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1.(2025·苏州)一只不透明的袋子中,装有3个白球和若干个红球,这些球除颜色外都相同,搅匀后从中任意摸出一个球,摸到白球的概率为$\frac{3}{5}$,则红球的个数为 ()
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆概率的计算公式：随机事件发生的概率等于该事件对应的情况数除以总情况数。本题中已知摸到白球的概率和白球的个数，未知红球个数，我们可以设红球个数为未知数，用“白球个数+红球个数”表示总球数，再代入概率公式列方程求解即可，最后要注意检验解是否符合实际意义。
【解析】
设红球的个数为$ x $个，则袋子中球的总个数为$ (3+x) $个。
根据概率公式，摸到白球的概率$ P(\mathrm{摸到白球})=\frac{\mathrm{白球个数}}{\mathrm{总球数}} $，代入已知条件可得：
$ \frac{3}{3+x}=\frac{3}{5} $
交叉相乘得：$ 3×5=3×(3+x) $
即$ 15=9+3x $
移项、化简得：$ 3x=6 $，解得$ x=2 $
检验：当$ x=2 $时，总球数$ 3+x=5≠0 $，符合实际意义。
因此红球的个数为2个。
【答案】
B
【知识点】
概率计算公式；列方程解应用题
【点评】
本题是概率基础常考题，核心考查对概率公式的理解与运用，难度较低，只要明确概率计算中对应情况数和总情况数的关系，通过设未知数列方程即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆概率的计算公式：随机事件发生的概率等于该事件对应的情况数除以总情况数。本题中已知摸到白球的概率和白球的个数，未知红球个数，我们可以设红球个数为未知数，用“白球个数+红球个数”表示总球数，再代入概率公式列方程求解即可，最后要注意检验解是否符合实际意义。
【解析】
设红球的个数为$ x $个，则袋子中球的总个数为$ (3+x) $个。
根据概率公式，摸到白球的概率$ P(\mathrm{摸到白球})=\frac{\mathrm{白球个数}}{\mathrm{总球数}} $，代入已知条件可得：
$ \frac{3}{3+x}=\frac{3}{5} $
交叉相乘得：$ 3×5=3×(3+x) $
即$ 15=9+3x $
移项、化简得：$ 3x=6 $，解得$ x=2 $
检验：当$ x=2 $时，总球数$ 3+x=5≠0 $，符合实际意义。
因此红球的个数为2个。
【答案】
B
【知识点】
概率计算公式；列方程解应用题
【点评】
本题是概率基础常考题，核心考查对概率公式的理解与运用，难度较低，只要明确概率计算中对应情况数和总情况数的关系，通过设未知数列方程即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. (2025·广东)如图4,在直径BC为$2\sqrt{2}$的圆内有一个圆心角为$90°$的扇形BAC。随机地往圆内投一粒米,该粒米落在扇形内的概率为 ()
A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
D
解析
【分析】
本题属于几何概型问题，随机投米落在扇形内的概率等于扇形BAC的面积与整个圆的面积的比值。解题时可分三步思考：第一步，根据已知的大圆直径求出大圆半径，计算大圆的面积；第二步，结合扇形圆心角为90°且AB=AC的特征，判断△ABC为等腰直角三角形，利用勾股定理求出扇形的半径AB的长度，再代入扇形面积公式计算扇形面积；第三步，用扇形面积除以大圆面积即可得到所求概率。
【解析】
1. 计算大圆的面积：
已知大圆的直径BC=2√2，因此大圆的半径$ R=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2} $，
根据圆的面积公式，大圆面积$ S_{\mathrm{大圆}}=π R^2=π×(\sqrt{2})^2=2π $。
2. 计算扇形BAC的面积：
因为扇形BAC的圆心角$ ∠ BAC=90° $，且AB、AC是扇形的半径，所以AB=AC，即△ABC为等腰直角三角形。
设AB=AC=r，由勾股定理得：$ AB^2+AC^2=BC^2 $，
代入数据得$ 2r^2=(2\sqrt{2})^2=8 $，解得$ r^2=4 $。
根据扇形面积公式$ S_{\mathrm{扇形}}=\frac{n}{360°}π r^2 $（n为圆心角度数），得：
$ S_{\mathrm{扇形}BAC}=\frac{90°}{360°}×π×4=π $。
3. 计算概率：
随机投米落在扇形内的概率$ P=\frac{S_{\mathrm{扇形}BAC}}{S_{\mathrm{大圆}}}=\frac{π}{2π}=\frac{1}{2} $。
