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1. 下列三角函数值中,是有理数的是 ()
A.$\sin60°$
B.$\cos60°$
C.$\tan60°$
D.$\sin45°$
A.$\sin60°$
B.$\cos60°$
C.$\tan60°$
D.$\sin45°$
答案
B
解析
【分析】
这道题考查特殊角的三角函数值以及有理数的判定，解题时首先要牢记30°、45°、60°这类常用特殊角的正弦、余弦、正切值，先逐个算出每个选项对应的三角函数值，再结合有理数的定义（整数和分数统称为有理数，无限不循环小数属于无理数）判断即可得出答案。
【解析】
我们分别计算每个选项的三角函数值并判断属性：
A. $\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$是无限不循环小数，属于无理数，因此$\frac{\sqrt{3}}{2}$是无理数，不符合要求；
B. $\cos60°=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$是分数，属于有理数，符合要求；
C. $\tan60°=\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$是无理数，不符合要求；
D. $\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数，因此$\frac{\sqrt{2}}{2}$是无理数，不符合要求。
综上，只有B选项的三角函数值为有理数。
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值、有理数的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考察对常见特殊角三角函数值的记忆掌握，只要熟练记住对应三角函数值，结合有理数的判定规则就能快速得分，是考试中常见的基础考查题型。
【难度系数】
0.85
这道题考查特殊角的三角函数值以及有理数的判定，解题时首先要牢记30°、45°、60°这类常用特殊角的正弦、余弦、正切值，先逐个算出每个选项对应的三角函数值，再结合有理数的定义（整数和分数统称为有理数，无限不循环小数属于无理数）判断即可得出答案。
【解析】
我们分别计算每个选项的三角函数值并判断属性：
A. $\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$是无限不循环小数，属于无理数，因此$\frac{\sqrt{3}}{2}$是无理数，不符合要求；
B. $\cos60°=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$是分数，属于有理数，符合要求；
C. $\tan60°=\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$是无理数，不符合要求；
D. $\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数，因此$\frac{\sqrt{2}}{2}$是无理数，不符合要求。
综上，只有B选项的三角函数值为有理数。
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值、有理数的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考察对常见特殊角三角函数值的记忆掌握，只要熟练记住对应三角函数值，结合有理数的判定规则就能快速得分，是考试中常见的基础考查题型。
【难度系数】
0.85
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，若$\cos A=\dfrac{1}{2}$，则$\sin A$的值是（）
A.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\dfrac{1}{2}$
A.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\dfrac{1}{2}$
答案
B
解析
【分析】
解题思路有两种：① 结合∠A是直角三角形的内角，可知其为锐角，根据特殊角的余弦值先确定∠A的度数，再求对应正弦值；② 利用同角锐角三角函数的恒等式$\sin^2A + \cos^2A = 1$，代入已知的$\cos A$的值，结合锐角的正弦值为正数，计算得到$\sin A$的结果。
【解析】
解：
∵$△ ABC$是直角三角形，$\cos A=\dfrac{1}{2}$，
∴$∠ A$为锐角，
方法1：根据特殊角的三角函数值，$\cos60°=\dfrac{1}{2}$，可得$∠ A=60°$，
∴$\sin A=\sin60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
方法2：根据同角三角函数的关系$\sin^2A + \cos^2A = 1$，
代入$\cos A=\dfrac{1}{2}$得：$\sin^2A=1 - (\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{3}{4}$，
∵$∠ A$是锐角，$\sin A＞0$，
∴$\sin A=\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值
2. 同角三角函数的基本关系
【点评】
本题是锐角三角函数的基础常考题，解题方法灵活，只要熟练掌握特殊角的三角函数值或同角三角函数的恒等式即可快速求解，注重对基础知识的考察。
【难度系数】
0.9
解题思路有两种：① 结合∠A是直角三角形的内角，可知其为锐角，根据特殊角的余弦值先确定∠A的度数，再求对应正弦值；② 利用同角锐角三角函数的恒等式$\sin^2A + \cos^2A = 1$，代入已知的$\cos A$的值，结合锐角的正弦值为正数，计算得到$\sin A$的结果。
【解析】
解：
∵$△ ABC$是直角三角形，$\cos A=\dfrac{1}{2}$，
