19. (13分)图12①是某长征主题公园的雕塑,将其抽象成如图12②所示的示意图,已知AB//CD//FG,A,D,H,G四点在同一直线上,测得∠FEC=∠A=72.9°,AD=1.6 m,EF=6.2 m。
(1)求证:四边形DEFG为平行四边形;
(2)求雕塑的高(即点G到AB的距离)。
(结果保留到小数点后一位。参考数据:sin72.9°≈0.96,cos72.9°≈0.29,tan72.9°≈3.25)

(1) 证明：
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ A = ∠ EDC$。
∵ $∠ FEC = ∠ A = 72.9°$，
∴ $∠ FEC = ∠ EDC$，
∴ $EF// DG$。
又∵ $FG// CD$，即$FG// DE$，
∴ 四边形$DEFG$两组对边分别平行，
∴ 四边形$DEFG$为平行四边形。
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(2) 解：
过点$G$作$GM⊥ AB$，垂足为$M$。
∵ 四边形$DEFG$为平行四边形，
∴ $DG = EF = 6.2\ \mathrm{m}$。
∵ $A,D,H,G$四点在同一直线上，
∴ $AG = AD + DG = 1.6 + 6.2 = 7.8\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AGM$中，$∠ GMA = 90°$，$∠ A=72.9°$，
由$\sin A = \frac{GM}{AG}$得：
$GM = AG· \sin72.9° \approx 7.8×0.96 = 7.488 \approx 7.5\ \mathrm{m}$。
答：雕塑的高约为$7.5\ \mathrm{m}$。

【分析】
(1) 要证明四边形DEFG是平行四边形，首先回忆平行四边形的判定方法，题中已知$FG//CD$，即$FG//DE$，因此只需证明另一组对边$EF//DG$即可。首先利用$AB//CD$的平行线性质，可得$∠A=∠EDC$，结合已知$∠FEC=∠A$，等量代换得到$∠FEC=∠EDC$，根据同位角相等两直线平行，可推出$EF//DG$，两组对边分别平行即可判定平行四边形。
(2) 求点G到AB的距离，需过G作AB的垂线GM，构造直角三角形AGM。首先利用(1)中平行四边形的对边相等性质，得到$DG=EF$，结合AD的长度可算出AG的总长度；再在$Rt△AGM$中，利用$∠A$的正弦值的定义，即可求出GM的长度，也就是雕塑的高。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ A = ∠ EDC$。
∵ $∠ FEC = ∠ A = 72.9°$，
∴ $∠ FEC = ∠ EDC$，
∴ $EF// DG$。
又
∵ $FG// CD$，即$FG// DE$，
∴ 四边形$DEFG$两组对边分别平行，
∴ 四边形$DEFG$为平行四边形。
(2) 解：
过点$G$作$GM⊥ AB$，垂足为$M$。
∵ 四边形$DEFG$为平行四边形，
∴ $DG = EF = 6.2\ \mathrm{m}$。
∵ $A,D,H,G$四点在同一直线上，
∴ $AG = AD + DG = 1.6 + 6.2 = 7.8\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AGM$中，$∠ GMA = 90°$，$∠ A=72.9°$，
由$\sin A = \frac{GM}{AG}$得：
$GM = AG· \sin72.9° \approx 7.8×0.96 = 7.488 \approx 7.5\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 四边形DEFG为平行四边形，证明成立；
(2) 雕塑的高约为$\boxed{7.5\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
平行四边形的判定；平行线的性质；解直角三角形
【点评】
本题结合实际生活场景出题，将几何证明与三角函数的实际应用相结合，既考查了基础的几何性质与判定定理，也考查了三角函数在实际求高问题中的应用，解题时要注意前后小问的关联，第一问的结论是第二问计算的关键。
【难度系数】
0.7