【答案】
D
【知识点】
几何概率计算，扇形面积计算，勾股定理
【点评】
本题综合考查了几何概率、圆与扇形的面积计算、勾股定理的应用，解题核心是掌握几何概率的计算逻辑，准确求出两个对应图形的面积即可求解，注意不要混淆大圆和扇形的半径。
【难度系数】
0.6
本题属于几何概型问题，随机投米落在扇形内的概率等于扇形BAC的面积与整个圆的面积的比值。解题时可分三步思考：第一步，根据已知的大圆直径求出大圆半径，计算大圆的面积；第二步，结合扇形圆心角为90°且AB=AC的特征，判断△ABC为等腰直角三角形，利用勾股定理求出扇形的半径AB的长度，再代入扇形面积公式计算扇形面积；第三步，用扇形面积除以大圆面积即可得到所求概率。
【解析】
1. 计算大圆的面积：
已知大圆的直径BC=2√2，因此大圆的半径$ R=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2} $，
根据圆的面积公式，大圆面积$ S_{\mathrm{大圆}}=π R^2=π×(\sqrt{2})^2=2π $。
2. 计算扇形BAC的面积：
因为扇形BAC的圆心角$ ∠ BAC=90° $，且AB、AC是扇形的半径，所以AB=AC，即△ABC为等腰直角三角形。
设AB=AC=r，由勾股定理得：$ AB^2+AC^2=BC^2 $，
代入数据得$ 2r^2=(2\sqrt{2})^2=8 $，解得$ r^2=4 $。
根据扇形面积公式$ S_{\mathrm{扇形}}=\frac{n}{360°}π r^2 $（n为圆心角度数），得：
$ S_{\mathrm{扇形}BAC}=\frac{90°}{360°}×π×4=π $。
3. 计算概率：
随机投米落在扇形内的概率$ P=\frac{S_{\mathrm{扇形}BAC}}{S_{\mathrm{大圆}}}=\frac{π}{2π}=\frac{1}{2} $。
【答案】
D
【知识点】
几何概率计算，扇形面积计算，勾股定理
【点评】
本题综合考查了几何概率、圆与扇形的面积计算、勾股定理的应用，解题核心是掌握几何概率的计算逻辑，准确求出两个对应图形的面积即可求解，注意不要混淆大圆和扇形的半径。
【难度系数】
0.6
3.（2025·黑龙江龙东地区）如图5，随机闭合开关$\mathrm{K}_1,\mathrm{K}_2,\mathrm{K}_3$中的两个，能让两盏灯泡$\mathrm{L}_1,\mathrm{L}_2$同时发光的概率为。
答案
解：随机闭合开关$\mathrm{K}_1,\mathrm{K}_2,\mathrm{K}_3$中的两个，所有等可能的结果为：$(\mathrm{K}_1,\mathrm{K}_2)$、$(\mathrm{K}_1,\mathrm{K}_3)$、$(\mathrm{K}_2,\mathrm{K}_3)$，共3种。
其中能让两盏灯泡$\mathrm{L}_1,\mathrm{L}_2$同时发光的结果只有$(\mathrm{K}_1,\mathrm{K}_3)$这1种。
因此所求概率$P=\dfrac{1}{3}$。
$\dfrac{1}{3}$
其中能让两盏灯泡$\mathrm{L}_1,\mathrm{L}_2$同时发光的结果只有$(\mathrm{K}_1,\mathrm{K}_3)$这1种。
因此所求概率$P=\dfrac{1}{3}$。
$\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】
解题时可分三步思考：第一步，先确定总情况数：从3个开关中随机闭合2个，用列举法列出所有等可能的结果，共3种情况。第二步，结合电路的通路、短路原理逐一判断每种开关组合的工作状态：①闭合K1、K2时，K3断开，电路整体断路，两灯都不发光；②闭合K1、K3时，L1、L2均接入通路，两灯同时发光；③闭合K2、K3时，K2会将L1短路，仅L2发光。第三步，统计符合“两灯同时发光”的结果数，代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
随机闭合开关$\mathrm{K}_1,\mathrm{K}_2,\mathrm{K}_3$中的两个，所有等可能的结果为：$(\mathrm{K}_1,\mathrm{K}_2)$、$(\mathrm{K}_1,\mathrm{K}_3)$、$(\mathrm{K}_2,\mathrm{K}_3)$，共3种。
对每种情况逐一判断：
1. 闭合$\mathrm{K}_1,\mathrm{K}_2$：$\mathrm{K}_3$断开，电路为断路，两灯均不发光，不符合要求；
2. 闭合$\mathrm{K}_1,\mathrm{K}_3$：L1、L2依次接入电路形成完整通路，两灯同时发光，符合要求；
3. 闭合$\mathrm{K}_2,\mathrm{K}_3$：$\mathrm{K}_2$将L1短路，仅L2接入电路发光，不符合要求。
