登录
18. (9分)三角形三条边上的中线交于一点,这个点叫三角形的重心。如图13,G是$△ ABC$的重心。求证:$AD=3GD$。
图13
图13答案
证明：
连接ED。
∵ G是△ABC的重心，
∴ AD、CE都是△ABC的中线，
∴ D是BC的中点，E是AB的中点。
∴ ED是△ABC的中位线，
∴ ED//AC，且$ED=\frac{1}{2}AC$。
∵ ED//AC，
∴ ∠GED=∠GCA，∠GDE=∠GAC，
∴ △GED∽△GCA。
∴ $\frac{GD}{GA}=\frac{ED}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴ GA=2GD。
又∵ AD=GA+GD，
∴ AD=2GD+GD=3GD。
连接ED。
∵ G是△ABC的重心，
∴ AD、CE都是△ABC的中线，
∴ D是BC的中点，E是AB的中点。
∴ ED是△ABC的中位线，
∴ ED//AC，且$ED=\frac{1}{2}AC$。
∵ ED//AC，
∴ ∠GED=∠GCA，∠GDE=∠GAC，
∴ △GED∽△GCA。
∴ $\frac{GD}{GA}=\frac{ED}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴ GA=2GD。
又∵ AD=GA+GD，
∴ AD=2GD+GD=3GD。
解析
【分析】
要证明AD=3GD，首先从已知条件“G是△ABC的重心”入手，根据重心的定义可知，重心是三角形三条中线的交点，因此AD、CE都是△ABC的中线，即E、D分别为AB、BC的中点。此时我们可以连接ED构造三角形的中位线，利用中位线定理得到ED与AC平行，且ED长度为AC的一半。再根据平行线的性质得到两组角相等，从而证明△GED和△GCA相似，由相似三角形对应边成比例得到GD和GA的比值为1:2，即GA=2GD。最后结合线段AD是GA和GD的和，代入即可推出AD=3GD的结论。
【解析】
证明：
连接ED。
∵ G是△ABC的重心，
∴ AD、CE都是△ABC的中线，
∴ D是BC的中点，E是AB的中点。
∴ ED是△ABC的中位线，
∴ ED//AC，且$ED=\frac{1}{2}AC$。
∵ ED//AC，
∴ ∠GED=∠GCA，∠GDE=∠GAC，
∴ △GED∽△GCA。
∴ $\frac{GD}{GA}=\frac{ED}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴ GA=2GD。
又
∵ AD=GA+GD，
∴ AD=2GD+GD=3GD。
【答案】
AD=3GD，原命题得证
【知识点】
1. 三角形重心定义
2. 三角形中位线定理
3. 相似三角形的判定与性质
【点评】
本题围绕三角形重心的性质展开考察，解题的核心是通过构造中位线得到相似三角形，进而利用线段比例关系完成推导，属于三角形模块的基础综合题，熟练掌握中位线、相似三角形的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要证明AD=3GD，首先从已知条件“G是△ABC的重心”入手，根据重心的定义可知，重心是三角形三条中线的交点，因此AD、CE都是△ABC的中线，即E、D分别为AB、BC的中点。此时我们可以连接ED构造三角形的中位线，利用中位线定理得到ED与AC平行，且ED长度为AC的一半。再根据平行线的性质得到两组角相等，从而证明△GED和△GCA相似，由相似三角形对应边成比例得到GD和GA的比值为1:2，即GA=2GD。最后结合线段AD是GA和GD的和，代入即可推出AD=3GD的结论。
【解析】
证明：
连接ED。
∵ G是△ABC的重心，
∴ AD、CE都是△ABC的中线，
