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15. (2026·武汉)抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $（$ a,b,c $ 为常数，$ a＞0 $）经过(1,0),(0,2)两点。下列五个结论：
①抛物线不经过第三象限；
②将抛物线向左平移 $ m(m＞0) $ 个单位长度，若平移后的抛物线经过原点，则 $ m=1 $；
③$ b＜-2 $；
④若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 有两个不相等的整数根，则满足条件的整数 $ a $ 的值只有一个；
⑤对于函数 $ y = \frac{1}{ax^2 + bx + c} $，若 $ a = \frac{1}{2} $，则当 $ x＜1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。
其中正确的是（填写序号）。
①抛物线不经过第三象限；
②将抛物线向左平移 $ m(m＞0) $ 个单位长度，若平移后的抛物线经过原点，则 $ m=1 $；
③$ b＜-2 $；
④若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 有两个不相等的整数根，则满足条件的整数 $ a $ 的值只有一个；
⑤对于函数 $ y = \frac{1}{ax^2 + bx + c} $，若 $ a = \frac{1}{2} $，则当 $ x＜1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。
其中正确的是（填写序号）。
答案
解：
已知抛物线$y=ax^2+bx+c$过$(1,0)$和$(0,2)$，代入得：
$c=2$，$a+b+2=0$，即$b=-a-2$，且$a＞0$。
分析结论①
抛物线开口向上，$c=2＞0$，由韦达定理，方程$ax^2+bx+c=0$的两根$x_1,x_2$满足：
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{2}{a}＞0$，$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{a+2}{a}＞0$，两根均为正。
当$x＜0$时，$ax^2＞0$，$bx=(-a-2)x＞0$，故$y=ax^2+bx+2＞2＞0$，不存在$x＜0,y＜0$的点，抛物线不经过第三象限，①正确。
分析结论②
抛物线与$x$轴的两个交点为$(1,0)$和$(\frac{2}{a},0)$，向左平移$m$个单位后过原点，只需将任意一个正根平移到原点，即$m=1$或$m=\frac{2}{a}$，$m$不一定等于1，②错误。
分析结论③
由$b=-a-2$，$a＞0$得$-a＜0$，故$b=-a-2＜-2$，③正确。
分析结论④
已知方程一个根为1，另一个根为$\frac{2}{a}$，要求两根为不相等的整数，则$\frac{2}{a}$为不等于1的正整数。
$a$为正整数时，仅当$\frac{2}{a}=2$即$a=1$满足条件，不存在其他正整数$a$使$\frac{2}{a}$为不等于1的整数，故满足条件的整数$a$只有1个，④正确。
分析结论⑤
当$a=\frac{1}{2}$时，$b=-\frac{1}{2}-2=-\frac{5}{2}$，则$u=ax^2+bx+c=\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{2}x+2$，该二次函数开口向上，对称轴为$x=\frac{5}{2}$。
当$x＜1$时，$u＞0$，且$u$随$x$的增大而减小，故$y=\frac{1}{u}$随$x$的增大而增大，⑤正确。
综上，正确的是$\boldsymbol{①③④⑤}$。
已知抛物线$y=ax^2+bx+c$过$(1,0)$和$(0,2)$，代入得：
$c=2$，$a+b+2=0$，即$b=-a-2$，且$a＞0$。
分析结论①
抛物线开口向上，$c=2＞0$，由韦达定理，方程$ax^2+bx+c=0$的两根$x_1,x_2$满足：
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{2}{a}＞0$，$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{a+2}{a}＞0$，两根均为正。
当$x＜0$时，$ax^2＞0$，$bx=(-a-2)x＞0$，故$y=ax^2+bx+2＞2＞0$，不存在$x＜0,y＜0$的点，抛物线不经过第三象限，①正确。
分析结论②
抛物线与$x$轴的两个交点为$(1,0)$和$(\frac{2}{a},0)$，向左平移$m$个单位后过原点，只需将任意一个正根平移到原点，即$m=1$或$m=\frac{2}{a}$，$m$不一定等于1，②错误。
分析结论③
由$b=-a-2$，$a＞0$得$-a＜0$，故$b=-a-2＜-2$，③正确。