综上，能让两盏灯泡同时发光的结果只有1种，因此所求概率：
$P=\dfrac{1}{3}$
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
列举法求概率；电路通断判断；概率公式
【点评】
本题是概率知识与简单电路知识的综合题型，既考查了概率的基础计算方法，也要求学生掌握基本的通路、短路判断逻辑，侧重对知识综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时可分三步思考：第一步，先确定总情况数：从3个开关中随机闭合2个，用列举法列出所有等可能的结果，共3种情况。第二步，结合电路的通路、短路原理逐一判断每种开关组合的工作状态：①闭合K1、K2时，K3断开，电路整体断路，两灯都不发光；②闭合K1、K3时，L1、L2均接入通路，两灯同时发光；③闭合K2、K3时，K2会将L1短路，仅L2发光。第三步，统计符合“两灯同时发光”的结果数，代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
随机闭合开关$\mathrm{K}_1,\mathrm{K}_2,\mathrm{K}_3$中的两个，所有等可能的结果为：$(\mathrm{K}_1,\mathrm{K}_2)$、$(\mathrm{K}_1,\mathrm{K}_3)$、$(\mathrm{K}_2,\mathrm{K}_3)$，共3种。
对每种情况逐一判断：
1. 闭合$\mathrm{K}_1,\mathrm{K}_2$：$\mathrm{K}_3$断开，电路为断路，两灯均不发光，不符合要求；
2. 闭合$\mathrm{K}_1,\mathrm{K}_3$：L1、L2依次接入电路形成完整通路，两灯同时发光，符合要求；
3. 闭合$\mathrm{K}_2,\mathrm{K}_3$：$\mathrm{K}_2$将L1短路，仅L2接入电路发光，不符合要求。
综上，能让两盏灯泡同时发光的结果只有1种，因此所求概率：
$P=\dfrac{1}{3}$
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
列举法求概率；电路通断判断；概率公式
【点评】
本题是概率知识与简单电路知识的综合题型，既考查了概率的基础计算方法，也要求学生掌握基本的通路、短路判断逻辑，侧重对知识综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
4. (2025·成都)从-1,1,2这三个数中任取两个数分别作为a,b的值,则关于x的一元二次方程$ax^2+bx+1=0$有实数根的概率为。
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
解析
【分析】
本题是概率与一元二次方程知识的综合题，解题思路分三步：第一步，先列出从-1,1,2中任取两个数分别作为a、b的所有等可能有序结果，本题给出的三个数均不为0，所有结果都满足一元二次方程二次项系数不为0的要求；第二步，根据一元二次方程有实数根的条件：判别式Δ=b²-4ac≥0（本题中c=1），即Δ=b²-4a≥0，逐一验证每种结果是否满足该条件；第三步，用满足条件的结果数除以总结果数，即可得到所求概率。
【解析】
首先列出所有等可能的(a,b)取值组合，共6种：
$(-1,1)、(-1,2)、(1,-1)、(1,2)、(2,-1)、(2,1)$
一元二次方程$ax^2+bx+1=0$有实数根的条件为$\Delta = b^2 - 4a ≥ 0$，逐一验证：
1. 当$a=-1,b=1$时，$\Delta=1^2 - 4×(-1)=5≥0$，满足条件；
2. 当$a=-1,b=2$时，$\Delta=2^2 - 4×(-1)=8≥0$，满足条件；
3. 当$a=1,b=-1$时，$\Delta=(-1)^2 - 4×1=-3＜0$，不满足条件；
4. 当$a=1,b=2$时，$\Delta=2^2 - 4×1=0≥0$，满足条件；
5. 当$a=2,b=-1$时，$\Delta=(-1)^2 - 4×2=-7＜0$，不满足条件；
6. 当$a=2,b=1$时，$\Delta=1^2 - 4×2=-7＜0$，不满足条件。
满足条件的结果共3种，因此所求概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
列举法求概率、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题将概率计算与一元二次方程根的判定结合，解题时要注意a、b的取值是有序的，避免因混淆顺序导致总情况数或符合条件的情况数统计错误，同时要牢记一元二次方程有实根的判别式条件。
【难度系数】
0.6
