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6. 如图4,在矩形$ABCD$中,$AB=1$,在$BC$上取一点$E$,沿$AE$将$△ ABE$向上折叠,使$B$点落在$AD$上的点$F$处,若四边形$EFDC(EF＞DF)$与矩形$ABCD$相似,则$DF$的长为（）
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D.$1$
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D.$1$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先利用折叠的性质，得到折叠后对应边、对应角相等，结合矩形的内角为直角的特征，可判断出四边形ABEF是正方形，得到EF的长度。接着设AD的长为未知数，用含未知数的式子表示DF的长度，再根据两个矩形相似对应边成比例的性质列方程，解方程后舍去不符合实际意义的根，即可求出DF的长度。
【解析】
解：
∵沿AE将△ABE向上折叠，B点落在AD上的F处
∴$AB=AF=1$，$∠ AFE=∠ B=90°$
∵四边形ABCD是矩形
∴$∠ A=∠ B=∠ D=∠ C=90°$，$CD=AB=1$，$AD=BC$
∴四边形ABEF是正方形，因此$EF=AB=1$
设$AD=x$，则$DF=AD-AF=x-1$
∵四边形EFDC是矩形，且与矩形ABCD相似，$EF＞DF$
∴相似对应边成比例：$\frac{AD}{EF}=\frac{AB}{DF}$
代入得：$\frac{x}{1}=\frac{1}{x-1}$
整理得$x^2-x-1=0$
解得$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（边长为正，舍去）
∴$DF=x-1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}-1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；相似多边形的性质；一元二次方程的应用
【点评】
本题是几何与代数结合的基础综合题，解题核心是先通过折叠的性质得到正方形ABEF，再根据相似矩形的边的比例关系建立方程求解，需要注意相似时对应边的匹配，避免比例列错导致结果错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用折叠的性质，得到折叠后对应边、对应角相等，结合矩形的内角为直角的特征，可判断出四边形ABEF是正方形，得到EF的长度。接着设AD的长为未知数，用含未知数的式子表示DF的长度，再根据两个矩形相似对应边成比例的性质列方程，解方程后舍去不符合实际意义的根，即可求出DF的长度。
【解析】
解：
∵沿AE将△ABE向上折叠，B点落在AD上的F处
∴$AB=AF=1$，$∠ AFE=∠ B=90°$
∵四边形ABCD是矩形
∴$∠ A=∠ B=∠ D=∠ C=90°$，$CD=AB=1$，$AD=BC$
∴四边形ABEF是正方形，因此$EF=AB=1$
设$AD=x$，则$DF=AD-AF=x-1$
∵四边形EFDC是矩形，且与矩形ABCD相似，$EF＞DF$
∴相似对应边成比例：$\frac{AD}{EF}=\frac{AB}{DF}$
代入得：$\frac{x}{1}=\frac{1}{x-1}$
整理得$x^2-x-1=0$
解得$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（边长为正，舍去）
∴$DF=x-1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}-1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；相似多边形的性质；一元二次方程的应用
【点评】
本题是几何与代数结合的基础综合题，解题核心是先通过折叠的性质得到正方形ABEF，再根据相似矩形的边的比例关系建立方程求解，需要注意相似时对应边的匹配，避免比例列错导致结果错误。
【难度系数】
0.6
7. (2025·河北)如图5,在五边形ABCDE中,AE//BC,延长BA,BC,分别交直线DE于点M,N。若添加下列一个条件后,仍无法判定△MAE∽△DCN,则这个条件是 ()
A.∠B+∠4=180°
B.CD//AB
C.∠1=∠4
D.∠2=∠3
A.∠B+∠4=180°
B.CD//AB
C.∠1=∠4
D.∠2=∠3
答案
D
解析
【分析】
首先由已知AE//BC，可推出一组同位角相等：∠AEM=∠N，即△MAE与△DCN已有一组对应角相等。根据相似三角形的判定定理，此时只需再添加一组对应角相等，或这组等角的两组夹边对应成比例，即可判定两个三角形相似。接下来我们逐个分析选项能否推出所需的判定条件，即可找到无法判定相似的选项。
【解析】
解：
∵ AE//BC
