登录
22. (10分)如图17,在$△ ABC$中,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,$DE// AC,EF// AB$。
(1)求证:$△ BDE∽ △ EFC$。
(2)设$\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$。
①若$BC=12$,求线段BE的长;
②若$△ EFC$的面积是20,求$△ ABC$的面积。
(1)求证:$△ BDE∽ △ EFC$。
(2)设$\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$。
①若$BC=12$,求线段BE的长;
②若$△ EFC$的面积是20,求$△ ABC$的面积。
答案
(1) 证明：
∵ $DE// AC$，
∴ $∠ DEB = ∠ C$。
∵ $EF// AB$，
∴ $∠ B = ∠ FEC$。
∴ $△ BDE ∽ △ EFC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
---
(2) 解：
① ∵ $EF// AB$，
∴ $\dfrac{CE}{BE} = \dfrac{FC}{AF}$。
∵ $\dfrac{AF}{FC}=\dfrac{1}{2}$，
∴ $\dfrac{FC}{AF}=2$，即 $CE=2BE$。
又∵ $BC=BE+CE=12$，
代入得 $BE + 2BE = 12$，
解得 $BE=4$。
② ∵ $EF// AB$，
∴ $△ EFC ∽ △ BAC$。
∵ $\dfrac{AF}{FC}=\dfrac{1}{2}$，
∴ $\dfrac{FC}{AC}=\dfrac{2}{1+2}=\dfrac{2}{3}$。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方：
$\dfrac{S_{△ EFC}}{S_{△ ABC}} = (\dfrac{FC}{AC})^2 = (\dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{4}{9}$。
∵ $S_{△ EFC}=20$，
∴ $S_{△ ABC}=20 × \dfrac{9}{4}=45$。
答：① 线段$BE$的长为$4$；② $△ ABC$的面积为$45$。
∵ $DE// AC$，
∴ $∠ DEB = ∠ C$。
∵ $EF// AB$，
∴ $∠ B = ∠ FEC$。
∴ $△ BDE ∽ △ EFC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
---
(2) 解：
① ∵ $EF// AB$，
∴ $\dfrac{CE}{BE} = \dfrac{FC}{AF}$。
∵ $\dfrac{AF}{FC}=\dfrac{1}{2}$，
∴ $\dfrac{FC}{AF}=2$，即 $CE=2BE$。
又∵ $BC=BE+CE=12$，
代入得 $BE + 2BE = 12$，
解得 $BE=4$。
② ∵ $EF// AB$，
∴ $△ EFC ∽ △ BAC$。
∵ $\dfrac{AF}{FC}=\dfrac{1}{2}$，
∴ $\dfrac{FC}{AC}=\dfrac{2}{1+2}=\dfrac{2}{3}$。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方：
$\dfrac{S_{△ EFC}}{S_{△ ABC}} = (\dfrac{FC}{AC})^2 = (\dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{4}{9}$。
∵ $S_{△ EFC}=20$，
∴ $S_{△ ABC}=20 × \dfrac{9}{4}=45$。
答：① 线段$BE$的长为$4$；② $△ ABC$的面积为$45$。
解析
【分析】
（1）证明两个三角形相似优先考虑两角对应相等的判定定理，结合题中两组平行线的条件，可通过平行线的同位角相等性质得到两组对应角相等，即可完成证明。
（2）① 已知线段比例$\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$和$BC$的总长，结合$EF// AB$的条件，可利用平行线分线段成比例定理得到$BE$与$CE$的比例关系，再结合$BC=BE+CE$的和差关系即可求解$BE$的长度。
② 要求$△ ABC$的面积，可先由$EF// AB$证明$△ EFC$与$△ BAC$相似，再根据已知比例求出两个三角形的相似比，利用相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，代入$△ EFC$的面积即可求出$△ ABC$的面积。
【解析】
(1) 证明：
∵ $DE// AC$，
∴ $∠ DEB = ∠ C$。
∵ $EF// AB$，
∴ $∠ B = ∠ FEC$。