本题是概率与一元二次方程知识的综合题，解题思路分三步：第一步，先列出从-1,1,2中任取两个数分别作为a、b的所有等可能有序结果，本题给出的三个数均不为0，所有结果都满足一元二次方程二次项系数不为0的要求；第二步，根据一元二次方程有实数根的条件：判别式Δ=b²-4ac≥0（本题中c=1），即Δ=b²-4a≥0，逐一验证每种结果是否满足该条件；第三步，用满足条件的结果数除以总结果数，即可得到所求概率。
【解析】
首先列出所有等可能的(a,b)取值组合，共6种：
$(-1,1)、(-1,2)、(1,-1)、(1,2)、(2,-1)、(2,1)$
一元二次方程$ax^2+bx+1=0$有实数根的条件为$\Delta = b^2 - 4a ≥ 0$，逐一验证：
1. 当$a=-1,b=1$时，$\Delta=1^2 - 4×(-1)=5≥0$，满足条件；
2. 当$a=-1,b=2$时，$\Delta=2^2 - 4×(-1)=8≥0$，满足条件；
3. 当$a=1,b=-1$时，$\Delta=(-1)^2 - 4×1=-3＜0$，不满足条件；
4. 当$a=1,b=2$时，$\Delta=2^2 - 4×1=0≥0$，满足条件；
5. 当$a=2,b=-1$时，$\Delta=(-1)^2 - 4×2=-7＜0$，不满足条件；
6. 当$a=2,b=1$时，$\Delta=1^2 - 4×2=-7＜0$，不满足条件。
满足条件的结果共3种，因此所求概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
列举法求概率、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题将概率计算与一元二次方程根的判定结合，解题时要注意a、b的取值是有序的，避免因混淆顺序导致总情况数或符合条件的情况数统计错误，同时要牢记一元二次方程有实根的判别式条件。
【难度系数】
0.6
5. 六张大小、质地均相同的卡片上分别标有1,2,3,4,5,6,现将标有数字的一面朝下扣在桌面上,从中随机抽取一张(放回洗匀),再随机抽取第二张。记前后两次抽得的数字分别为$m,n$,若把$m,n$分别作为点$A$的横坐标和纵坐标,则点$A(m,n)$在函数$y=2x$的图象上的概率是。
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{12}}$
解析
【分析】
本题是概率与一次函数的综合题，解题思路如下：第一步，先确定两次有放回抽取卡片的所有等可能结果总数，因为是放回抽取，第一次抽有6种可能，第二次也有6种可能，总结果数为两次可能数的乘积；第二步，根据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，找出满足n=2m的点A(m,n)的个数；第三步，利用概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
解：
∵是有放回的两次抽取卡片，
∴第一次抽取m有6种等可能结果，第二次抽取n也有6种等可能结果，
∴所有等可能的点A(m,n)共有$6×6=36$种。
若点A(m,n)在函数$y=2x$的图象上，则满足$n=2m$，
符合条件的点有：$(1,2)$、$(2,4)$、$(3,6)$，共3种。
根据概率公式可得：
$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{12}}$
【知识点】
1. 概率的计算 2. 一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题将概率计算和一次函数的性质结合考查，难度不大，解题的关键是准确找出总事件数和符合函数解析式的事件数，再代入概率公式计算即可，主要考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
本题是概率与一次函数的综合题，解题思路如下：第一步，先确定两次有放回抽取卡片的所有等可能结果总数，因为是放回抽取，第一次抽有6种可能，第二次也有6种可能，总结果数为两次可能数的乘积；第二步，根据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，找出满足n=2m的点A(m,n)的个数；第三步，利用概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
解：
∵是有放回的两次抽取卡片，
∴第一次抽取m有6种等可能结果，第二次抽取n也有6种等可能结果，
∴所有等可能的点A(m,n)共有$6×6=36$种。
若点A(m,n)在函数$y=2x$的图象上，则满足$n=2m$，
符合条件的点有：$(1,2)$、$(2,4)$、$(3,6)$，共3种。
根据概率公式可得：
$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{12}}$
