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13.(2024·云南)如图9,AB与CD交于点O,且AC//BD。若$\frac{OA+OC+AC}{OB+OD+BD}=\frac{1}{2}$,则$\frac{AC}{BD}=$。
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
解析
【分析】
看到AC//BD的条件，首先可推导得到△AOC和△BOD相似；再观察已知等式的分子和分母，分别是△AOC和△BOD的周长，根据相似三角形的周长比等于相似比的性质，即可直接得到对应边AC与BD的比值，也就是所求结果。
【解析】
解：
∵AC//BD，
∴∠A=∠B，∠C=∠D（两直线平行，内错角相等），
∴△AOC∽△BOD（两角分别相等的两个三角形相似）。
由相似三角形的性质可知：相似三角形的周长比等于相似比。
已知$\frac{OA+OC+AC}{OB+OD+BD}=\frac{1}{2}$，其中$OA+OC+AC$是△AOC的周长，$OB+OD+BD$是△BOD的周长，
∴△AOC与△BOD的相似比为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
平行线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查相似三角形的判定及性质的应用，解题的突破口是识别出已知比值对应两个相似三角形的周长比，熟练掌握相似三角形周长比等于相似比的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
看到AC//BD的条件，首先可推导得到△AOC和△BOD相似；再观察已知等式的分子和分母，分别是△AOC和△BOD的周长，根据相似三角形的周长比等于相似比的性质，即可直接得到对应边AC与BD的比值，也就是所求结果。
【解析】
解：
∵AC//BD，
∴∠A=∠B，∠C=∠D（两直线平行，内错角相等），
∴△AOC∽△BOD（两角分别相等的两个三角形相似）。
由相似三角形的性质可知：相似三角形的周长比等于相似比。
已知$\frac{OA+OC+AC}{OB+OD+BD}=\frac{1}{2}$，其中$OA+OC+AC$是△AOC的周长，$OB+OD+BD$是△BOD的周长，
∴△AOC与△BOD的相似比为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
平行线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查相似三角形的判定及性质的应用，解题的突破口是识别出已知比值对应两个相似三角形的周长比，熟练掌握相似三角形周长比等于相似比的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
14. 如图10，把一个长方形划分成三个全等的长方形，若要使每个小长方形与原长方形都相似，则原长方形的长与宽的比为。
答案
$\sqrt{3}$
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以利用相似多边形的核心性质：对应边成比例。首先设出原长方形的长和宽，再根据“划分成三个全等长方形”的条件，推导小长方形的长、宽与原长方形长、宽的关系，最后根据相似的性质列比例式求解，注意边长为正数，开方时仅取正根即可。
【解析】
解：设原长方形的长为$a$，宽为$b$（$a＞0,b＞0$）。
∵ 原长方形被划分为三个全等的小长方形，
∴ 每个小长方形的长等于原长方形的宽$b$，每个小长方形的宽为原长方形长的$\frac{1}{3}$，即$\frac{a}{3}$。
∵ 小长方形与原长方形相似，根据相似多边形对应边成比例可得：
$\frac{a}{b}=\frac{b}{\frac{a}{3}}$
整理得：$\frac{a}{b}=\frac{3b}{a}$
交叉相乘得：$a^2=3b^2$
∵ $a、b$均为正数，对等式两边同时开方得：$a=\sqrt{3}b$
∴ $\frac{a}{b}=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
相似多边形的性质；比例的基本性质；长方形的性质
【点评】