∴ $△ BDE ∽ △ EFC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
①
∵ $EF// AB$，
∴ $\dfrac{CE}{BE} = \dfrac{FC}{AF}$。
∵ $\dfrac{AF}{FC}=\dfrac{1}{2}$，
∴ $\dfrac{FC}{AF}=2$，即 $CE=2BE$。
又
∵ $BC=BE+CE=12$，
代入得 $BE + 2BE = 12$，
解得 $BE=4$。
②
∵ $EF// AB$，
∴ $△ EFC ∽ △ BAC$。
∵ $\dfrac{AF}{FC}=\dfrac{1}{2}$，
∴ $\dfrac{FC}{AC}=\dfrac{2}{1+2}=\dfrac{2}{3}$。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方：
$\dfrac{S_{△ EFC}}{S_{△ ABC}} = (\dfrac{FC}{AC})^2 = (\dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{4}{9}$。
∵ $S_{△ EFC}=20$，
∴ $S_{△ ABC}=20 × \dfrac{9}{4}=45$。
【答案】
(1) $△ BDE ∽ △ EFC$，证明成立；
(2) ① 线段$BE$的长为$\boldsymbol{4}$；② $△ ABC$的面积为$\boldsymbol{45}$。
【知识点】
相似三角形的判定；平行线分线段成比例；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础综合题，核心考察平行线的性质、相似三角形的判定与性质的应用，解题的关键是能根据平行线条件找到对应角相等或者线段比例关系，是几何板块的常考题型。
【难度系数】
0.7
（1）证明两个三角形相似优先考虑两角对应相等的判定定理，结合题中两组平行线的条件，可通过平行线的同位角相等性质得到两组对应角相等，即可完成证明。
（2）① 已知线段比例$\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$和$BC$的总长，结合$EF// AB$的条件，可利用平行线分线段成比例定理得到$BE$与$CE$的比例关系，再结合$BC=BE+CE$的和差关系即可求解$BE$的长度。
② 要求$△ ABC$的面积，可先由$EF// AB$证明$△ EFC$与$△ BAC$相似，再根据已知比例求出两个三角形的相似比，利用相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，代入$△ EFC$的面积即可求出$△ ABC$的面积。
【解析】
(1) 证明：
∵ $DE// AC$，
∴ $∠ DEB = ∠ C$。
∵ $EF// AB$，
∴ $∠ B = ∠ FEC$。
∴ $△ BDE ∽ △ EFC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
①
∵ $EF// AB$，
∴ $\dfrac{CE}{BE} = \dfrac{FC}{AF}$。
∵ $\dfrac{AF}{FC}=\dfrac{1}{2}$，
∴ $\dfrac{FC}{AF}=2$，即 $CE=2BE$。
又
∵ $BC=BE+CE=12$，
代入得 $BE + 2BE = 12$，
解得 $BE=4$。
②
∵ $EF// AB$，
∴ $△ EFC ∽ △ BAC$。
∵ $\dfrac{AF}{FC}=\dfrac{1}{2}$，
∴ $\dfrac{FC}{AC}=\dfrac{2}{1+2}=\dfrac{2}{3}$。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方：
$\dfrac{S_{△ EFC}}{S_{△ ABC}} = (\dfrac{FC}{AC})^2 = (\dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{4}{9}$。
∵ $S_{△ EFC}=20$，
∴ $S_{△ ABC}=20 × \dfrac{9}{4}=45$。
【答案】
(1) $△ BDE ∽ △ EFC$，证明成立；
(2) ① 线段$BE$的长为$\boldsymbol{4}$；② $△ ABC$的面积为$\boldsymbol{45}$。
【知识点】
相似三角形的判定；平行线分线段成比例；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础综合题，核心考察平行线的性质、相似三角形的判定与性质的应用，解题的关键是能根据平行线条件找到对应角相等或者线段比例关系，是几何板块的常考题型。
【难度系数】
0.7
23. (11分)如图18,在矩形ABCD中,$AD=kAB(k＞0)$,E是线段CB延长线上的一个动点,连接AE,过点A作$AF⊥AE$,交射线DC于点F。
(1)如图18①,若$k=1$,则AF与AE之间的数量关系是;
(2)如图18②,若$k≠1$,试判断AF与AE之间的数量关系,写出结论并证明;(用含k的式子表示)
