17.(12分)一副直角三角板如图10所示放置,点C在FD的延长线上,AB//CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长。

解：
过点B作BG⊥FC，垂足为G。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，
∴ ∠ABC=30°，
$BC = AC · \tan60° = 10 × \sqrt{3} = 10\sqrt{3}$。
∵ AB//CF，
∴ ∠BCG = ∠ABC = 30°。
在Rt△BGC中，∠BGC=90°，
$BG = BC · \sin30° = 10\sqrt{3} × \frac{1}{2} = 5\sqrt{3}$，
$CG = BC · \cos30° = 10\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 15$。
在Rt△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，
∴ ∠EDF = 45°，
在Rt△BGD中，∠BDG=45°，可得$DG = BG = 5\sqrt{3}$。
∵ $CD = CG - DG$，
∴ $CD = 15 - 5\sqrt{3}$。
答：CD的长为$15-5\sqrt{3}$。

【分析】
要求CD的长，观察图形可将CD转化为CG与DG的差，因此先过点B作BG⊥FC构造直角三角形辅助求解。第一步先在Rt△ABC中，利用∠A的三角函数值求出BC的长度；第二步根据AB//CF的平行线性质，得到内错角∠BCG=∠ABC，再在Rt△BGC中利用特殊角的三角函数值求出BG和CG的长度；第三步根据等腰直角三角板的角度特征，可知∠EDF=45°，因此Rt△BGD为等腰直角三角形，得到DG=BG；最后代入CD=CG-DG即可算出结果。
【解析】
过点B作BG⊥FC，垂足为G。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，
∴ ∠ABC=30°，
$BC = AC · \tan60° = 10 × \sqrt{3} = 10\sqrt{3}$。
∵ AB//CF，
∴ ∠BCG = ∠ABC = 30°。
在Rt△BGC中，∠BGC=90°，
$BG = BC · \sin30° = 10\sqrt{3} × \frac{1}{2} = 5\sqrt{3}$，
$CG = BC · \cos30° = 10\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 15$。
在Rt△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，
∴ ∠EDF = 45°，
在Rt△BGD中，∠BGD=90°，∠BDG=45°，可得$DG = BG = 5\sqrt{3}$。
∵ $CD = CG - DG$，
∴ $CD = 15 - 5\sqrt{3}$。
【答案】
$15-5\sqrt{3}$
【知识点】
解直角三角形，平行线的性质，特殊角的三角函数值
【点评】
本题以常见直角三角板为载体，综合考查几何线段长度的求解，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，结合平行线性质和特殊角三角函数值逐步推导线段长度，对学生的几何分析能力和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6