【知识点】
1. 概率的计算 2. 一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题将概率计算和一次函数的性质结合考查，难度不大，解题的关键是准确找出总事件数和符合函数解析式的事件数，再代入概率公式计算即可，主要考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
6. 如图6,有四张反面完全相同的纸牌A,B,C,D,其正面分别画有四个不同的几何图形,将四张纸牌洗匀,正面朝下随机放在桌面上。小明和小亮约定做一个游戏,其规则为:先由小明随机摸出一张,不放回,再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张,若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形,则小亮获胜,否则小明获胜。这个游戏公平吗?请用列表法说明理由(纸牌用A,B,C,D表示)。若不公平,请你帮忙修改一下游戏规则,使游戏公平。
答案
解：
先判断四个几何图形的对称性：纸牌A（圆）、纸牌C（矩形）既是轴对称图形又是中心对称图形；纸牌B（正五边形）是轴对称图形，不是中心对称图形；纸牌D（平行四边形）是中心对称图形，不是轴对称图形。
根据题意列表如下：
| 小明\小亮 | A | B | C | D |
|-----------|-------|-------|-------|-------|
| A | - | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | - | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | - | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | - |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果共2种。
∴ $P(\mathrm{小亮获胜})=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$，
$P(\mathrm{小明获胜})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$。
∵ $\frac{1}{6}≠\frac{5}{6}$，
∴ 这个游戏不公平。
修改规则示例：若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜（答案不唯一，合理即可）。
先判断四个几何图形的对称性：纸牌A（圆）、纸牌C（矩形）既是轴对称图形又是中心对称图形；纸牌B（正五边形）是轴对称图形，不是中心对称图形；纸牌D（平行四边形）是中心对称图形，不是轴对称图形。
根据题意列表如下：
| 小明\小亮 | A | B | C | D |
|-----------|-------|-------|-------|-------|
| A | - | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | - | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | - | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | - |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果共2种。
∴ $P(\mathrm{小亮获胜})=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$，
$P(\mathrm{小明获胜})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$。
∵ $\frac{1}{6}≠\frac{5}{6}$，
∴ 这个游戏不公平。
修改规则示例：若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜（答案不唯一，合理即可）。
解析
【分析】
解决本题首先要先明确四个几何图形的对称性，找出同时是轴对称图形和中心对称图形的纸牌，这是判断获胜条件的前提；其次该试验是不放回的两步随机摸牌，用列表法可以不重不漏地列出所有等可能的结果；再统计符合小亮获胜条件的结果数，根据概率公式分别计算两人的获胜概率；最后对比两个概率是否相等，判断游戏是否公平，若不公平，修改规则只要保证双方获胜概率相等即可。
【解析】
1. 先判断四张纸牌对应图形的对称性：