∴$∠ A$为锐角，
方法1：根据特殊角的三角函数值，$\cos60°=\dfrac{1}{2}$，可得$∠ A=60°$，
∴$\sin A=\sin60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
方法2：根据同角三角函数的关系$\sin^2A + \cos^2A = 1$，
代入$\cos A=\dfrac{1}{2}$得：$\sin^2A=1 - (\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{3}{4}$，
∵$∠ A$是锐角，$\sin A＞0$，
∴$\sin A=\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值
2. 同角三角函数的基本关系
【点评】
本题是锐角三角函数的基础常考题，解题方法灵活，只要熟练掌握特殊角的三角函数值或同角三角函数的恒等式即可快速求解，注重对基础知识的考察。
【难度系数】
0.9
3.若$∠α$的余角是$45°$,则$\cosα$的值是 （）
A.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
A.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
答案
A
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步先根据余角的定义求出∠α的度数，余角指的是如果两个角的和为90°，则这两个角互为余角；第二步再结合特殊锐角的三角函数值，求出cosα的值，匹配对应选项即可。
【解析】
∵ 互为余角的两个角的和为90°，∠α的余角是45°
∴ $∠α = 90° - 45° = 45°$
根据特殊角的三角函数值可知，$\cos45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
余角的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对互余角性质的理解以及特殊锐角三角函数值的记忆，熟练掌握基础概念和常用特殊角的三角函数值即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解题思路可分为两步：第一步先根据余角的定义求出∠α的度数，余角指的是如果两个角的和为90°，则这两个角互为余角；第二步再结合特殊锐角的三角函数值，求出cosα的值，匹配对应选项即可。
【解析】
∵ 互为余角的两个角的和为90°，∠α的余角是45°
∴ $∠α = 90° - 45° = 45°$
根据特殊角的三角函数值可知，$\cos45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
余角的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对互余角性质的理解以及特殊锐角三角函数值的记忆，熟练掌握基础概念和常用特殊角的三角函数值即可快速得分。
【难度系数】
0.9
4. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$,设$\sin B = n$,当$∠ B$是最小的内角时,$n$的取值范围是（）
A.$0 ＜ n ＜ \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B.$0 ＜ n ＜ \dfrac{1}{2}$
C.$0 ＜ n ＜ \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D.$0 ＜ n ＜ \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
A.$0 ＜ n ＜ \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B.$0 ＜ n ＜ \dfrac{1}{2}$
C.$0 ＜ n ＜ \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D.$0 ＜ n ＜ \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先利用直角三角形内角和的性质，可知∠C=90°为三角形的最大内角，因此两个锐角满足∠A+∠B=90°。结合∠B是最小内角的条件，可先列不等式求出∠B的取值范围，再根据锐角正弦函数在0°~90°区间内随角度增大而增大的规律，即可求出sinB的取值范围。
【解析】
解：
∵ △ABC中，∠C=90°
∴ ∠A + ∠B = 90°，且∠C是三角形的最大内角
∵ ∠B是最小的内角
∴ ∠B ＜ ∠A
将∠A = 90° - ∠B代入不等式得：
∠B ＜ 90° - ∠B
移项合并得：2∠B ＜ 90°，即∠B ＜ 45°
又
∵ 三角形内角大于0°，因此0° ＜ ∠B ＜ 45°
∵ 正弦值在0°~90°范围内随角度增大而增大
∴ sin0° ＜ sinB ＜ sin45°
代入特殊角的三角函数值得：0 ＜ n ＜ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
故本题选A。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形内角性质、锐角正弦的增减性、特殊角的三角函数值
【点评】
本题是锐角三角函数与三角形内角性质结合的基础题型，解题核心是准确根据“最小内角”的限定求出对应角的取值范围，再结合三角函数的增减性推导取值范围，是锐角三角函数章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用直角三角形内角和的性质，可知∠C=90°为三角形的最大内角，因此两个锐角满足∠A+∠B=90°。结合∠B是最小内角的条件，可先列不等式求出∠B的取值范围，再根据锐角正弦函数在0°~90°区间内随角度增大而增大的规律，即可求出sinB的取值范围。
【解析】
解：
∵ △ABC中，∠C=90°