分析结论④
已知方程一个根为1，另一个根为$\frac{2}{a}$，要求两根为不相等的整数，则$\frac{2}{a}$为不等于1的正整数。
$a$为正整数时，仅当$\frac{2}{a}=2$即$a=1$满足条件，不存在其他正整数$a$使$\frac{2}{a}$为不等于1的整数，故满足条件的整数$a$只有1个，④正确。
分析结论⑤
当$a=\frac{1}{2}$时，$b=-\frac{1}{2}-2=-\frac{5}{2}$，则$u=ax^2+bx+c=\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{2}x+2$，该二次函数开口向上，对称轴为$x=\frac{5}{2}$。
当$x＜1$时，$u＞0$，且$u$随$x$的增大而减小，故$y=\frac{1}{u}$随$x$的增大而增大，⑤正确。
综上，正确的是$\boldsymbol{①③④⑤}$。
解析
【分析】
首先将已知的两个点代入抛物线解析式，先求出参数$c$的值以及$b$与$a$的关系式，结合$a＞0$的前提条件，再逐个分析5个结论：①通过判断抛物线的开口方向、与坐标轴交点特征、$x＜0$时的函数值符号，确定抛物线是否经过第三象限；②根据抛物线与$x$轴的两个交点坐标，结合平移的性质，判断平移后过原点时$m$的取值是否唯一；③直接由$b$与$a$的关系式结合$a＞0$推导$b$的取值范围；④利用一元二次方程根与系数的关系求出另一个根，结合整数根的条件确定整数$a$的个数；⑤先代入$a$的值得到具体的二次函数解析式，再根据复合函数的增减性规律判断结论是否正确。
【解析】
已知抛物线$y = ax^2 + bx + c$经过$(1,0)$、$(0,2)$两点，将两点代入解析式：
把$(0,2)$代入得$c=2$；把$(1,0)$代入得$a + b + 2 = 0$，即$b = -a - 2$，已知$a＞0$。
1. 分析结论①：
抛物线开口向上（$a＞0$），与$y$轴交于$(0,2)$（正半轴）。由一元二次方程根与系数的关系，方程$ax^2 + bx + c = 0$的两根$x_1、x_2$满足$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{2}{a}＞0$，$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{a+2}{a}＞0$，因此两个根均为正实数。当$x＜0$时，$ax^2＞0$，$bx=(-a-2)x＞0$，所以$y=ax^2+bx+2＞2＞0$，即$x＜0$时函数值恒正，抛物线不会经过第三象限，①正确。
2. 分析结论②：
抛物线与$x$轴的两个交点为$(1,0)$和$(\frac{2}{a},0)$，向左平移$m(m＞0)$个单位后经过原点，即只需将任意一个正交点平移到原点位置，因此$m=1$或$m=\frac{2}{a}$，$m$不一定等于1，②错误。
3. 分析结论③：
由$b=-a-2$，$a＞0$，可得$-a＜0$，因此$b=-a-2 ＜ 0 - 2 = -2$，③正确。
4. 分析结论④：
已知方程一个根为1，另一个根为$\frac{2}{a}$，要求方程有两个不相等的整数根，则$\frac{2}{a}$为不等于1的正整数。$a$为正整数时，仅当$\frac{2}{a}=2$即$a=1$满足条件，不存在其他正整数$a$使$\frac{2}{a}$为不等于1的整数，因此满足条件的整数$a$只有1个，④正确。
5. 分析结论⑤：
当$a=\frac{1}{2}$时，$b=-\frac{1}{2}-2=-\frac{5}{2}$，则二次函数$u=ax^2+bx+c=\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{2}x+2$，该函数开口向上，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{5}{2}$。当$x＜1$时，在对称轴左侧，$u$随$x$的增大而减小，且此时$u＞0$，因此函数$y=\frac{1}{u}$随$x$的增大而增大，⑤正确。
【答案】
$\boldsymbol{①③④⑤}$
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数的平移，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质，需要结合参数关系逐一推导验证结论，注重对逻辑推理、数形结合思想的考查，易错点是忽略抛物线与$x$轴的两个交点导致错判结论②，或忽略复合函数的增减性规律错判结论⑤。
【难度系数】
0.4
首先将已知的两个点代入抛物线解析式，先求出参数$c$的值以及$b$与$a$的关系式，结合$a＞0$的前提条件，再逐个分析5个结论：①通过判断抛物线的开口方向、与坐标轴交点特征、$x＜0$时的函数值符号，确定抛物线是否经过第三象限；②根据抛物线与$x$轴的两个交点坐标，结合平移的性质，判断平移后过原点时$m$的取值是否唯一；③直接由$b$与$a$的关系式结合$a＞0$推导$b$的取值范围；④利用一元二次方程根与系数的关系求出另一个根，结合整数根的条件确定整数$a$的个数；⑤先代入$a$的值得到具体的二次函数解析式，再根据复合函数的增减性规律判断结论是否正确。