(3)若$AD=2AB=4$,连接BD交AF于点G,连接EG,当$CF=1$时,求EG的长。
(1)如图18①,若$k=1$,则AF与AE之间的数量关系是;
(2)如图18②,若$k≠1$,试判断AF与AE之间的数量关系,写出结论并证明;(用含k的式子表示)
(3)若$AD=2AB=4$,连接BD交AF于点G,连接EG,当$CF=1$时,求EG的长。
答案
解：(1) $AE=AF$
(2) $AF=kAE$，证明如下：
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $∠ BAD=∠ ABC=∠ D=90°$，
∴ $∠ ABE=180°-∠ ABC=90°$，即$∠ ABE=∠ D$。
∵ $AF⊥ AE$，
∴ $∠ EAF=90°$，
∴ $∠ EAB+∠ BAF=90°$，$∠ FAD+∠ BAF=90°$，
∴ $∠ EAB=∠ FAD$。
∴ $△ ABE ∽ △ ADF$，
∴ $\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AD}$。
∵ $AD=kAB$，
∴ $\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{1}{k}$，
∴ $\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{1}{k}$，即$AF=kAE$。
(3) ∵ $AD=2AB=4$，
∴ $AB=2$，$AD=4$，$k=2$，$CD=AB=2$，由(2)得$AF=2AE$。
分两种情况讨论：
① 当点$F$在线段$DC$上时，
$DF=CD-CF=2-1=1$。
∵ $AB// DF$，
∴ $∠ GAB=∠ GFD$，$∠ GBA=∠ GDF$，
∴ $△ ABG ∽ △ FDG$，
∴ $\dfrac{AG}{GF}=\dfrac{AB}{DF}=\dfrac{2}{1}$，即$AG=\dfrac{2}{3}AF$。
在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，$AF=\sqrt{AD^2+DF^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$，
∴ $AG=\dfrac{2\sqrt{17}}{3}$，$AE=\dfrac{AF}{2}=\dfrac{\sqrt{17}}{2}$。
∵ $∠ EAF=90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ EAG$中，
$EG=\sqrt{AE^2+AG^2}=\sqrt{(\dfrac{\sqrt{17}}{2})^2+(\dfrac{2\sqrt{17}}{3})^2}=\dfrac{5\sqrt{17}}{6}$。
② 当点$F$在线段$DC$的延长线上时，
$DF=CD+CF=2+1=3$。
∵ $AB// DF$，
∴ $∠ GAB=∠ GFD$，$∠ GBA=∠ GDF$，
∴ $△ ABG ∽ △ FDG$，
∴ $\dfrac{AG}{GF}=\dfrac{AB}{DF}=\dfrac{2}{3}$，即$AG=\dfrac{2}{5}AF$。
在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，$AF=\sqrt{AD^2+DF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
∴ $AG=2$，$AE=\dfrac{AF}{2}=\dfrac{5}{2}$。
∵ $∠ EAF=90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ EAG$中，
$EG=\sqrt{AE^2+AG^2}=\sqrt{(\dfrac{5}{2})^2+2^2}=\dfrac{\sqrt{41}}{2}$。
综上，$EG$的长为$\dfrac{5\sqrt{17}}{6}$或$\dfrac{\sqrt{41}}{2}$。
(2) $AF=kAE$，证明如下：
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $∠ BAD=∠ ABC=∠ D=90°$，
∴ $∠ ABE=180°-∠ ABC=90°$，即$∠ ABE=∠ D$。
∵ $AF⊥ AE$，
∴ $∠ EAF=90°$，
∴ $∠ EAB+∠ BAF=90°$，$∠ FAD+∠ BAF=90°$，
∴ $∠ EAB=∠ FAD$。
∴ $△ ABE ∽ △ ADF$，
∴ $\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AD}$。
∵ $AD=kAB$，
∴ $\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{1}{k}$，
∴ $\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{1}{k}$，即$AF=kAE$。
