 $AF:AC=1:3$,则这块木板截取正方形 $CDEF$ 后,剩余部分的面积为 ()
A.$200\ \mathrm{cm}^2$
B.$170\ \mathrm{cm}^2$
C.$150\ \mathrm{cm}^2$
D.$100\ \mathrm{cm}^2$
A.$200\ \mathrm{cm}^2$
B.$170\ \mathrm{cm}^2$
C.$150\ \mathrm{cm}^2$
D.$100\ \mathrm{cm}^2$
答案
D
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，正方形CDEF的边EF平行于BC，可推出△AEF与△ABC相似，结合已知的线段比例关系设参数表示各边长度，再利用勾股定理求出参数的平方值，最后用大直角三角形面积减去正方形面积即可得到剩余部分的面积，计算时可整体代入参数平方，无需计算参数的具体值简化运算。
【解析】
设$AF=x$，
$\because AF:AC=1:3$，$\therefore AC=3x$，则$FC=AC-AF=2x$。
$\because$ 四边形$CDEF$是正方形，$\therefore EF=FC=2x$，且$EF// BC$，
$\therefore △ AEF ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{EF}{BC}=\frac{AF}{AC}=\frac{1}{3}$，即$\frac{2x}{BC}=\frac{1}{3}$，解得$BC=6x$。
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，由勾股定理得：$AC^2+BC^2=AB^2$，
代入$AC=3x$，$BC=6x$，$AB=30\mathrm{cm}$，得：
$(3x)^2+(6x)^2=30^2$，
$9x^2+36x^2=900$，
$45x^2=900$，解得$x^2=20$。
剩余部分的面积$S=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{正方形}CDEF}$，
其中$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×3x×6x=9x^2$，
$S_{\mathrm{正方形}CDEF}=(2x)^2=4x^2$，
$\therefore S=9x^2-4x^2=5x^2=5×20=100(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题是几何面积计算的典型题型，通过比例关系结合相似三角形得到边的对应关系，利用设参法和勾股定理求出参数的整体值，避免了不必要的开方运算，考查了学生对几何性质的综合运用能力和整体运算思维。
【难度系数】
0.6
解题时先观察图形特征，正方形CDEF的边EF平行于BC，可推出△AEF与△ABC相似，结合已知的线段比例关系设参数表示各边长度，再利用勾股定理求出参数的平方值，最后用大直角三角形面积减去正方形面积即可得到剩余部分的面积，计算时可整体代入参数平方，无需计算参数的具体值简化运算。
【解析】
设$AF=x$，
$\because AF:AC=1:3$，$\therefore AC=3x$，则$FC=AC-AF=2x$。
$\because$ 四边形$CDEF$是正方形，$\therefore EF=FC=2x$，且$EF// BC$，
$\therefore △ AEF ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{EF}{BC}=\frac{AF}{AC}=\frac{1}{3}$，即$\frac{2x}{BC}=\frac{1}{3}$，解得$BC=6x$。
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，由勾股定理得：$AC^2+BC^2=AB^2$，
代入$AC=3x$，$BC=6x$，$AB=30\mathrm{cm}$，得：
$(3x)^2+(6x)^2=30^2$，
$9x^2+36x^2=900$，
$45x^2=900$，解得$x^2=20$。
剩余部分的面积$S=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{正方形}CDEF}$，
其中$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×3x×6x=9x^2$，
$S_{\mathrm{正方形}CDEF}=(2x)^2=4x^2$，
$\therefore S=9x^2-4x^2=5x^2=5×20=100(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题是几何面积计算的典型题型，通过比例关系结合相似三角形得到边的对应关系，利用设参法和勾股定理求出参数的整体值，避免了不必要的开方运算，考查了学生对几何性质的综合运用能力和整体运算思维。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.(2025·上海改编)抛物线$y=3x^2$向下平移两个单位长度所得的抛物线的表达式为。
11.(2025·上海改编)抛物线$y=3x^2$向下平移两个单位长度所得的抛物线的表达式为。
答案
$\boldsymbol{y=3x^2 - 2}$
解析
【分析】
本题考查二次函数图象的平移变换，解题时首先回忆函数图象平移的规律：上下平移改变函数值，遵循“上加下减”的规则（即图象向上平移n个单位，函数表达式整体加n；向下平移n个单位，函数表达式整体减n）。本题是向下平移2个单位，因此只需将原抛物线的表达式整体减去2即可得到平移后的表达式。
【解析】
根据二次函数图象平移的“上加下减”规律，抛物线向下平移2个单位长度，即把原函数的函数值减少2。