本题是相似图形性质的基础应用题型，解题的关键是准确对应大小长方形的边，避免边对应错误导致比例式列错，计算时注意结合边长的实际意义取正根即可。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以利用相似多边形的核心性质：对应边成比例。首先设出原长方形的长和宽，再根据“划分成三个全等长方形”的条件，推导小长方形的长、宽与原长方形长、宽的关系，最后根据相似的性质列比例式求解，注意边长为正数，开方时仅取正根即可。
【解析】
解：设原长方形的长为$a$，宽为$b$（$a＞0,b＞0$）。
∵ 原长方形被划分为三个全等的小长方形，
∴ 每个小长方形的长等于原长方形的宽$b$，每个小长方形的宽为原长方形长的$\frac{1}{3}$，即$\frac{a}{3}$。
∵ 小长方形与原长方形相似，根据相似多边形对应边成比例可得：
$\frac{a}{b}=\frac{b}{\frac{a}{3}}$
整理得：$\frac{a}{b}=\frac{3b}{a}$
交叉相乘得：$a^2=3b^2$
∵ $a、b$均为正数，对等式两边同时开方得：$a=\sqrt{3}b$
∴ $\frac{a}{b}=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
相似多边形的性质；比例的基本性质；长方形的性质
【点评】
本题是相似图形性质的基础应用题型，解题的关键是准确对应大小长方形的边，避免边对应错误导致比例式列错，计算时注意结合边长的实际意义取正根即可。
【难度系数】
0.7
15.(2025·烟台)如图11,在平面直角坐标系中,点P的坐标为$(6,\dfrac{3}{2})$,$△ ABC$的顶点A的坐标为$(4,3)$。以点P为位似中心作$△ A_{1}B_{1}C_{1}$与$△ ABC$位似,相似比为2,且与$△ ABC$位于点P同侧;以点P为位似中心作$△ A_{2}B_{2}C_{2}$与$△ A_{1}B_{1}C_{1}$位似,相似比为2,且与$△ A_{1}B_{1}C_{1}$位于点P同侧……,按照以上规律作图,点$A_{3}$的坐标为。
答案
解：
点$P(6,\dfrac{3}{2})$，点$A(4,3)$，
点$A$相对于点$P$的横、纵坐标差分别为：
$4-6=-2$，$3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}$。
第一次位似，相似比为2，点$A_1$相对于点$P$的横、纵坐标差为：
$-2× 2=-4$，$\dfrac{3}{2}× 2=3$，
得$A_1$的坐标为$(6-4,\dfrac{3}{2}+3)=(2,\dfrac{9}{2})$。
第二次位似，相似比为2，点$A_2$相对于点$P$的横、纵坐标差为：
$-4× 2=-8$，$3× 2=6$，
得$A_2$的坐标为$(6-8,\dfrac{3}{2}+6)=(-2,\dfrac{15}{2})$。
第三次位似，相似比为2，点$A_3$相对于点$P$的横、纵坐标差为：
$-8× 2=-16$，$6× 2=12$，
得$A_3$的坐标为$(6-16,\dfrac{3}{2}+12)=(-10,\dfrac{27}{2})$。
$\boxed{(-10,\dfrac{27}{2})}$
点$P(6,\dfrac{3}{2})$，点$A(4,3)$，
点$A$相对于点$P$的横、纵坐标差分别为：
$4-6=-2$，$3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}$。
第一次位似，相似比为2，点$A_1$相对于点$P$的横、纵坐标差为：
$-2× 2=-4$，$\dfrac{3}{2}× 2=3$，
得$A_1$的坐标为$(6-4,\dfrac{3}{2}+3)=(2,\dfrac{9}{2})$。
第二次位似，相似比为2，点$A_2$相对于点$P$的横、纵坐标差为：
$-4× 2=-8$，$3× 2=6$，
得$A_2$的坐标为$(6-8,\dfrac{3}{2}+6)=(-2,\dfrac{15}{2})$。
第三次位似，相似比为2，点$A_3$相对于点$P$的横、纵坐标差为：
$-8× 2=-16$，$6× 2=12$，
得$A_3$的坐标为$(6-16,\dfrac{3}{2}+12)=(-10,\dfrac{27}{2})$。
$\boxed{(-10,\dfrac{27}{2})}$
解析
【分析】