(3) ∵ $AD=2AB=4$，
∴ $AB=2$，$AD=4$，$k=2$，$CD=AB=2$，由(2)得$AF=2AE$。
分两种情况讨论：
① 当点$F$在线段$DC$上时，
$DF=CD-CF=2-1=1$。
∵ $AB// DF$，
∴ $∠ GAB=∠ GFD$，$∠ GBA=∠ GDF$，
∴ $△ ABG ∽ △ FDG$，
∴ $\dfrac{AG}{GF}=\dfrac{AB}{DF}=\dfrac{2}{1}$，即$AG=\dfrac{2}{3}AF$。
在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，$AF=\sqrt{AD^2+DF^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$，
∴ $AG=\dfrac{2\sqrt{17}}{3}$，$AE=\dfrac{AF}{2}=\dfrac{\sqrt{17}}{2}$。
∵ $∠ EAF=90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ EAG$中，
$EG=\sqrt{AE^2+AG^2}=\sqrt{(\dfrac{\sqrt{17}}{2})^2+(\dfrac{2\sqrt{17}}{3})^2}=\dfrac{5\sqrt{17}}{6}$。
② 当点$F$在线段$DC$的延长线上时，
$DF=CD+CF=2+1=3$。
∵ $AB// DF$，
∴ $∠ GAB=∠ GFD$，$∠ GBA=∠ GDF$，
∴ $△ ABG ∽ △ FDG$，
∴ $\dfrac{AG}{GF}=\dfrac{AB}{DF}=\dfrac{2}{3}$，即$AG=\dfrac{2}{5}AF$。
在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，$AF=\sqrt{AD^2+DF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
∴ $AG=2$，$AE=\dfrac{AF}{2}=\dfrac{5}{2}$。
∵ $∠ EAF=90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ EAG$中，
$EG=\sqrt{AE^2+AG^2}=\sqrt{(\dfrac{5}{2})^2+2^2}=\dfrac{\sqrt{41}}{2}$。
综上，$EG$的长为$\dfrac{5\sqrt{17}}{6}$或$\dfrac{\sqrt{41}}{2}$。
解析
【分析】
(1) 当$k=1$时，$AD=AB$，矩形$ABCD$为正方形；先由$∠EAF=∠BAD=90°$推导得$∠EAB=∠FAD$，再结合$∠ABE=∠D=90°$、$AB=AD$，可证明$△ABE≌△ADF$，即可得到$AE$与$AF$的数量关系。
(2) 当$k≠1$时，同理先推导$∠EAB=∠FAD$、$∠ABE=∠D=90°$，可证$△ABE∽△ADF$；根据相似三角形对应边成比例，结合$AD=kAB$的条件，即可推导$AF$与$AE$的数量关系。
(3) 先由$AD=2AB=4$求出$AB$、$AD$的长度，确定$k=2$；再分两种情况讨论：①点$F$在线段$DC$上，②点$F$在$DC$的延长线上，分别求出$DF$的长；由$AB// CD$证明$△ABG∽△FDG$，得到$AG$与$AF$的比例关系，用勾股定理求出$AF$、$AE$的长度，最后在$Rt△EAG$中用勾股定理计算$EG$的长度即可。
【解析】
(1) 当$k=1$时，$AD=AB$，矩形$ABCD$是正方形，$∠BAD=∠ABC=∠D=90°$，$∠ABE=90°=∠D$。
$\because AF⊥AE$，$\therefore ∠EAF=90°$，$\therefore ∠EAB+∠BAF=∠FAD+∠BAF=90°$，即$∠EAB=∠FAD$。
$\therefore △ABE≌△ADF(ASA)$，$\therefore AE=AF$。
(2) $AF=kAE$，证明如下：
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore ∠ BAD=∠ ABC=∠ D=90°$，
$\therefore ∠ ABE=180°-∠ ABC=90°$，即$∠ ABE=∠ D$。
$\because AF⊥ AE$，
$\therefore ∠ EAF=90°$，
$\therefore ∠ EAB+∠ BAF=90°$，$∠ FAD+∠ BAF=90°$，
$\therefore ∠ EAB=∠ FAD$。
$\therefore △ ABE ∽ △ ADF$，
$\therefore \dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AD}$。
$\because AD=kAB$，
$\therefore \dfrac{AB}{AD}=\dfrac{1}{k}$，
