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18. (12分)(2024·安徽)科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验,如图11,光线自点B处发出,经水面点E折射到池底点A处。已知BE与水平线的夹角$α=36.9°$,点B到水面的距离$BC=1.20\ \mathrm{m}$,点A处水深为$1.20\ \mathrm{m}$,到池壁的水平距离$AD=2.50\ \mathrm{m}$。点B,C,D在同一条竖直线上,所有点都在同一竖直平面内。记入射角为$β$,折射角为$\gamma$,求$\frac{\sinβ}{\sin\gamma}$的值。(精确到0.1。参考数据:$\sin36.9°\approx0.60$,$\cos36.9°\approx0.80$,$\tan36.9°\approx0.75$)
答案
解：
在$Rt△ BCE$中，$∠ C=90°$，$∠ BEC=α=36.9°$，$BC=1.20\ \mathrm{m}$。
由$\tanα=\frac{BC}{CE}$，得：
$CE=\frac{BC}{\tan36.9°}\approx\frac{1.20}{0.75}=1.60\ \mathrm{m}$
因为法线垂直于水面，$BC$为竖直线，故$BC//$法线，因此$β=90°-α$，可得：
$\sinβ=\sin(90°-α)=\cos36.9°\approx0.80$
由题意，$AD⊥ CD$，水深为$1.20\ \mathrm{m}$，过$E$作$EF⊥ AD$于点$F$，则四边形$CDEF$为矩形，$EF=1.20\ \mathrm{m}$，$DF=CE=1.60\ \mathrm{m}$。
因此：
$AF=AD-DF=2.50-1.60=0.90\ \mathrm{m}$
在$Rt△ AEF$中，$∠ AFE=90°$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AF^2+EF^2}=\sqrt{0.90^2+1.20^2}=1.50\ \mathrm{m}$
折射角$\gamma$为$AE$与竖直法线的夹角，因此：
$\sin\gamma=\frac{AF}{AE}=\frac{0.90}{1.50}=0.60$
综上：
$\frac{\sinβ}{\sin\gamma}\approx\frac{0.80}{0.60}\approx1.3$
答：$\frac{\sinβ}{\sin\gamma}$的值约为$1.3$。
在$Rt△ BCE$中，$∠ C=90°$，$∠ BEC=α=36.9°$，$BC=1.20\ \mathrm{m}$。
由$\tanα=\frac{BC}{CE}$，得：
$CE=\frac{BC}{\tan36.9°}\approx\frac{1.20}{0.75}=1.60\ \mathrm{m}$
因为法线垂直于水面，$BC$为竖直线，故$BC//$法线，因此$β=90°-α$，可得：
$\sinβ=\sin(90°-α)=\cos36.9°\approx0.80$
由题意，$AD⊥ CD$，水深为$1.20\ \mathrm{m}$，过$E$作$EF⊥ AD$于点$F$，则四边形$CDEF$为矩形，$EF=1.20\ \mathrm{m}$，$DF=CE=1.60\ \mathrm{m}$。
因此：
$AF=AD-DF=2.50-1.60=0.90\ \mathrm{m}$
在$Rt△ AEF$中，$∠ AFE=90°$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AF^2+EF^2}=\sqrt{0.90^2+1.20^2}=1.50\ \mathrm{m}$
折射角$\gamma$为$AE$与竖直法线的夹角，因此：
$\sin\gamma=\frac{AF}{AE}=\frac{0.90}{1.50}=0.60$
综上：
$\frac{\sinβ}{\sin\gamma}\approx\frac{0.80}{0.60}\approx1.3$
答：$\frac{\sinβ}{\sin\gamma}$的值约为$1.3$。
解析
【分析】
要计算$\frac{\sinβ}{\sinγ}$的值，需分别求出$\sinβ$和$\sinγ$：①先处理入射角β：β是入射光线BE与竖直法线的夹角，结合已知α的角度可推导β与α的关系得到$\sinβ$，同时先在$Rt△BCE$中利用锐角三角函数求出CE的长度，为后续计算做铺垫；②再处理折射角γ：γ是折射光线AE与竖直法线的夹角，要求$\sinγ$需先求出水平线段AF和斜边AE的长度，结合CE的长度先求出AF，再用勾股定理求出AE即可得到$\sinγ$，最后代入计算两者的比值即可。