【解析】
已知抛物线$y = ax^2 + bx + c$经过$(1,0)$、$(0,2)$两点，将两点代入解析式：
把$(0,2)$代入得$c=2$；把$(1,0)$代入得$a + b + 2 = 0$，即$b = -a - 2$，已知$a＞0$。
1. 分析结论①：
抛物线开口向上（$a＞0$），与$y$轴交于$(0,2)$（正半轴）。由一元二次方程根与系数的关系，方程$ax^2 + bx + c = 0$的两根$x_1、x_2$满足$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{2}{a}＞0$，$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{a+2}{a}＞0$，因此两个根均为正实数。当$x＜0$时，$ax^2＞0$，$bx=(-a-2)x＞0$，所以$y=ax^2+bx+2＞2＞0$，即$x＜0$时函数值恒正，抛物线不会经过第三象限，①正确。
2. 分析结论②：
抛物线与$x$轴的两个交点为$(1,0)$和$(\frac{2}{a},0)$，向左平移$m(m＞0)$个单位后经过原点，即只需将任意一个正交点平移到原点位置，因此$m=1$或$m=\frac{2}{a}$，$m$不一定等于1，②错误。
3. 分析结论③：
由$b=-a-2$，$a＞0$，可得$-a＜0$，因此$b=-a-2 ＜ 0 - 2 = -2$，③正确。
4. 分析结论④：
已知方程一个根为1，另一个根为$\frac{2}{a}$，要求方程有两个不相等的整数根，则$\frac{2}{a}$为不等于1的正整数。$a$为正整数时，仅当$\frac{2}{a}=2$即$a=1$满足条件，不存在其他正整数$a$使$\frac{2}{a}$为不等于1的整数，因此满足条件的整数$a$只有1个，④正确。
5. 分析结论⑤：
当$a=\frac{1}{2}$时，$b=-\frac{1}{2}-2=-\frac{5}{2}$，则二次函数$u=ax^2+bx+c=\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{2}x+2$，该函数开口向上，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{5}{2}$。当$x＜1$时，在对称轴左侧，$u$随$x$的增大而减小，且此时$u＞0$，因此函数$y=\frac{1}{u}$随$x$的增大而增大，⑤正确。
【答案】
$\boldsymbol{①③④⑤}$
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数的平移，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质，需要结合参数关系逐一推导验证结论，注重对逻辑推理、数形结合思想的考查，易错点是忽略抛物线与$x$轴的两个交点导致错判结论②，或忽略复合函数的增减性规律错判结论⑤。
【难度系数】
0.4
三、解答题(共75分)
16. (8分)解方程:(1)(2024·滨州)$x^2 -4x=0$；
(2)$x^2 -5x +1=0$。
16. (8分)解方程:(1)(2024·滨州)$x^2 -4x=0$；
(2)$x^2 -5x +1=0$。
答案
解：
(1) 对原方程因式分解，得
$x(x - 4) = 0$
则$x=0$或$x-4=0$
解得$x_1=0$，$x_2=4$。
(2) 在方程$x^2 -5x +1=0$中，$a=1$，$b=-5$，$c=1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×1×1 = 21 ＞ 0$，
由一元二次方程求根公式得
$x = \frac{5\pm\sqrt{21}}{2×1}$
解得$x_1=\frac{5+\sqrt{21}}{2}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$。
(1) 对原方程因式分解，得
$x(x - 4) = 0$
则$x=0$或$x-4=0$
解得$x_1=0$，$x_2=4$。
(2) 在方程$x^2 -5x +1=0$中，$a=1$，$b=-5$，$c=1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×1×1 = 21 ＞ 0$，
由一元二次方程求根公式得
$x = \frac{5\pm\sqrt{21}}{2×1}$
解得$x_1=\frac{5+\sqrt{21}}{2}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$。