$\therefore \dfrac{AE}{AF}=\dfrac{1}{k}$，即$AF=kAE$。
(3) $\because AD=2AB=4$，
$\therefore AB=2$，$AD=4$，$k=2$，$CD=AB=2$，由(2)得$AF=2AE$。
分两种情况讨论：
① 当点$F$在线段$DC$上时，
$DF=CD-CF=2-1=1$。
$\because AB// DF$，
$\therefore ∠ GAB=∠ GFD$，$∠ GBA=∠ GDF$，
$\therefore △ ABG ∽ △ FDG$，
$\therefore \dfrac{AG}{GF}=\dfrac{AB}{DF}=\dfrac{2}{1}$，即$AG=\dfrac{2}{3}AF$。
在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，$AF=\sqrt{AD^2+DF^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$，
$\therefore AG=\dfrac{2\sqrt{17}}{3}$，$AE=\dfrac{AF}{2}=\dfrac{\sqrt{17}}{2}$。
$\because ∠ EAF=90°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ EAG$中，
$EG=\sqrt{AE^2+AG^2}=\sqrt{(\dfrac{\sqrt{17}}{2})^2+(\dfrac{2\sqrt{17}}{3})^2}=\dfrac{5\sqrt{17}}{6}$。
② 当点$F$在线段$DC$的延长线上时，
$DF=CD+CF=2+1=3$。
$\because AB// DF$，
$\therefore ∠ GAB=∠ GFD$，$∠ GBA=∠ GDF$，
$\therefore △ ABG ∽ △ FDG$，
$\therefore \dfrac{AG}{GF}=\dfrac{AB}{DF}=\dfrac{2}{3}$，即$AG=\dfrac{2}{5}AF$。
在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，$AF=\sqrt{AD^2+DF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
$\therefore AG=2$，$AE=\dfrac{AF}{2}=\dfrac{5}{2}$。
$\because ∠ EAF=90°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ EAG$中，
$EG=\sqrt{AE^2+AG^2}=\sqrt{(\dfrac{5}{2})^2+2^2}=\dfrac{\sqrt{41}}{2}$。
综上，$EG$的长为$\dfrac{5\sqrt{17}}{6}$或$\dfrac{\sqrt{41}}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AE=AF}$；(2) $\boldsymbol{AF=kAE}$；(3) $EG$的长为$\boldsymbol{\dfrac{5\sqrt{17}}{6}}$或$\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{41}}{2}}$
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是四边形综合题，融合了全等三角形判定、相似三角形的性质、矩形的性质、勾股定理等多个考点，第三问需要分类讨论点$F$的位置，避免漏解，能够很好地考查几何知识的综合运用能力和分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.3
(1) 当$k=1$时，$AD=AB$，矩形$ABCD$为正方形；先由$∠EAF=∠BAD=90°$推导得$∠EAB=∠FAD$，再结合$∠ABE=∠D=90°$、$AB=AD$，可证明$△ABE≌△ADF$，即可得到$AE$与$AF$的数量关系。
(2) 当$k≠1$时，同理先推导$∠EAB=∠FAD$、$∠ABE=∠D=90°$，可证$△ABE∽△ADF$；根据相似三角形对应边成比例，结合$AD=kAB$的条件，即可推导$AF$与$AE$的数量关系。
(3) 先由$AD=2AB=4$求出$AB$、$AD$的长度，确定$k=2$；再分两种情况讨论：①点$F$在线段$DC$上，②点$F$在$DC$的延长线上，分别求出$DF$的长；由$AB// CD$证明$△ABG∽△FDG$，得到$AG$与$AF$的比例关系，用勾股定理求出$AF$、$AE$的长度，最后在$Rt△EAG$中用勾股定理计算$EG$的长度即可。
【解析】
(1) 当$k=1$时，$AD=AB$，矩形$ABCD$是正方形，$∠BAD=∠ABC=∠D=90°$，$∠ABE=90°=∠D$。