纸牌A（圆）、纸牌C（矩形）既是轴对称图形又是中心对称图形；纸牌B（正五边形）是轴对称图形，不是中心对称图形；纸牌D（平行四边形）是中心对称图形，不是轴对称图形。
2. 根据不放回摸牌的规则，列表如下：
| 小明\小亮 | A | B | C | D |
|-----------|-------|-------|-------|-------|
| A | - | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | - | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | - | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | - |
3. 由表可知，共有12种等可能的结果，其中摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果共2种，即(A,C)、(C,A)。
计算概率：
$P(\mathrm{小亮获胜})=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$，
$P(\mathrm{小明获胜})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$。
4. 因为$\frac{1}{6}≠\frac{5}{6}$，因此该游戏不公平。
修改规则示例：若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜（答案不唯一，合理即可）。
【答案】
这个游戏不公平；修改规则示例：若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜（合理即可）。
【知识点】
轴对称与中心对称图形判定，列表法求概率，游戏公平性判断
【点评】
本题结合了几何图形性质与概率计算，既考查了常见平面图形的对称性，又考查了不放回随机试验的概率求解方法，解题时需注意列表时避免重复计数，修改规则的开放性较强，只要保证双方获胜概率相等即可。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要先明确四个几何图形的对称性，找出同时是轴对称图形和中心对称图形的纸牌，这是判断获胜条件的前提；其次该试验是不放回的两步随机摸牌，用列表法可以不重不漏地列出所有等可能的结果；再统计符合小亮获胜条件的结果数，根据概率公式分别计算两人的获胜概率；最后对比两个概率是否相等，判断游戏是否公平，若不公平，修改规则只要保证双方获胜概率相等即可。
【解析】
1. 先判断四张纸牌对应图形的对称性：
纸牌A（圆）、纸牌C（矩形）既是轴对称图形又是中心对称图形；纸牌B（正五边形）是轴对称图形，不是中心对称图形；纸牌D（平行四边形）是中心对称图形，不是轴对称图形。
2. 根据不放回摸牌的规则，列表如下：
| 小明\小亮 | A | B | C | D |
|-----------|-------|-------|-------|-------|
| A | - | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | - | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | - | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | - |
3. 由表可知，共有12种等可能的结果，其中摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果共2种，即(A,C)、(C,A)。
计算概率：
$P(\mathrm{小亮获胜})=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$，
$P(\mathrm{小明获胜})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$。
4. 因为$\frac{1}{6}≠\frac{5}{6}$，因此该游戏不公平。
修改规则示例：若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜（答案不唯一，合理即可）。
【答案】
这个游戏不公平；修改规则示例：若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜（合理即可）。
【知识点】
轴对称与中心对称图形判定，列表法求概率，游戏公平性判断
【点评】
本题结合了几何图形性质与概率计算，既考查了常见平面图形的对称性，又考查了不放回随机试验的概率求解方法，解题时需注意列表时避免重复计数，修改规则的开放性较强，只要保证双方获胜概率相等即可。
【难度系数】
0.7