∴ ∠AEM = ∠N（两直线平行，同位角相等），即△MAE和△DCN中已有∠AEM=∠N。
对各选项逐一分析：
A. 若∠B+∠4=180°：
∵ AE//BC，
∴ ∠MAE=∠B（两直线平行，同位角相等）
又
∵ ∠DCN+∠4=180°（邻补角的和为180°）
∴ ∠MAE=∠DCN，结合∠AEM=∠N，两角对应相等，可判定△MAE∽△DCN，不符合题意。
B. 若CD//AB：
∴ ∠M=∠CDN（两直线平行，同位角相等），结合∠AEM=∠N，两角对应相等，可判定△MAE∽△DCN，不符合题意。
C. 若∠1=∠4：
∵ ∠1+∠MAE=180°，∠4+∠DCN=180°（邻补角的和为180°）
∴ ∠MAE=∠DCN，结合∠AEM=∠N，两角对应相等，可判定△MAE∽△DCN，不符合题意。
D. 若∠2=∠3：
无法推出△MAE和△DCN的另一组对应角相等，也无法推出夹∠AEM和∠N的两边对应成比例，因此无法判定两个三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定，平行线的性质，邻补角的性质
【点评】
本题结合平行线的性质考查相似三角形的判定，解题时需先推导已有的角相等关系，再逐一验证选项是否满足相似的判定条件，解题时要注意只有对应角相等才符合判定要求。
【难度系数】
0.7
首先由已知AE//BC，可推出一组同位角相等：∠AEM=∠N，即△MAE与△DCN已有一组对应角相等。根据相似三角形的判定定理，此时只需再添加一组对应角相等，或这组等角的两组夹边对应成比例，即可判定两个三角形相似。接下来我们逐个分析选项能否推出所需的判定条件，即可找到无法判定相似的选项。
【解析】
解：
∵ AE//BC
∴ ∠AEM = ∠N（两直线平行，同位角相等），即△MAE和△DCN中已有∠AEM=∠N。
对各选项逐一分析：
A. 若∠B+∠4=180°：
∵ AE//BC，
∴ ∠MAE=∠B（两直线平行，同位角相等）
又
∵ ∠DCN+∠4=180°（邻补角的和为180°）
∴ ∠MAE=∠DCN，结合∠AEM=∠N，两角对应相等，可判定△MAE∽△DCN，不符合题意。
B. 若CD//AB：
∴ ∠M=∠CDN（两直线平行，同位角相等），结合∠AEM=∠N，两角对应相等，可判定△MAE∽△DCN，不符合题意。
C. 若∠1=∠4：
∵ ∠1+∠MAE=180°，∠4+∠DCN=180°（邻补角的和为180°）
∴ ∠MAE=∠DCN，结合∠AEM=∠N，两角对应相等，可判定△MAE∽△DCN，不符合题意。
D. 若∠2=∠3：
无法推出△MAE和△DCN的另一组对应角相等，也无法推出夹∠AEM和∠N的两边对应成比例，因此无法判定两个三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定，平行线的性质，邻补角的性质
【点评】
本题结合平行线的性质考查相似三角形的判定，解题时需先推导已有的角相等关系，再逐一验证选项是否满足相似的判定条件，解题时要注意只有对应角相等才符合判定要求。
【难度系数】
0.7
8. (2025·宜宾)如图6,一张锐角三角形纸片ABC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=2DB,沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分,则$\frac{AE}{EC}$的值为 ()
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
C
解析
【分析】
首先梳理已知条件：由AD=2DB可推出AD与AB的比值为2:3；沿DE剪开后两部分面积相等，可知△ADE的面积是△ABC面积的$\frac{1}{2}$。由于△ADE和△ABC有公共角∠A，可利用共角三角形的面积比等于夹公共角的两边乘积之比的性质，建立等式求解AE与AC的比例，进而求出AE与EC的比值。
【解析】
设△ABC的面积为2S，由剪开后两部分面积相等可得：$S_{△ ADE}=S$，即$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{1}{2}$。
∵ $AD=2DB$，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$。
∵ ∠A是△ADE和△ABC的公共角，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab\sinθ$（$θ$为a、b的夹角），可得：
$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{\frac{1}{2}· AD· AE· \sin A}{\frac{1}{2}· AB· AC· \sin A}=\frac{AD· AE}{AB· AC}$
将已知比例代入得：$\frac{1}{2}=\frac{2}{3}· \frac{AE}{AC}$，解得$\frac{AE}{AC}=\frac{3}{4}$。
