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13. (2024·无锡)如图8,平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距m米,在建筑物的顶部A观测塔顶C的仰角为α,塔底D的俯角为β,则铁塔的高度为米。(用含m,α,β的式子表示)
答案
$\boldsymbol{m(\tanα + \tanβ)}$
解析
【分析】
要计算铁塔CD的高度，可通过作辅助线将问题转化为直角三角形中的边角计算问题：首先过点A作AE垂直CD于点E，构造出两个直角三角形Rt△ACE和Rt△ADE，同时四边形ABDE为矩形，可得AE的长度等于两建筑物的水平距离m；再根据仰角、俯角的定义，分别在两个直角三角形中利用正切函数求出CE、DE的长度，最后将两段长度相加即可得到铁塔CD的总高度。
【解析】
过点A作AE⊥CD，垂足为E。
∵ AB⊥BD，CD⊥BD，AE⊥CD，
∴ 四边形ABDE是矩形，
∴ AE = BD = m米。
在Rt△ACE中，∠CAE = α，
由正切的定义可得：$\tanα = \frac{CE}{AE}$，
∴ $CE = AE · \tanα = m\tanα$。
在Rt△ADE中，∠EAD = β，
由正切的定义可得：$\tanβ = \frac{DE}{AE}$，
∴ $DE = AE · \tanβ = m\tanβ$。
∴ 铁塔高度$CD = CE + DE = m\tanα + m\tanβ = m(\tanα + \tanβ)$米。
【答案】
$m(\tanα + \tanβ)$
【知识点】
解直角三角形的应用（仰角俯角）、矩形的性质、锐角三角函数定义
【点评】
本题是仰角俯角类的基础应用题，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，将实际场景中的线段、角度关系转化为直角三角形的边角关系，结合三角函数即可快速求解，掌握辅助线的构造方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
要计算铁塔CD的高度，可通过作辅助线将问题转化为直角三角形中的边角计算问题：首先过点A作AE垂直CD于点E，构造出两个直角三角形Rt△ACE和Rt△ADE，同时四边形ABDE为矩形，可得AE的长度等于两建筑物的水平距离m；再根据仰角、俯角的定义，分别在两个直角三角形中利用正切函数求出CE、DE的长度，最后将两段长度相加即可得到铁塔CD的总高度。
【解析】
过点A作AE⊥CD，垂足为E。
∵ AB⊥BD，CD⊥BD，AE⊥CD，
∴ 四边形ABDE是矩形，
∴ AE = BD = m米。
在Rt△ACE中，∠CAE = α，
由正切的定义可得：$\tanα = \frac{CE}{AE}$，
∴ $CE = AE · \tanα = m\tanα$。
在Rt△ADE中，∠EAD = β，
由正切的定义可得：$\tanβ = \frac{DE}{AE}$，
∴ $DE = AE · \tanβ = m\tanβ$。
∴ 铁塔高度$CD = CE + DE = m\tanα + m\tanβ = m(\tanα + \tanβ)$米。
【答案】
$m(\tanα + \tanβ)$
【知识点】
解直角三角形的应用（仰角俯角）、矩形的性质、锐角三角函数定义
【点评】
本题是仰角俯角类的基础应用题，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，将实际场景中的线段、角度关系转化为直角三角形的边角关系，结合三角函数即可快速求解，掌握辅助线的构造方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
14.(2024·江西)将图9①所示的七巧板拼成图9②所示的四边形ABCD,连接AC,则$\tan∠ CAB=$。
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
要求$\tan∠ CAB$，根据锐角正切的定义，需将$∠ CAB$置于直角三角形中，求出其对边与邻边的比值。我们可以设七巧板中最小的等腰直角三角形的直角边长为1，结合七巧板各块的边长关系，过点C作AB所在直线的垂线，构造包含$∠ CAB$的直角三角形，进而计算边长比值即可。
【解析】
设七巧板中最小的等腰直角三角形的直角边长为1，过点C作$CE⊥ AB$，交AB的延长线于点E。
根据等腰直角三角形边长关系和七巧板的拼接特征可得：
最小等腰直角三角形的斜边长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
其中$∠ CAB$的对边$CE=2\sqrt{2}$，邻边$AE=\sqrt{2}$，
根据正切的定义：
$\tan∠ CAB=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{CE}{AE}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2$
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
正切的定义，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合七巧板考查锐角三角函数的计算，解题核心是通过合理设参数、构造直角三角形确定对应边的长度，渗透了数形结合的思想，同时需要学生熟悉七巧板各组成部分的边长关系。
【难度系数】
0.6