本题考查位似变换下的坐标规律求解，解题思路如下：首先明确位似中心是点P而非坐标原点，因此不能直接将点的坐标乘相似比，需先计算点A相对于位似中心P的横、纵坐标差值；由于每次位似都以P为中心、相似比为2且和原图形在P同侧，因此每次变换后对应点相对于P的坐标差都是前一次的2倍，依次计算出A₁、A₂、A₃相对P的坐标差后，再结合P的坐标即可求出A₃的坐标。
【解析】
已知点P的坐标为$(6,\dfrac{3}{2})$，点A的坐标为$(4,3)$：
1. 计算点A相对于点P的横、纵坐标差：
横坐标差：$4-6=-2$，纵坐标差：$3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}$。
2. 第一次位似（得到$△ A_1B_1C_1$），相似比为2且与$△ ABC$在P同侧，点A₁相对P的坐标差为原差乘2：
横坐标差：$-2×2=-4$，纵坐标差：$\dfrac{3}{2}×2=3$，
因此$A_1$的坐标为$(6-4,\dfrac{3}{2}+3)=(2,\dfrac{9}{2})$。
3. 第二次位似（得到$△ A_2B_2C_2$），相似比为2且与$△ A_1B_1C_1$在P同侧，点A₂相对P的坐标差为A₁对应差乘2：
横坐标差：$-4×2=-8$，纵坐标差：$3×2=6$，
因此$A_2$的坐标为$(6-8,\dfrac{3}{2}+6)=(-2,\dfrac{15}{2})$。
4. 第三次位似（得到$△ A_3B_3C_3$），相似比为2且与$△ A_2B_2C_2$在P同侧，点A₃相对P的坐标差为A₂对应差乘2：
横坐标差：$-8×2=-16$，纵坐标差：$6×2=12$，
因此$A_3$的坐标为$(6-16,\dfrac{3}{2}+12)=(-10,\dfrac{27}{2})$。
【答案】
$\boxed{(-10,\dfrac{27}{2})}$
【知识点】
位似的性质，坐标与图形变换，规律探究
【点评】
本题将位似变换和规律探究结合，核心是掌握以非原点为位似中心时的坐标计算方法，需先计算对应点相对位似中心的坐标差，再结合相似比和位似方向计算新坐标，易错点是忽略位似中心不是原点，直接将原坐标乘相似比。
【难度系数】
0.6
本题考查位似变换下的坐标规律求解，解题思路如下：首先明确位似中心是点P而非坐标原点，因此不能直接将点的坐标乘相似比，需先计算点A相对于位似中心P的横、纵坐标差值；由于每次位似都以P为中心、相似比为2且和原图形在P同侧，因此每次变换后对应点相对于P的坐标差都是前一次的2倍，依次计算出A₁、A₂、A₃相对P的坐标差后，再结合P的坐标即可求出A₃的坐标。
【解析】
已知点P的坐标为$(6,\dfrac{3}{2})$，点A的坐标为$(4,3)$：
1. 计算点A相对于点P的横、纵坐标差：
横坐标差：$4-6=-2$，纵坐标差：$3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}$。
2. 第一次位似（得到$△ A_1B_1C_1$），相似比为2且与$△ ABC$在P同侧，点A₁相对P的坐标差为原差乘2：
横坐标差：$-2×2=-4$，纵坐标差：$\dfrac{3}{2}×2=3$，
因此$A_1$的坐标为$(6-4,\dfrac{3}{2}+3)=(2,\dfrac{9}{2})$。
3. 第二次位似（得到$△ A_2B_2C_2$），相似比为2且与$△ A_1B_1C_1$在P同侧，点A₂相对P的坐标差为A₁对应差乘2：
横坐标差：$-4×2=-8$，纵坐标差：$3×2=6$，
因此$A_2$的坐标为$(6-8,\dfrac{3}{2}+6)=(-2,\dfrac{15}{2})$。
4. 第三次位似（得到$△ A_3B_3C_3$），相似比为2且与$△ A_2B_2C_2$在P同侧，点A₃相对P的坐标差为A₂对应差乘2：
横坐标差：$-8×2=-16$，纵坐标差：$6×2=12$，
因此$A_3$的坐标为$(6-16,\dfrac{3}{2}+12)=(-10,\dfrac{27}{2})$。
【答案】
$\boxed{(-10,\dfrac{27}{2})}$
【知识点】
位似的性质，坐标与图形变换，规律探究
【点评】
本题将位似变换和规律探究结合，核心是掌握以非原点为位似中心时的坐标计算方法，需先计算对应点相对位似中心的坐标差，再结合相似比和位似方向计算新坐标，易错点是忽略位似中心不是原点，直接将原坐标乘相似比。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共75分)