【解析】
在$Rt△ BCE$中，$∠ C=90°$，$∠ BEC=α=36.9°$，$BC=1.20\ \mathrm{m}$。
由$\tanα=\frac{BC}{CE}$，得：
$CE=\frac{BC}{\tan36.9°}\approx\frac{1.20}{0.75}=1.60\ \mathrm{m}$
因为法线垂直于水面，$BC$为竖直线，故$BC//$法线，因此$β=90°-α$，可得：
$\sinβ=\sin(90°-α)=\cos36.9°\approx0.80$
由题意，$AD⊥ CD$，水深为$1.20\ \mathrm{m}$，过$E$作$EF⊥ AD$于点$F$，则四边形$CDEF$为矩形，$EF=1.20\ \mathrm{m}$，$DF=CE=1.60\ \mathrm{m}$。
因此：
$AF=AD-DF=2.50-1.60=0.90\ \mathrm{m}$
在$Rt△ AEF$中，$∠ AFE=90°$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AF^2+EF^2}=\sqrt{0.90^2+1.20^2}=1.50\ \mathrm{m}$
折射角$\gamma$为$AE$与竖直法线的夹角，因此：
$\sin\gamma=\frac{AF}{AE}=\frac{0.90}{1.50}=0.60$
综上：
$\frac{\sinβ}{\sin\gamma}\approx\frac{0.80}{0.60}\approx1.3$
【答案】
$1.3$
【知识点】
锐角三角函数的应用；勾股定理；直角三角形性质
【点评】
本题结合光的折射的实际情境，考查直角三角形边角关系的应用，解题的关键是准确理解入射角、折射角的定义，将实际问题转化为直角三角形的线段、角度计算问题，计算时可结合给出的参考数据简化运算。
【难度系数】
0.6
要计算$\frac{\sinβ}{\sinγ}$的值，需分别求出$\sinβ$和$\sinγ$：①先处理入射角β：β是入射光线BE与竖直法线的夹角，结合已知α的角度可推导β与α的关系得到$\sinβ$，同时先在$Rt△BCE$中利用锐角三角函数求出CE的长度，为后续计算做铺垫；②再处理折射角γ：γ是折射光线AE与竖直法线的夹角，要求$\sinγ$需先求出水平线段AF和斜边AE的长度，结合CE的长度先求出AF，再用勾股定理求出AE即可得到$\sinγ$，最后代入计算两者的比值即可。
【解析】
在$Rt△ BCE$中，$∠ C=90°$，$∠ BEC=α=36.9°$，$BC=1.20\ \mathrm{m}$。
由$\tanα=\frac{BC}{CE}$，得：
$CE=\frac{BC}{\tan36.9°}\approx\frac{1.20}{0.75}=1.60\ \mathrm{m}$
因为法线垂直于水面，$BC$为竖直线，故$BC//$法线，因此$β=90°-α$，可得：
$\sinβ=\sin(90°-α)=\cos36.9°\approx0.80$
由题意，$AD⊥ CD$，水深为$1.20\ \mathrm{m}$，过$E$作$EF⊥ AD$于点$F$，则四边形$CDEF$为矩形，$EF=1.20\ \mathrm{m}$，$DF=CE=1.60\ \mathrm{m}$。
因此：
$AF=AD-DF=2.50-1.60=0.90\ \mathrm{m}$
在$Rt△ AEF$中，$∠ AFE=90°$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AF^2+EF^2}=\sqrt{0.90^2+1.20^2}=1.50\ \mathrm{m}$
折射角$\gamma$为$AE$与竖直法线的夹角，因此：
$\sin\gamma=\frac{AF}{AE}=\frac{0.90}{1.50}=0.60$
综上：
$\frac{\sinβ}{\sin\gamma}\approx\frac{0.80}{0.60}\approx1.3$
【答案】
$1.3$
【知识点】
锐角三角函数的应用；勾股定理；直角三角形性质
【点评】
本题结合光的折射的实际情境，考查直角三角形边角关系的应用，解题的关键是准确理解入射角、折射角的定义，将实际问题转化为直角三角形的线段、角度计算问题，计算时可结合给出的参考数据简化运算。
【难度系数】
0.6