∴ D是BC的中点，E是AB的中点。
∴ ED是△ABC的中位线，
∴ ED//AC，且$ED=\frac{1}{2}AC$。
∵ ED//AC，
∴ ∠GED=∠GCA，∠GDE=∠GAC，
∴ △GED∽△GCA。
∴ $\frac{GD}{GA}=\frac{ED}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴ GA=2GD。
又
∵ AD=GA+GD，
∴ AD=2GD+GD=3GD。
【答案】
AD=3GD，原命题得证
【知识点】
1. 三角形重心定义
2. 三角形中位线定理
3. 相似三角形的判定与性质
【点评】
本题围绕三角形重心的性质展开考察，解题的核心是通过构造中位线得到相似三角形，进而利用线段比例关系完成推导，属于三角形模块的基础综合题，熟练掌握中位线、相似三角形的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
19. (9分)在图14所示的方格纸中,△OAB的顶点分别为O(0,0),A(-2,-1),B(-1,-3),△O₁A₁B₁与△OAB是以点P为位似中心的位似图形。
(1)在图中标出位似中心P的位置,并写出点P及点B的对应点B₁的坐标;
(2)以原点O为位似中心,在位似中心的同侧画出与△OAB位似的△OA₂B₂,使它与△OAB的相似比为2:1,并写出点B的对应点B₂的坐标;
(3)△OAB内部一点M的坐标为(a,b),写出点M在△OA₂B₂中的对应点M₂的坐标。
(1)在图中标出位似中心P的位置,并写出点P及点B的对应点B₁的坐标;
(2)以原点O为位似中心,在位似中心的同侧画出与△OAB位似的△OA₂B₂,使它与△OAB的相似比为2:1,并写出点B的对应点B₂的坐标;
(3)△OAB内部一点M的坐标为(a,b),写出点M在△OA₂B₂中的对应点M₂的坐标。
答案
解：
(1) 连接对应点的连线$O_1O$、$A_1A$、$B_1B$，三条直线的交点即为位似中心$P$，
由方格纸可得：$P(-3,-1)$，点$B$的对应点$B_1$的坐标为$(3,-5)$。
(2) 分别延长$OA$、$OB$至点$A_2$、$B_2$，使$OA_2=2OA$，$OB_2=2OB$，顺次连接$O$、$A_2$、$B_2$，即可得到符合要求的$△ OA_2B_2$，
点$B$的对应点$B_2$的坐标为$(-2,-6)$。
(3) 以原点$O$为位似中心，相似比为$2:1$，且位似图形在位似中心同侧，因此点$M(a,b)$的对应点$M_2$的坐标为$(2a,2b)$。
(1) 连接对应点的连线$O_1O$、$A_1A$、$B_1B$，三条直线的交点即为位似中心$P$，
由方格纸可得：$P(-3,-1)$，点$B$的对应点$B_1$的坐标为$(3,-5)$。
(2) 分别延长$OA$、$OB$至点$A_2$、$B_2$，使$OA_2=2OA$，$OB_2=2OB$，顺次连接$O$、$A_2$、$B_2$，即可得到符合要求的$△ OA_2B_2$，
点$B$的对应点$B_2$的坐标为$(-2,-6)$。
(3) 以原点$O$为位似中心，相似比为$2:1$，且位似图形在位似中心同侧，因此点$M(a,b)$的对应点$M_2$的坐标为$(2a,2b)$。
解析
【分析】
1. 第(1)问：根据位似图形的性质，位似中心是所有对应点连线的公共交点，因此连接$O_1O$、$A_1A$、$B_1B$，三线交点就是位似中心$P$，再结合方格纸的单位长度即可读出$P$和$B_1$的坐标。
2. 第(2)问：以原点为位似中心且位似图形在同侧时，相似比为$2:1$意味着新图形各顶点坐标是原图形对应顶点坐标的2倍，也可以通过延长$OA$、$OB$，使$OA_2=2OA$、$OB_2=2OB$，找到$A_2$、$B_2$后顺次连接得到$△ OA_2B_2$，进而读出$B_2$的坐标。