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，需根据方程的特征选择合适的解法：
(1) 观察第一个方程，左侧没有常数项，可优先采用因式分解法求解：先提取公因式将左侧转化为两个一次式的乘积，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，转化为两个一元一次方程求解即可。
(2) 观察第二个方程，左侧无法直接因式分解，可采用通用的公式法求解：先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再计算根的判别式Δ判断方程是否有实根，若Δ≥0，代入求根公式即可得到方程的根。
【解析】
(1) 对原方程$x^2-4x=0$左侧提取公因式因式分解，得：
$x(x - 4) = 0$
根据乘积为0的性质可得$x=0$或$x-4=0$
分别求解得：$x_1=0$，$x_2=4$。
(2) 对于方程$x^2 -5x +1=0$，先确定各项系数：$a=1$，$b=-5$，$c=1$，
先计算根的判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×1×1 = 21 ＞ 0$，说明方程有两个不相等的实数根，
代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x = \frac{5\pm\sqrt{21}}{2×1}$
解得：$x_1=\frac{5+\sqrt{21}}{2}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=0$，$x_2=4$；
(2) $x_1=\frac{5+\sqrt{21}}{2}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$。
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；根的判别式应用
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础考查题，解题的关键是根据方程的结构特征灵活选择简便的解法，需熟练掌握因式分解的方法、求根公式以及判别式的计算规则，避免出现系数符号代错、公式记错的失误。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的求解，需根据方程的特征选择合适的解法：
(1) 观察第一个方程，左侧没有常数项，可优先采用因式分解法求解：先提取公因式将左侧转化为两个一次式的乘积，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，转化为两个一元一次方程求解即可。
(2) 观察第二个方程，左侧无法直接因式分解，可采用通用的公式法求解：先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再计算根的判别式Δ判断方程是否有实根，若Δ≥0，代入求根公式即可得到方程的根。
【解析】
(1) 对原方程$x^2-4x=0$左侧提取公因式因式分解，得：
$x(x - 4) = 0$
根据乘积为0的性质可得$x=0$或$x-4=0$
分别求解得：$x_1=0$，$x_2=4$。
(2) 对于方程$x^2 -5x +1=0$，先确定各项系数：$a=1$，$b=-5$，$c=1$，
先计算根的判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×1×1 = 21 ＞ 0$，说明方程有两个不相等的实数根，
代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x = \frac{5\pm\sqrt{21}}{2×1}$
解得：$x_1=\frac{5+\sqrt{21}}{2}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=0$，$x_2=4$；
(2) $x_1=\frac{5+\sqrt{21}}{2}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$。
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；根的判别式应用
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础考查题，解题的关键是根据方程的结构特征灵活选择简便的解法，需熟练掌握因式分解的方法、求根公式以及判别式的计算规则，避免出现系数符号代错、公式记错的失误。
【难度系数】
0.8
17. (9分)图8是一个几何体的三视图,请写出该几何体的形状,并根据图中数据求出它的侧面积。
答案
解：该几何体是底面为菱形的直四棱柱。
由三视图可知，底面菱形的两条对角线长分别为4 cm和3 cm，直四棱柱的高为8 cm。
根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可得底面菱形的边长为：