要求$\tan∠ CAB$，根据锐角正切的定义，需将$∠ CAB$置于直角三角形中，求出其对边与邻边的比值。我们可以设七巧板中最小的等腰直角三角形的直角边长为1，结合七巧板各块的边长关系，过点C作AB所在直线的垂线，构造包含$∠ CAB$的直角三角形，进而计算边长比值即可。
【解析】
设七巧板中最小的等腰直角三角形的直角边长为1，过点C作$CE⊥ AB$，交AB的延长线于点E。
根据等腰直角三角形边长关系和七巧板的拼接特征可得：
最小等腰直角三角形的斜边长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
其中$∠ CAB$的对边$CE=2\sqrt{2}$，邻边$AE=\sqrt{2}$，
根据正切的定义：
$\tan∠ CAB=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{CE}{AE}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2$
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
正切的定义，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合七巧板考查锐角三角函数的计算，解题核心是通过合理设参数、构造直角三角形确定对应边的长度，渗透了数形结合的思想，同时需要学生熟悉七巧板各组成部分的边长关系。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共58分)
15. (10分)计算:$3\sin30°-\sqrt{3}\cos30°+2\sin^245°-(\tan45°-\sqrt{π})^0$。
15. (10分)计算:$3\sin30°-\sqrt{3}\cos30°+2\sin^245°-(\tan45°-\sqrt{π})^0$。
答案
解：
原式$=3×\frac{1}{2}-\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}+2×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - 1$
$=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}+2×\frac{1}{2}-1$
$=0 + 1 - 1$
$=0$
原式$=3×\frac{1}{2}-\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}+2×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - 1$
$=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}+2×\frac{1}{2}-1$
$=0 + 1 - 1$
$=0$
解析
【分析】
本题是三角函数与实数运算结合的基础计算题，解题思路如下：首先需要回忆两个核心考点：一是30°、45°等常用特殊角的三角函数值，二是非零实数的零次幂等于1的运算规则；其次遵循实数混合运算顺序，先代换出所有三角函数和零指数幂的对应数值，再按先乘方、再乘除、最后加减的顺序逐步计算即可。
【解析】
解：先代入特殊角的三角函数值、化简零指数幂项：
原式$=3×\frac{1}{2}-\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}+2×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - 1$
先计算所有乘方、乘法项：
$=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}+2×\frac{1}{2}-1$
再按从左到右的顺序计算加减：
$=0 + 1 - 1$
$=0$
【答案】
$0$
【知识点】
特殊角的三角函数值；零指数幂运算；实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查对特殊角三角函数值的识记准确度，以及零指数幂运算性质的掌握，只要牢记对应数值、遵循运算顺序细心计算即可得分，注意不要混淆不同特殊角的三角函数值，计算零指数幂前要先确认底数不为0。
【难度系数】
0.8
本题是三角函数与实数运算结合的基础计算题，解题思路如下：首先需要回忆两个核心考点：一是30°、45°等常用特殊角的三角函数值，二是非零实数的零次幂等于1的运算规则；其次遵循实数混合运算顺序，先代换出所有三角函数和零指数幂的对应数值，再按先乘方、再乘除、最后加减的顺序逐步计算即可。
【解析】
解：先代入特殊角的三角函数值、化简零指数幂项：
原式$=3×\frac{1}{2}-\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}+2×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - 1$
先计算所有乘方、乘法项：
$=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}+2×\frac{1}{2}-1$
再按从左到右的顺序计算加减：
$=0 + 1 - 1$
$=0$
【答案】
$0$
【知识点】
特殊角的三角函数值；零指数幂运算；实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查对特殊角三角函数值的识记准确度，以及零指数幂运算性质的掌握，只要牢记对应数值、遵循运算顺序细心计算即可得分，注意不要混淆不同特殊角的三角函数值，计算零指数幂前要先确认底数不为0。