$\because AF⊥AE$，$\therefore ∠EAF=90°$，$\therefore ∠EAB+∠BAF=∠FAD+∠BAF=90°$，即$∠EAB=∠FAD$。
$\therefore △ABE≌△ADF(ASA)$，$\therefore AE=AF$。
(2) $AF=kAE$，证明如下：
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore ∠ BAD=∠ ABC=∠ D=90°$，
$\therefore ∠ ABE=180°-∠ ABC=90°$，即$∠ ABE=∠ D$。
$\because AF⊥ AE$，
$\therefore ∠ EAF=90°$，
$\therefore ∠ EAB+∠ BAF=90°$，$∠ FAD+∠ BAF=90°$，
$\therefore ∠ EAB=∠ FAD$。
$\therefore △ ABE ∽ △ ADF$，
$\therefore \dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AD}$。
$\because AD=kAB$，
$\therefore \dfrac{AB}{AD}=\dfrac{1}{k}$，
$\therefore \dfrac{AE}{AF}=\dfrac{1}{k}$，即$AF=kAE$。
(3) $\because AD=2AB=4$，
$\therefore AB=2$，$AD=4$，$k=2$，$CD=AB=2$，由(2)得$AF=2AE$。
分两种情况讨论：
① 当点$F$在线段$DC$上时，
$DF=CD-CF=2-1=1$。
$\because AB// DF$，
$\therefore ∠ GAB=∠ GFD$，$∠ GBA=∠ GDF$，
$\therefore △ ABG ∽ △ FDG$，
$\therefore \dfrac{AG}{GF}=\dfrac{AB}{DF}=\dfrac{2}{1}$，即$AG=\dfrac{2}{3}AF$。
在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，$AF=\sqrt{AD^2+DF^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$，
$\therefore AG=\dfrac{2\sqrt{17}}{3}$，$AE=\dfrac{AF}{2}=\dfrac{\sqrt{17}}{2}$。
$\because ∠ EAF=90°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ EAG$中，
$EG=\sqrt{AE^2+AG^2}=\sqrt{(\dfrac{\sqrt{17}}{2})^2+(\dfrac{2\sqrt{17}}{3})^2}=\dfrac{5\sqrt{17}}{6}$。
② 当点$F$在线段$DC$的延长线上时，
$DF=CD+CF=2+1=3$。
$\because AB// DF$，
$\therefore ∠ GAB=∠ GFD$，$∠ GBA=∠ GDF$，
$\therefore △ ABG ∽ △ FDG$，
$\therefore \dfrac{AG}{GF}=\dfrac{AB}{DF}=\dfrac{2}{3}$，即$AG=\dfrac{2}{5}AF$。
在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，$AF=\sqrt{AD^2+DF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
$\therefore AG=2$，$AE=\dfrac{AF}{2}=\dfrac{5}{2}$。
$\because ∠ EAF=90°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ EAG$中，
$EG=\sqrt{AE^2+AG^2}=\sqrt{(\dfrac{5}{2})^2+2^2}=\dfrac{\sqrt{41}}{2}$。
综上，$EG$的长为$\dfrac{5\sqrt{17}}{6}$或$\dfrac{\sqrt{41}}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AE=AF}$；(2) $\boldsymbol{AF=kAE}$；(3) $EG$的长为$\boldsymbol{\dfrac{5\sqrt{17}}{6}}$或$\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{41}}{2}}$
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是四边形综合题，融合了全等三角形判定、相似三角形的性质、矩形的性质、勾股定理等多个考点，第三问需要分类讨论点$F$的位置，避免漏解，能够很好地考查几何知识的综合运用能力和分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.3