16. (8分)已知$\frac{a+2}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c+5}{6}$，且$2a - b + 3c =21$，试求$a:b:c$。
16. (8分)已知$\frac{a+2}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c+5}{6}$，且$2a - b + 3c =21$，试求$a:b:c$。
答案
解：设$\frac{a+2}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c+5}{6}=k$，
则$a=3k-2$，$b=4k$，$c=6k-5$。
将$a=3k-2$，$b=4k$，$c=6k-5$代入$2a - b + 3c = 21$，得：
$2(3k-2) - 4k + 3(6k-5) = 21$
展开整理得：
$6k - 4 - 4k + 18k - 15 = 21$
$20k = 40$
解得$k=2$。
因此$a=3×2 -2=4$，$b=4×2=8$，$c=6×2 -5=7$，
可得$a:b:c=4:8:7$。
则$a=3k-2$，$b=4k$，$c=6k-5$。
将$a=3k-2$，$b=4k$，$c=6k-5$代入$2a - b + 3c = 21$，得：
$2(3k-2) - 4k + 3(6k-5) = 21$
展开整理得：
$6k - 4 - 4k + 18k - 15 = 21$
$20k = 40$
解得$k=2$。
因此$a=3×2 -2=4$，$b=4×2=8$，$c=6×2 -5=7$，
可得$a:b:c=4:8:7$。
解析
【分析】
遇到连等的比例式时，通常采用设参数的方法解题：先设这个相等的比值为参数k，即可将a、b、c三个未知数全部用含k的代数式表示，再将其代入已知的等式2a - b + 3c =21中，就能得到只含k的一元一次方程，解出k的值后即可求出a、b、c的具体数值，最后计算三者的比值即可。
【解析】
解：设$\frac{a+2}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c+5}{6}=k$，
则$a=3k-2$，$b=4k$，$c=6k-5$。
将$a=3k-2$，$b=4k$，$c=6k-5$代入$2a - b + 3c = 21$，得：
$2(3k-2) - 4k + 3(6k-5) = 21$
展开整理得：
$6k - 4 - 4k + 18k - 15 = 21$
$20k = 40$
解得$k=2$。
因此$a=3×2 -2=4$，$b=4×2=8$，$c=6×2 -5=7$，
可得$a:b:c=4:8:7$。
【答案】
$4:8:7$
【知识点】
比例的性质；一元一次方程的解法；连比计算
【点评】
本题是比例应用的常规题型，解题核心是掌握连等比例式设参数的转化思想，将多个未知量转化为单个参数求解，运算时注意去括号、移项的符号问题，避免计算失误。
【难度系数】
0.75
遇到连等的比例式时，通常采用设参数的方法解题：先设这个相等的比值为参数k，即可将a、b、c三个未知数全部用含k的代数式表示，再将其代入已知的等式2a - b + 3c =21中，就能得到只含k的一元一次方程，解出k的值后即可求出a、b、c的具体数值，最后计算三者的比值即可。
【解析】
解：设$\frac{a+2}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c+5}{6}=k$，
则$a=3k-2$，$b=4k$，$c=6k-5$。
将$a=3k-2$，$b=4k$，$c=6k-5$代入$2a - b + 3c = 21$，得：
$2(3k-2) - 4k + 3(6k-5) = 21$
展开整理得：
$6k - 4 - 4k + 18k - 15 = 21$
$20k = 40$
解得$k=2$。
因此$a=3×2 -2=4$，$b=4×2=8$，$c=6×2 -5=7$，
可得$a:b:c=4:8:7$。
【答案】
$4:8:7$
【知识点】
比例的性质；一元一次方程的解法；连比计算
【点评】