【难度系数】
0.8
16. (11分)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD$是斜边$AB$上的中线,已知$BC=8$,$CD=5$,求$\sin A$和$\tan∠ ACD$的值。
答案
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，CD=5，
∴ AB = 2CD = 10。
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
∴ $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$。
∵ CD=AD=5，
∴ ∠ACD=∠A，
∴ $\tan∠ ACD = \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$。
综上，$\sin A=\frac{4}{5}$，$\tan∠ ACD=\frac{4}{3}$。
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，CD=5，
∴ AB = 2CD = 10。
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
∴ $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$。
∵ CD=AD=5，
∴ ∠ACD=∠A，
∴ $\tan∠ ACD = \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$。
综上，$\sin A=\frac{4}{5}$，$\tan∠ ACD=\frac{4}{3}$。
解析
【分析】
解题时首先根据直角三角形斜边中线的性质求出斜边AB的长度，再结合勾股定理算出直角边AC的长度；求$\sin A$时直接根据正弦函数的定义，用$∠ A$的对边比斜边即可计算；求$\tan∠ ACD$时，先根据斜边中线性质推出$CD=AD$，得到$∠ ACD=∠ A$，将求$∠ ACD$的正切值转换为求$∠ A$的正切值，最后根据正切函数的定义代入数值计算即可。
【解析】
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD$是斜边$AB$上的中线，$CD=5$，
∴ 由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$AB = 2CD = 10$。
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$。
根据正弦函数的定义：
$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$。
∵ $CD$是斜边$AB$的中线，
∴ $CD=AD=5$，即$△ ACD$为等腰三角形，
∴ $∠ ACD=∠ A$，
根据正切函数的定义：
$\tan∠ ACD = \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$。
【答案】
$\sin A=\frac{4}{5}$，$\tan∠ACD=\frac{4}{3}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题属于直角三角形与锐角三角函数结合的基础常考题，解题核心是利用直角三角形斜边中线的性质得到边长关系和等角关系，降低计算难度，考察学生对基础性质和三角函数定义的掌握熟练度。
【难度系数】
0.75
解题时首先根据直角三角形斜边中线的性质求出斜边AB的长度，再结合勾股定理算出直角边AC的长度；求$\sin A$时直接根据正弦函数的定义，用$∠ A$的对边比斜边即可计算；求$\tan∠ ACD$时，先根据斜边中线性质推出$CD=AD$，得到$∠ ACD=∠ A$，将求$∠ ACD$的正切值转换为求$∠ A$的正切值，最后根据正切函数的定义代入数值计算即可。
【解析】
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD$是斜边$AB$上的中线，$CD=5$，
∴ 由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$AB = 2CD = 10$。
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$。
根据正弦函数的定义：
$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$。
∵ $CD$是斜边$AB$的中线，
∴ $CD=AD=5$，即$△ ACD$为等腰三角形，
∴ $∠ ACD=∠ A$，
根据正切函数的定义：
$\tan∠ ACD = \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$。
【答案】
$\sin A=\frac{4}{5}$，$\tan∠ACD=\frac{4}{3}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题属于直角三角形与锐角三角函数结合的基础常考题，解题核心是利用直角三角形斜边中线的性质得到边长关系和等角关系，降低计算难度，考察学生对基础性质和三角函数定义的掌握熟练度。
【难度系数】
0.75