$\sqrt{(\frac{4}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{2^2 + 1.5^2} = 2.5\ \mathrm{cm}$
该直四棱柱的侧面积为4个全等矩形的面积之和：
$4 × 2.5 × 8 = 80\ \mathrm{cm}^2$
答：该几何体的侧面积为$80\ \mathrm{cm}^2$。
由三视图可知，底面菱形的两条对角线长分别为4 cm和3 cm，直四棱柱的高为8 cm。
根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可得底面菱形的边长为：
$\sqrt{(\frac{4}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{2^2 + 1.5^2} = 2.5\ \mathrm{cm}$
该直四棱柱的侧面积为4个全等矩形的面积之和：
$4 × 2.5 × 8 = 80\ \mathrm{cm}^2$
答：该几何体的侧面积为$80\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
首先根据三视图特征判断几何体：主视图、左视图均为矩形，说明该几何体是柱体，俯视图为菱形，说明柱体底面是菱形，因此该几何体是底面为菱形的直四棱柱。要求它的侧面积，需明确直四棱柱的侧面是4个全等的矩形，矩形的一边为棱柱的高，另一边为底面菱形的边长。因此先根据三视图得到底面菱形的两条对角线长分别为4cm、3cm，利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形边长，最后计算4个矩形的面积和即可得到侧面积。
【解析】
解：该几何体是底面为菱形的直四棱柱。
由三视图可知，底面菱形的两条对角线长分别为4 cm和3 cm，直四棱柱的高为8 cm。
根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可得底面菱形的边长为：
$\sqrt{(\frac{4}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{2^2 + 1.5^2} = 2.5\ \mathrm{cm}$
直四棱柱的侧面积为4个全等矩形的面积之和：
$S_{\mathrm{侧}} = 4 × 2.5 × 8 = 80\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
该几何体是底面为菱形的直四棱柱，侧面积为$\boxed{80\ \mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
1.由三视图判断几何体
2.菱形的性质
3.直棱柱侧面积计算
【点评】
本题是三视图与几何体计算的结合题型，解题关键是能将三视图中的数据对应到几何体的棱长，考查学生的空间想象能力和基础几何计算能力，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
首先根据三视图特征判断几何体：主视图、左视图均为矩形，说明该几何体是柱体，俯视图为菱形，说明柱体底面是菱形，因此该几何体是底面为菱形的直四棱柱。要求它的侧面积，需明确直四棱柱的侧面是4个全等的矩形，矩形的一边为棱柱的高，另一边为底面菱形的边长。因此先根据三视图得到底面菱形的两条对角线长分别为4cm、3cm，利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形边长，最后计算4个矩形的面积和即可得到侧面积。
【解析】
解：该几何体是底面为菱形的直四棱柱。
由三视图可知，底面菱形的两条对角线长分别为4 cm和3 cm，直四棱柱的高为8 cm。
根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可得底面菱形的边长为：
$\sqrt{(\frac{4}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{2^2 + 1.5^2} = 2.5\ \mathrm{cm}$
直四棱柱的侧面积为4个全等矩形的面积之和：
$S_{\mathrm{侧}} = 4 × 2.5 × 8 = 80\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
该几何体是底面为菱形的直四棱柱，侧面积为$\boxed{80\ \mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
1.由三视图判断几何体
2.菱形的性质
3.直棱柱侧面积计算
【点评】
本题是三视图与几何体计算的结合题型，解题关键是能将三视图中的数据对应到几何体的棱长，考查学生的空间想象能力和基础几何计算能力，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