∴ ∠A + ∠B = 90°，且∠C是三角形的最大内角
∵ ∠B是最小的内角
∴ ∠B ＜ ∠A
将∠A = 90° - ∠B代入不等式得：
∠B ＜ 90° - ∠B
移项合并得：2∠B ＜ 90°，即∠B ＜ 45°
又
∵ 三角形内角大于0°，因此0° ＜ ∠B ＜ 45°
∵ 正弦值在0°~90°范围内随角度增大而增大
∴ sin0° ＜ sinB ＜ sin45°
代入特殊角的三角函数值得：0 ＜ n ＜ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
故本题选A。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形内角性质、锐角正弦的增减性、特殊角的三角函数值
【点评】
本题是锐角三角函数与三角形内角性质结合的基础题型，解题核心是准确根据“最小内角”的限定求出对应角的取值范围，再结合三角函数的增减性推导取值范围，是锐角三角函数章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
5. 如图1,小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处,再向正北方向走到C处,已知∠BAC=α,则A,C两处相距（）
A.$\frac{x}{\sinα}$米
B.$\frac{x}{\cosα}$米
C.$x·\sinα$米
D.$x·\cosα$米
A.$\frac{x}{\sinα}$米
B.$\frac{x}{\cosα}$米
C.$x·\sinα$米
D.$x·\cosα$米
答案
B
解析
【分析】
首先根据行走方向（正东、正北）可判断△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°。已知AB的长度为x米，是∠BAC=α的邻边，要求的AC是直角三角形的斜边。接下来回忆锐角三角函数中余弦的定义：直角三角形中一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值，结合已知条件列出关系式，变形后即可求出AC的长度，对应正确选项。
【解析】
解：由题意得，AB为正东方向，BC为正北方向，因此∠ABC=90°，△ABC是直角三角形。
在Rt△ABC中，∠BAC=α，AB=x米，AC为斜边，根据余弦的定义：
$\cosα = \frac{\mathrm{∠α的邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{AB}{AC}$
对式子变形可得：
$AC = \frac{AB}{\cosα} = \frac{x}{\cosα}$（米）
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 余弦的定义
2. 解直角三角形的实际应用
【点评】
本题结合实际行走场景考察解直角三角形的基础应用，解题核心是准确识别直角三角形中锐角对应的邻边、斜边，牢记锐角三角函数的定义就能快速作答，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
首先根据行走方向（正东、正北）可判断△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°。已知AB的长度为x米，是∠BAC=α的邻边，要求的AC是直角三角形的斜边。接下来回忆锐角三角函数中余弦的定义：直角三角形中一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值，结合已知条件列出关系式，变形后即可求出AC的长度，对应正确选项。
【解析】
解：由题意得，AB为正东方向，BC为正北方向，因此∠ABC=90°，△ABC是直角三角形。
在Rt△ABC中，∠BAC=α，AB=x米，AC为斜边，根据余弦的定义：
$\cosα = \frac{\mathrm{∠α的邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{AB}{AC}$
对式子变形可得：
$AC = \frac{AB}{\cosα} = \frac{x}{\cosα}$（米）
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 余弦的定义
2. 解直角三角形的实际应用
【点评】
本题结合实际行走场景考察解直角三角形的基础应用，解题核心是准确识别直角三角形中锐角对应的邻边、斜边，牢记锐角三角函数的定义就能快速作答，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
6. (2024·德阳)如图2，某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30°(AB，CD在同一平面内，B，D在同一水平面上)，则建筑物CD的高为 ()
A.20米
B.15米
C.12米
$D.(10+5\sqrt{3})$米
A.20米
B.15米
C.12米
$D.(10+5\sqrt{3})$米
答案
B
解析
【分析】
这是一道解直角三角形的仰角应用问题，解题思路如下：首先需通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将已知高度和待求高度关联起来。我们过点A作CD的垂线，即可得到矩形ABDE，利用矩形对边相等的性质，可知DE=AB=10米，且水平距离AE=BD。接下来设水平距离BD为未知数，分别在两个含仰角的直角三角形中，用正切函数表示出CD的总高度和CE的高度差，再根据“CE=CD-DE”的等量关系列方程求解，最后代入算出CD的高度即可。
【解析】
过点A作AE⊥CD，垂足为E。
∵AB⊥BD，CD⊥BD，AE⊥CD，
∴四边形ABDE是矩形，
∴AB=ED=10米，AE=BD。
设AE=BD=x米，
在Rt△BCD中，∠CBD=60°，
由正切定义得：$CD = BD·\tan60° = \sqrt{3} x$；
在Rt△ACE中，∠CAE=30°，$CE = CD - ED = \sqrt{3} x - 10$，
