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20. (9分)如图15,四边形ABCD为菱形,点E在AC的延长线上,∠ACD=∠ABE。
(1)求证:△ABC∽△AEB；
(2)当AB=6,AC=4时,求AE的长。
图15
(1)求证:△ABC∽△AEB；
(2)当AB=6,AC=4时,求AE的长。
图15答案
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ $AB// CD$，$AB=BC$，
∴ $∠ ACD = ∠ BAC$。
∵ $AB=BC$，
∴ $∠ BAC = ∠ ACB$，
∴ $∠ ACB = ∠ ACD$。
又∵ $∠ ACD = ∠ ABE$，
∴ $∠ ACB = ∠ ABE$。
又∵ $∠ BAC = ∠ EAB$（公共角），
∴ $△ ABC ∽ △ AEB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
---
(2) 解：
∵ $△ ABC ∽ △ AEB$，
∴ $\frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AB}$，即 $AB^2 = AC · AE$。
将$AB=6$，$AC=4$代入得：
$6^2 = 4 · AE$，
解得 $AE = 9$。
答：$AE$的长为9。
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ $AB// CD$，$AB=BC$，
∴ $∠ ACD = ∠ BAC$。
∵ $AB=BC$，
∴ $∠ BAC = ∠ ACB$，
∴ $∠ ACB = ∠ ACD$。
又∵ $∠ ACD = ∠ ABE$，
∴ $∠ ACB = ∠ ABE$。
又∵ $∠ BAC = ∠ EAB$（公共角），
∴ $△ ABC ∽ △ AEB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
---
(2) 解：
∵ $△ ABC ∽ △ AEB$，
∴ $\frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AB}$，即 $AB^2 = AC · AE$。
将$AB=6$，$AC=4$代入得：
$6^2 = 4 · AE$，
解得 $AE = 9$。
答：$AE$的长为9。
解析
【分析】
(1) 要证明△ABC∽△AEB，可通过证明两组对应角相等推导：首先利用菱形的性质，得到边的平行、相等关系，进而推出角的等量关系；再结合已知的∠ACD=∠ABE，转化得到一组对应角相等，加上两个三角形的公共角，即可满足相似的判定条件。
(2) 第一问已证两三角形相似，根据相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式，代入已知线段长度即可求出AE的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ $AB// CD$，$AB=BC$，
∴ $∠ ACD = ∠ BAC$。
∵ $AB=BC$，
∴ $∠ BAC = ∠ ACB$，
∴ $∠ ACB = ∠ ACD$。
又
∵ $∠ ACD = ∠ ABE$，
∴ $∠ ACB = ∠ ABE$。
又
∵ $∠ BAC = ∠ EAB$（公共角），
∴ $△ ABC ∽ △ AEB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
∵ $△ ABC ∽ △ AEB$，
∴ $\frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AB}$，即 $AB^2 = AC · AE$。
将$AB=6$，$AC=4$代入得：
$6^2 = 4 · AE$，
解得 $AE = 9$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $AE$的长为9。
【知识点】
菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于几何常规综合题，解题关键是熟练掌握菱形和相似三角形的相关定理，通过角的等量转化证明相似，再借助相似的比例关系求解线段长度，基础扎实即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△ABC∽△AEB，可通过证明两组对应角相等推导：首先利用菱形的性质，得到边的平行、相等关系，进而推出角的等量关系；再结合已知的∠ACD=∠ABE，转化得到一组对应角相等，加上两个三角形的公共角，即可满足相似的判定条件。
(2) 第一问已证两三角形相似，根据相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式，代入已知线段长度即可求出AE的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ $AB// CD$，$AB=BC$，
∴ $∠ ACD = ∠ BAC$。
∵ $AB=BC$，
∴ $∠ BAC = ∠ ACB$，
∴ $∠ ACB = ∠ ACD$。
又
∵ $∠ ACD = ∠ ABE$，
∴ $∠ ACB = ∠ ABE$。
又
∵ $∠ BAC = ∠ EAB$（公共角），
∴ $△ ABC ∽ △ AEB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
∵ $△ ABC ∽ △ AEB$，
∴ $\frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AB}$，即 $AB^2 = AC · AE$。
将$AB=6$，$AC=4$代入得：
$6^2 = 4 · AE$，
解得 $AE = 9$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $AE$的长为9。
【知识点】
菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于几何常规综合题，解题关键是熟练掌握菱形和相似三角形的相关定理，通过角的等量转化证明相似，再借助相似的比例关系求解线段长度，基础扎实即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