设$AE=3k$，则$AC=4k$，$EC=AC-AE=4k-3k=k$，因此$\frac{AE}{EC}=\frac{3k}{k}=3$。
【答案】
C
【知识点】
共角三角形面积比性质，比例线段计算
【点评】
本题是三角形面积与比例结合的典型题型，解题关键是抓住两个三角形共角的特征，利用面积比与边长乘积的关系建立等式求解，计算过程难度不大，需要熟练掌握三角形面积公式与比例的换算。
【难度系数】
0.6
首先梳理已知条件：由AD=2DB可推出AD与AB的比值为2:3；沿DE剪开后两部分面积相等，可知△ADE的面积是△ABC面积的$\frac{1}{2}$。由于△ADE和△ABC有公共角∠A，可利用共角三角形的面积比等于夹公共角的两边乘积之比的性质，建立等式求解AE与AC的比例，进而求出AE与EC的比值。
【解析】
设△ABC的面积为2S，由剪开后两部分面积相等可得：$S_{△ ADE}=S$，即$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{1}{2}$。
∵ $AD=2DB$，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$。
∵ ∠A是△ADE和△ABC的公共角，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab\sinθ$（$θ$为a、b的夹角），可得：
$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{\frac{1}{2}· AD· AE· \sin A}{\frac{1}{2}· AB· AC· \sin A}=\frac{AD· AE}{AB· AC}$
将已知比例代入得：$\frac{1}{2}=\frac{2}{3}· \frac{AE}{AC}$，解得$\frac{AE}{AC}=\frac{3}{4}$。
设$AE=3k$，则$AC=4k$，$EC=AC-AE=4k-3k=k$，因此$\frac{AE}{EC}=\frac{3k}{k}=3$。
【答案】
C
【知识点】
共角三角形面积比性质，比例线段计算
【点评】
本题是三角形面积与比例结合的典型题型，解题关键是抓住两个三角形共角的特征，利用面积比与边长乘积的关系建立等式求解，计算过程难度不大，需要熟练掌握三角形面积公式与比例的换算。
【难度系数】
0.6
9. 如图7,点E在正方形ABCD的对角线AC上,EF⊥AB于点F,连接DE并延长,交边BC于点M,交边AB的延长线于点G。若AF=2,FB=1,则MG=（）
A.$2\sqrt{3}$
B.$\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$
C.$\sqrt{5}+1$
D.$\sqrt{10}$
A.$2\sqrt{3}$
B.$\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$
C.$\sqrt{5}+1$
D.$\sqrt{10}$
答案
B
解析
【分析】
首先根据AF=2、FB=1可求出正方形ABCD的边长为3；再利用正方形对角线性质得∠BAC=45°，结合EF⊥AB推出△AEF是等腰直角三角形，得到EF=2；接着通过EF//AD证明△GEF∽△GDA，利用相似比求出BG的长度；再通过AD//BC证明△ADE∽△CME，求出MB的长度；最后在Rt△GBM中用勾股定理计算MG的长度即可。
【解析】
解：
∵AF=2，FB=1，
∴正方形边长AB=AF+FB=3，即AD=BC=3，∠ABC=∠GBM=90°，AC平分∠BAD，∠BAC=45°。
∵EF⊥AB，
∴△AEF为等腰直角三角形，得EF=AF=2。
∵EF⊥AB，AD⊥AB，
∴EF//AD，可证△GEF∽△GDA。
设BG=x，则GF=x+1，GA=x+3，由相似性质得：
$\frac{GF}{GA}=\frac{EF}{AD}$，即$\frac{x+1}{x+3}=\frac{2}{3}$，
解得$x=3$，即BG=3。
∵AD//BC，可证△ADE∽△CME，
又
∵AE=$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，
∴EC=AC-AE=$\sqrt{2}$，相似比$AE:EC=2:1$，
∴$\frac{AD}{CM}=\frac{2}{1}$，得CM=$\frac{3}{2}$，
∴MB=BC-CM=$3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$。
在Rt△GBM中，由勾股定理得：
$MG=\sqrt{BG^2+MB^2}=\sqrt{3^2+(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{\frac{45}{4}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是几何综合类题目，将正方形性质、相似三角形、勾股定理结合考查，解题核心是通过平行线找到相似三角形，求出未知线段长度后结合勾股定理计算，解题时注意理清线段之间的比例关系即可。