由正切定义得：$CE = AE·\tan30° = \frac{\sqrt{3}}{3}x$；
因此可列方程：$\sqrt{3} x - 10 = \frac{\sqrt{3}}{3}x$，
移项合并得：$\frac{2\sqrt{3}}{3}x = 10$，
解得：$x = 5\sqrt{3}$，
则$CD = \sqrt{3} x = \sqrt{3} ×5\sqrt{3} = 15$（米）。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形的仰角应用；矩形的性质；锐角三角函数定义
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的典型题型，解题关键是合理作辅助线构造直角三角形与矩形，将实际测量问题转化为几何计算问题，结合锐角三角函数建立等量关系即可求解，能有效锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
这是一道解直角三角形的仰角应用问题，解题思路如下：首先需通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将已知高度和待求高度关联起来。我们过点A作CD的垂线，即可得到矩形ABDE，利用矩形对边相等的性质，可知DE=AB=10米，且水平距离AE=BD。接下来设水平距离BD为未知数，分别在两个含仰角的直角三角形中，用正切函数表示出CD的总高度和CE的高度差，再根据“CE=CD-DE”的等量关系列方程求解，最后代入算出CD的高度即可。
【解析】
过点A作AE⊥CD，垂足为E。
∵AB⊥BD，CD⊥BD，AE⊥CD，
∴四边形ABDE是矩形，
∴AB=ED=10米，AE=BD。
设AE=BD=x米，
在Rt△BCD中，∠CBD=60°，
由正切定义得：$CD = BD·\tan60° = \sqrt{3} x$；
在Rt△ACE中，∠CAE=30°，$CE = CD - ED = \sqrt{3} x - 10$，
由正切定义得：$CE = AE·\tan30° = \frac{\sqrt{3}}{3}x$；
因此可列方程：$\sqrt{3} x - 10 = \frac{\sqrt{3}}{3}x$，
移项合并得：$\frac{2\sqrt{3}}{3}x = 10$，
解得：$x = 5\sqrt{3}$，
则$CD = \sqrt{3} x = \sqrt{3} ×5\sqrt{3} = 15$（米）。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形的仰角应用；矩形的性质；锐角三角函数定义
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的典型题型，解题关键是合理作辅助线构造直角三角形与矩形，将实际测量问题转化为几何计算问题，结合锐角三角函数建立等量关系即可求解，能有效锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
7. 三角函数值$\sin30°, \cos16°, \cos43°$之间的大小关系是（）
A.$\cos43°＞\cos16°＞\sin30°$
B.$\cos16°＞\sin30°＞\cos43°$
C.$\cos16°＞\cos43°＞\sin30°$
D.$\cos43°＞\sin30°＞\cos16°$
A.$\cos43°＞\cos16°＞\sin30°$
B.$\cos16°＞\sin30°＞\cos43°$
C.$\cos16°＞\cos43°＞\sin30°$
D.$\cos43°＞\sin30°＞\cos16°$
答案
C
解析
【分析】
要比较这三个三角函数值的大小，首先观察到其中两个是余弦值，一个是正弦值，解题思路分三步：①先将正弦值转化为余弦值，统一三角函数类型，方便比较；②回忆锐角余弦函数的增减性：在0°~90°之间，角度越大，余弦值越小；③比较转化后三个余弦对应的角度大小，结合增减性即可得到三个值的大小关系。
【解析】
第一步，统一三角函数名称：根据互余两角的三角函数关系$\sinα=\cos(90°-α)$，可得$\sin30°=\cos(90°-30°)=\cos60°$。
第二步，明确锐角余弦的增减性：当角度在$0°＜α＜90°$范围内时，$\cosα$随角度$α$的增大而减小。
第三步，比较角度大小：$16°＜43°＜60°$，结合余弦增减性可得：$\cos16°＞\cos43°＞\cos60°$，即$\cos16°＞\cos43°＞\sin30°$。
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值；锐角余弦的增减性；互余角的三角函数关系
【点评】
本题考查锐角三角函数的大小比较，解题的核心是先统一三角函数名称，再结合对应三角函数的增减性判断大小，属于基础题型，需熟练掌握特殊角三角函数值及锐角三角函数的增减规律。
【难度系数】
0.7
要比较这三个三角函数值的大小，首先观察到其中两个是余弦值，一个是正弦值，解题思路分三步：①先将正弦值转化为余弦值，统一三角函数类型，方便比较；②回忆锐角余弦函数的增减性：在0°~90°之间，角度越大，余弦值越小；③比较转化后三个余弦对应的角度大小，结合增减性即可得到三个值的大小关系。
【解析】
第一步，统一三角函数名称：根据互余两角的三角函数关系$\sinα=\cos(90°-α)$，可得$\sin30°=\cos(90°-30°)=\cos60°$。
第二步，明确锐角余弦的增减性：当角度在$0°＜α＜90°$范围内时，$\cosα$随角度$α$的增大而减小。
第三步，比较角度大小：$16°＜43°＜60°$，结合余弦增减性可得：$\cos16°＞\cos43°＞\cos60°$，即$\cos16°＞\cos43°＞\sin30°$。
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值；锐角余弦的增减性；互余角的三角函数关系
【点评】
本题考查锐角三角函数的大小比较，解题的核心是先统一三角函数名称，再结合对应三角函数的增减性判断大小，属于基础题型，需熟练掌握特殊角三角函数值及锐角三角函数的增减规律。
【难度系数】
0.7