原抛物线表达式为$y=3x^2$，
则平移后所得抛物线的表达式为$y=3x^2 - 2$。
【答案】
$y=3x^2 - 2$
【知识点】
二次函数图象平移；函数平移规律
【点评】
本题属于基础题，直接考查二次函数图象的平移规则，熟练掌握“上加下减、左加右减”的平移规律是解决这类问题的关键，是二次函数部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数图象的平移变换，解题时首先回忆函数图象平移的规律：上下平移改变函数值，遵循“上加下减”的规则（即图象向上平移n个单位，函数表达式整体加n；向下平移n个单位，函数表达式整体减n）。本题是向下平移2个单位，因此只需将原抛物线的表达式整体减去2即可得到平移后的表达式。
【解析】
根据二次函数图象平移的“上加下减”规律，抛物线向下平移2个单位长度，即把原函数的函数值减少2。
原抛物线表达式为$y=3x^2$，
则平移后所得抛物线的表达式为$y=3x^2 - 2$。
【答案】
$y=3x^2 - 2$
【知识点】
二次函数图象平移；函数平移规律
【点评】
本题属于基础题，直接考查二次函数图象的平移规则，熟练掌握“上加下减、左加右减”的平移规律是解决这类问题的关键，是二次函数部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
12.(2025·眉山)已知方程$x^2 -2x -5=0$的两根分别为$x_1,x_2$，则$(x_1+1)(x_2+1)$的值为。
答案
$\boldsymbol{-2}$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，无需计算出两根的具体值即可求解。首先思考解题步骤：第一步先将待求代数式$(x_1+1)(x_2+1)$展开化简，得到包含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；第二步根据给定的一元二次方程，利用根与系数的关系求出两根之和、两根之积；第三步将求得的数值代入化简后的代数式计算，即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1、x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
已知方程$x^2-2x-5=0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=-5$，因此：
$x_1+x_2=-\frac{-2}{1}=2$，$x_1x_2=\frac{-5}{1}=-5$
将待求式展开化简：
$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2+x_1+x_2+1$
把$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-5$代入上式得：
原式$=-5+2+1=-2$
【答案】
$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，整式的化简求值
【点评】
本题是基础应用类题型，利用根与系数的关系整体代入计算，可避免求解方程根的繁琐步骤，熟练掌握韦达定理的应用即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，无需计算出两根的具体值即可求解。首先思考解题步骤：第一步先将待求代数式$(x_1+1)(x_2+1)$展开化简，得到包含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；第二步根据给定的一元二次方程，利用根与系数的关系求出两根之和、两根之积；第三步将求得的数值代入化简后的代数式计算，即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1、x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
已知方程$x^2-2x-5=0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=-5$，因此：
$x_1+x_2=-\frac{-2}{1}=2$，$x_1x_2=\frac{-5}{1}=-5$
将待求式展开化简：
$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2+x_1+x_2+1$
把$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-5$代入上式得：
原式$=-5+2+1=-2$
【答案】
$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，整式的化简求值
【点评】
本题是基础应用类题型，利用根与系数的关系整体代入计算，可避免求解方程根的繁琐步骤，熟练掌握韦达定理的应用即可快速解题。
【难度系数】
0.8
13. 如图6,△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形。若OA：AD=2：3,则△ABC与△DEF的周长的比是。
图6 图7
图6 图7
答案
$\boldsymbol{2:5}$
解析
【分析】
本题考查位似图形的相关性质，解题思路如下：首先回忆位似图形的性质：位似图形属于相似图形，其相似比等于对应点到位似中心的距离之比，且相似图形的周长比等于相似比。接下来根据已知的OA:AD的比例关系，先求出A、D两点到位似中心O的距离之比，即两个三角形的相似比，最后根据周长比等于相似比即可得到结果。
【解析】
解：
∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形