3. 第(3)问：直接应用原点为位似中心、同侧位似变换的坐标变化规律，相似比为$k$时，点$(a,b)$的对应点坐标为$(ka,kb)$，代入$k=2$即可得到结果。
【解析】
(1) 分别连接对应点的连线$O_1O$、$A_1A$、$B_1B$，三条直线的交点即为位似中心$P$，结合方格纸的刻度可得：$P$的坐标为$(-3,-1)$，点$B$的对应点$B_1$的坐标为$(3,-5)$，在图中标出点$P$即可。
(2) 分别延长$OA$、$OB$至点$A_2$、$B_2$，使$OA_2=2OA$，$OB_2=2OB$，顺次连接$O$、$A_2$、$B_2$，即可得到符合要求的$△ OA_2B_2$，点$B(-1,-3)$的对应点$B_2$的坐标为$(-1×2,-3×2)=(-2,-6)$。
(3) 已知以原点$O$为位似中心，相似比为$2:1$，且两个位似图形在位似中心的同侧，因此点$M(a,b)$的对应点$M_2$的坐标为$(2a,2b)$。
【答案】
(1) 位似中心$P$位置见图标注，$P(-3,-1)$，$B_1(3,-5)$；
(2) $△ OA_2B_2$见图形绘制，$B_2(-2,-6)$；
(3) $M_2(2a,2b)$
【知识点】
位似图形的性质；位似变换的坐标规律；位似图形的画法
【点评】
本题侧重考查位似相关的基础知识点，从位似中心的确定、位似图形的绘制到位似变换下的坐标变化，层层递进，要求熟练掌握位似的性质并灵活应用解决问题。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：根据位似图形的性质，位似中心是所有对应点连线的公共交点，因此连接$O_1O$、$A_1A$、$B_1B$，三线交点就是位似中心$P$，再结合方格纸的单位长度即可读出$P$和$B_1$的坐标。
2. 第(2)问：以原点为位似中心且位似图形在同侧时，相似比为$2:1$意味着新图形各顶点坐标是原图形对应顶点坐标的2倍，也可以通过延长$OA$、$OB$，使$OA_2=2OA$、$OB_2=2OB$，找到$A_2$、$B_2$后顺次连接得到$△ OA_2B_2$，进而读出$B_2$的坐标。
3. 第(3)问：直接应用原点为位似中心、同侧位似变换的坐标变化规律，相似比为$k$时，点$(a,b)$的对应点坐标为$(ka,kb)$，代入$k=2$即可得到结果。
【解析】
(1) 分别连接对应点的连线$O_1O$、$A_1A$、$B_1B$，三条直线的交点即为位似中心$P$，结合方格纸的刻度可得：$P$的坐标为$(-3,-1)$，点$B$的对应点$B_1$的坐标为$(3,-5)$，在图中标出点$P$即可。
(2) 分别延长$OA$、$OB$至点$A_2$、$B_2$，使$OA_2=2OA$，$OB_2=2OB$，顺次连接$O$、$A_2$、$B_2$，即可得到符合要求的$△ OA_2B_2$，点$B(-1,-3)$的对应点$B_2$的坐标为$(-1×2,-3×2)=(-2,-6)$。
(3) 已知以原点$O$为位似中心，相似比为$2:1$，且两个位似图形在位似中心的同侧，因此点$M(a,b)$的对应点$M_2$的坐标为$(2a,2b)$。
【答案】
(1) 位似中心$P$位置见图标注，$P(-3,-1)$，$B_1(3,-5)$；
(2) $△ OA_2B_2$见图形绘制，$B_2(-2,-6)$；
(3) $M_2(2a,2b)$
【知识点】
位似图形的性质；位似变换的坐标规律；位似图形的画法
【点评】
本题侧重考查位似相关的基础知识点，从位似中心的确定、位似图形的绘制到位似变换下的坐标变化，层层递进，要求熟练掌握位似的性质并灵活应用解决问题。
【难度系数】
0.7