本题是比例应用的常规题型，解题核心是掌握连等比例式设参数的转化思想，将多个未知量转化为单个参数求解，运算时注意去括号、移项的符号问题，避免计算失误。
【难度系数】
0.75
17. (9分)如图12,在△ABC和△DEF中,AB=3DE,AC=3DF,∠A=∠D,△ABC的周长是27,求△DEF的周长。
答案
解：
∵ AB = 3DE，AC = 3DF，
∴ $\frac{AB}{DE} = 3$，$\frac{AC}{DF} = 3$，
又∵ ∠A = ∠D，
∴ △ABC ∽ △DEF（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ △ABC与△DEF的相似比为3。
由相似三角形的周长比等于相似比，可得：
$\frac{C_{△ ABC}}{C_{△ DEF}} = 3$，
∵ $C_{△ ABC} = 27$，
∴ $C_{△ DEF} = \frac{27}{3} = 9$。
答：△DEF的周长为9。
∵ AB = 3DE，AC = 3DF，
∴ $\frac{AB}{DE} = 3$，$\frac{AC}{DF} = 3$，
又∵ ∠A = ∠D，
∴ △ABC ∽ △DEF（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ △ABC与△DEF的相似比为3。
由相似三角形的周长比等于相似比，可得：
$\frac{C_{△ ABC}}{C_{△ DEF}} = 3$，
∵ $C_{△ ABC} = 27$，
∴ $C_{△ DEF} = \frac{27}{3} = 9$。
答：△DEF的周长为9。
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：△ABC和△DEF中，AB=3DE、AC=3DF，可先推出两组对应边的比值相等，再结合已知的夹角∠A=∠D，依据两边成比例且夹角相等的判定定理可证明两个三角形相似；再利用相似三角形的周长比等于相似比的性质，代入△ABC的周长即可求出△DEF的周长。
【解析】
∵ AB = 3DE，AC = 3DF，
∴ $\frac{AB}{DE} = 3$，$\frac{AC}{DF} = 3$，
又
∵ ∠A = ∠D，
∴ △ABC ∽ △DEF（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ △ABC与△DEF的相似比为3。
由相似三角形的周长比等于相似比，可得：
$\frac{C_{△ ABC}}{C_{△ DEF}} = 3$，
∵ $C_{△ ABC} = 27$，
∴ $C_{△ DEF} = \frac{27}{3} = 9$。
【答案】
△DEF的周长为9
【知识点】
相似三角形判定、相似三角形性质、比例计算
【点评】
本题属于相似三角形的基础应用类题目，解题的关键是先通过边和角的对应关系判定三角形相似，再结合相似三角形周长与相似比的关系求解，熟练掌握相似相关的判定定理和性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：△ABC和△DEF中，AB=3DE、AC=3DF，可先推出两组对应边的比值相等，再结合已知的夹角∠A=∠D，依据两边成比例且夹角相等的判定定理可证明两个三角形相似；再利用相似三角形的周长比等于相似比的性质，代入△ABC的周长即可求出△DEF的周长。
【解析】
∵ AB = 3DE，AC = 3DF，
∴ $\frac{AB}{DE} = 3$，$\frac{AC}{DF} = 3$，
又
∵ ∠A = ∠D，
∴ △ABC ∽ △DEF（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ △ABC与△DEF的相似比为3。
由相似三角形的周长比等于相似比，可得：
$\frac{C_{△ ABC}}{C_{△ DEF}} = 3$，
∵ $C_{△ ABC} = 27$，
∴ $C_{△ DEF} = \frac{27}{3} = 9$。
【答案】
△DEF的周长为9
【知识点】
相似三角形判定、相似三角形性质、比例计算
【点评】
本题属于相似三角形的基础应用类题目，解题的关键是先通过边和角的对应关系判定三角形相似，再结合相似三角形周长与相似比的关系求解，熟练掌握相似相关的判定定理和性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