∴△ABC∽△DEF，且相似比等于对应点到位似中心的距离之比，即$k=OA:OD$
已知$OA:AD=2:3$，设$OA=2a$（$a≠0$），则$AD=3a$
∴$OD=OA+AD=2a+3a=5a$
∴相似比$k=OA:OD=2a:5a=2:5$
又
∵相似三角形的周长比等于相似比
∴△ABC与△DEF的周长比为$2:5$
【答案】
$\boldsymbol{2:5}$
【知识点】
位似图形的性质，相似三角形周长性质，比例计算
【点评】
本题属于基础题，核心是对位似图形和相似三角形性质的应用，解题的易错点是容易误将OA:AD的比值直接当作相似比，只要明确相似比是对应点到位似中心的距离之比即可正确求解。
【难度系数】
0.8
本题考查位似图形的相关性质，解题思路如下：首先回忆位似图形的性质：位似图形属于相似图形，其相似比等于对应点到位似中心的距离之比，且相似图形的周长比等于相似比。接下来根据已知的OA:AD的比例关系，先求出A、D两点到位似中心O的距离之比，即两个三角形的相似比，最后根据周长比等于相似比即可得到结果。
【解析】
解：
∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形
∴△ABC∽△DEF，且相似比等于对应点到位似中心的距离之比，即$k=OA:OD$
已知$OA:AD=2:3$，设$OA=2a$（$a≠0$），则$AD=3a$
∴$OD=OA+AD=2a+3a=5a$
∴相似比$k=OA:OD=2a:5a=2:5$
又
∵相似三角形的周长比等于相似比
∴△ABC与△DEF的周长比为$2:5$
【答案】
$\boldsymbol{2:5}$
【知识点】
位似图形的性质，相似三角形周长性质，比例计算
【点评】
本题属于基础题，核心是对位似图形和相似三角形性质的应用，解题的易错点是容易误将OA:AD的比值直接当作相似比，只要明确相似比是对应点到位似中心的距离之比即可正确求解。
【难度系数】
0.8
14.如图7,O为$□ ABCD$的对角线AC和BD的交点,E为边BC的中点,连接AE交BD于点F,则$\frac{OF}{BD}$的值为。
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{6}}$
解析
【分析】
首先利用平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的性质，结合E是BC中点的条件，通过平行线得到两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例得到BF与FD的比值，再结合O是BD中点的性质，通过线段的和差计算求出OF与BD的比值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，对角线互相平分，即$OB=OD=\frac{1}{2}BD$。
∵E为BC的中点，
∴$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD$。
∵AD//BC，
∴∠ADF=∠EBF，∠DAF=∠BEF，
∴△ADF∽△EBF，
∴$\frac{BF}{FD}=\frac{BE}{AD}=\frac{1}{2}$。
设$BF=x$，则$FD=2x$，
∴$BD=BF+FD=3x$，
∴$OB=\frac{1}{2}BD=\frac{3x}{2}$，
∴$OF=OB-BF=\frac{3x}{2}-x=\frac{x}{2}$，
∴$\frac{OF}{BD}=\frac{\frac{x}{2}}{3x}=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{6}}$
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是通过平行四边形的对边平行关系找到相似三角形，利用相似的性质得到线段比例，再结合对角线中点的性质进行运算即可求解，考查学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
首先利用平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的性质，结合E是BC中点的条件，通过平行线得到两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例得到BF与FD的比值，再结合O是BD中点的性质，通过线段的和差计算求出OF与BD的比值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，对角线互相平分，即$OB=OD=\frac{1}{2}BD$。
∵E为BC的中点，
∴$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD$。
∵AD//BC，
∴∠ADF=∠EBF，∠DAF=∠BEF，
∴△ADF∽△EBF，
∴$\frac{BF}{FD}=\frac{BE}{AD}=\frac{1}{2}$。
设$BF=x$，则$FD=2x$，
∴$BD=BF+FD=3x$，
∴$OB=\frac{1}{2}BD=\frac{3x}{2}$，
∴$OF=OB-BF=\frac{3x}{2}-x=\frac{x}{2}$，
∴$\frac{OF}{BD}=\frac{\frac{x}{2}}{3x}=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{6}}$
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是通过平行四边形的对边平行关系找到相似三角形，利用相似的性质得到线段比例，再结合对角线中点的性质进行运算即可求解，考查学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