21. (10分)小聪和小兰想测量学校实验楼的高度,于是他们带着皮尺来到实验楼前进行测量。如图16,小聪站在距离实验楼AB 97 m的点C处,小兰从C点沿AC方向向前走3 m到点D处,发现教学楼的顶端B、小聪的头顶F和自己的眼睛点E在同一条直线上。已知小聪的身高CF为1.8 m,小兰眼睛到地面AD的距离DE为1.5 m,AB⊥AD,CF⊥AD,ED⊥AD,且A,C,D在同一条直线上。请根据以上数据,求实验楼AB的高度。
答案
解：
过点E作EG⊥AB，垂足为G，交CF于点H。
由题意得：$AC=97\ \mathrm{m}$，$CD=3\ \mathrm{m}$，
$\therefore AD=AC+CD=97+3=100\ \mathrm{m}$。
$\because AB⊥ AD$，$CF⊥ AD$，$DE⊥ AD$，$EG⊥ AB$，
$\therefore$ 四边形$EDAG$、四边形$EDCH$均为矩形，
$\therefore EH=CD=3\ \mathrm{m}$，$EG=AD=100\ \mathrm{m}$，$BG=AB-DE$，
$FH=CF-DE=1.8-1.5=0.3\ \mathrm{m}$。
又$\because FH// BG$，
$\therefore △ EFH ∽ △ EBG$，
$\therefore \frac{FH}{BG}=\frac{EH}{EG}$，
代入数据得：$\frac{0.3}{AB-1.5}=\frac{3}{100}$，
解得：$AB=11.5$。
答：实验楼AB的高度为11.5 m。
过点E作EG⊥AB，垂足为G，交CF于点H。
由题意得：$AC=97\ \mathrm{m}$，$CD=3\ \mathrm{m}$，
$\therefore AD=AC+CD=97+3=100\ \mathrm{m}$。
$\because AB⊥ AD$，$CF⊥ AD$，$DE⊥ AD$，$EG⊥ AB$，
$\therefore$ 四边形$EDAG$、四边形$EDCH$均为矩形，
$\therefore EH=CD=3\ \mathrm{m}$，$EG=AD=100\ \mathrm{m}$，$BG=AB-DE$，
$FH=CF-DE=1.8-1.5=0.3\ \mathrm{m}$。
又$\because FH// BG$，
$\therefore △ EFH ∽ △ EBG$，
$\therefore \frac{FH}{BG}=\frac{EH}{EG}$，
代入数据得：$\frac{0.3}{AB-1.5}=\frac{3}{100}$，
解得：$AB=11.5$。
答：实验楼AB的高度为11.5 m。
解析
【分析】
这是一道利用相似三角形测量高度的实际应用题，解题思路如下：首先观察到图中多条线段垂直于AD，可通过作辅助线EG⊥AB，构造出矩形和相似三角形：①先根据已知的AC、CD长度求出AD的长度，再利用矩形的性质得到EH、EG、FH的长度表达式；②由CF和AB都垂直于AD，可得FH//BG，从而证明△EFH和△EBG相似；③利用相似三角形对应边成比例的性质列出关于AB的方程，解方程即可求出AB的高度。
【解析】
解：过点E作EG⊥AB，垂足为G，交CF于点H。
由题意可知：$AC=97\ \mathrm{m}$，$CD=3\ \mathrm{m}$，
$\therefore AD=AC+CD=97+3=100\ \mathrm{m}$。
$\because AB⊥ AD$，$CF⊥ AD$，$ED⊥ AD$，$EG⊥ AB$，
$\therefore$ 四边形$EDAG$、四边形$EDCH$均为矩形，
$\therefore EH=CD=3\ \mathrm{m}$，$EG=AD=100\ \mathrm{m}$，$BG=AB-DE$，$FH=CF-DE=1.8-1.5=0.3\ \mathrm{m}$。
又$\because FH// BG$，
$\therefore △ EFH ∽ △ EBG$，
$\therefore \frac{FH}{BG}=\frac{EH}{EG}$，
代入数据得：$\frac{0.3}{AB-1.5}=\frac{3}{100}$，
解得：$AB=11.5$。
答：实验楼AB的高度为11.5 m。
【答案】
11.5 m
【知识点】
相似三角形的应用；矩形的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于实际测量类的几何问题，贴近生活场景，解题的核心是通过合理构造辅助线，将实际问题转化为相似三角形与矩形的几何模型，再利用相关性质列方程求解，能有效考查学生的建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
这是一道利用相似三角形测量高度的实际应用题，解题思路如下：首先观察到图中多条线段垂直于AD，可通过作辅助线EG⊥AB，构造出矩形和相似三角形：①先根据已知的AC、CD长度求出AD的长度，再利用矩形的性质得到EH、EG、FH的长度表达式；②由CF和AB都垂直于AD，可得FH//BG，从而证明△EFH和△EBG相似；③利用相似三角形对应边成比例的性质列出关于AB的方程，解方程即可求出AB的高度。
【解析】
解：过点E作EG⊥AB，垂足为G，交CF于点H。
由题意可知：$AC=97\ \mathrm{m}$，$CD=3\ \mathrm{m}$，
$\therefore AD=AC+CD=97+3=100\ \mathrm{m}$。
$\because AB⊥ AD$，$CF⊥ AD$，$ED⊥ AD$，$EG⊥ AB$，
$\therefore$ 四边形$EDAG$、四边形$EDCH$均为矩形，
$\therefore EH=CD=3\ \mathrm{m}$，$EG=AD=100\ \mathrm{m}$，$BG=AB-DE$，$FH=CF-DE=1.8-1.5=0.3\ \mathrm{m}$。
又$\because FH// BG$，
$\therefore △ EFH ∽ △ EBG$，
$\therefore \frac{FH}{BG}=\frac{EH}{EG}$，
代入数据得：$\frac{0.3}{AB-1.5}=\frac{3}{100}$，
解得：$AB=11.5$。
答：实验楼AB的高度为11.5 m。
【答案】
11.5 m
【知识点】
相似三角形的应用；矩形的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于实际测量类的几何问题，贴近生活场景，解题的核心是通过合理构造辅助线，将实际问题转化为相似三角形与矩形的几何模型，再利用相关性质列方程求解，能有效考查学生的建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