【难度系数】
0.65
首先根据AF=2、FB=1可求出正方形ABCD的边长为3；再利用正方形对角线性质得∠BAC=45°，结合EF⊥AB推出△AEF是等腰直角三角形，得到EF=2；接着通过EF//AD证明△GEF∽△GDA，利用相似比求出BG的长度；再通过AD//BC证明△ADE∽△CME，求出MB的长度；最后在Rt△GBM中用勾股定理计算MG的长度即可。
【解析】
解：
∵AF=2，FB=1，
∴正方形边长AB=AF+FB=3，即AD=BC=3，∠ABC=∠GBM=90°，AC平分∠BAD，∠BAC=45°。
∵EF⊥AB，
∴△AEF为等腰直角三角形，得EF=AF=2。
∵EF⊥AB，AD⊥AB，
∴EF//AD，可证△GEF∽△GDA。
设BG=x，则GF=x+1，GA=x+3，由相似性质得：
$\frac{GF}{GA}=\frac{EF}{AD}$，即$\frac{x+1}{x+3}=\frac{2}{3}$，
解得$x=3$，即BG=3。
∵AD//BC，可证△ADE∽△CME，
又
∵AE=$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，
∴EC=AC-AE=$\sqrt{2}$，相似比$AE:EC=2:1$，
∴$\frac{AD}{CM}=\frac{2}{1}$，得CM=$\frac{3}{2}$，
∴MB=BC-CM=$3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$。
在Rt△GBM中，由勾股定理得：
$MG=\sqrt{BG^2+MB^2}=\sqrt{3^2+(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{\frac{45}{4}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是几何综合类题目，将正方形性质、相似三角形、勾股定理结合考查，解题核心是通过平行线找到相似三角形，求出未知线段长度后结合勾股定理计算，解题时注意理清线段之间的比例关系即可。
【难度系数】
0.65
10. (2024·德州)如图8,在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$BD⊥ AC$,垂足为$D$,$AE$平分$∠ BAC$,分别交$BD$,$BC$于点$F$,$E$。若$AB:BC=3:4$,则$BF:FD$为 ()
A.$5:3$
B.$5:4$
C.$4:3$
D.$2:1$
A.$5:3$
B.$5:4$
C.$4:3$
D.$2:1$
答案
A
解析
【分析】
首先遇到直角三角形边长比为3:4，可设参数利用勾股定理求出第三边AC的长度。已知AE是角平分线，结合图中的两个垂直关系，可通过同角的余角相等推导角相等，进而得到BE=BF，将所求BF:FD转化为BE:FD简化问题。再利用面积法求出斜边上的高BD的长度，结合角平分线定理求出BE的长度，即可计算出比值。
【解析】
设$AB=3k$，$BC=4k$（$k＞0$），
∵$∠ ABC=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(3k)^2+(4k)^2}=5k$。
由三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB·BC=\frac{1}{2}AC·BD$，
代入得：$3k·4k=5k·BD$，解得$BD=\frac{12k}{5}$。
∵AE平分$∠ BAC$，
∴$∠ BAE=∠ CAE$，
∵$BD⊥ AC$，
∴$∠ ADF=90°$，则$∠ CAE+∠ AFD=90°$，
又
∵$∠ ABC=90°$，
∴$∠ BAE+∠ AEB=90°$，
∴$∠ AEB=∠ AFD$，
又
∵$∠ AFD=∠ BFE$（对顶角相等），
∴$∠ AEB=∠ BFE$，
∴$BE=BF$。
根据角平分线定理：在$△ ABC$中，AE平分$∠ BAC$交BC于E，则$\frac{BE}{EC}=\frac{AB}{AC}=\frac{3k}{5k}=\frac{3}{5}$，
∵$BE+EC=BC=4k$，
∴$BE=\frac{3}{3+5}×4k=\frac{3k}{2}$，即$BF=\frac{3k}{2}$。
∴$FD=BD-BF=\frac{12k}{5}-\frac{3k}{2}=\frac{24k-15k}{10}=\frac{9k}{10}$，
∴$BF:FD=\frac{3k}{2}:\frac{9k}{10}=5:3$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；角平分线定理；等角对等边
【点评】
本题是三角形综合题，解题的关键是通过角的等量关系将所求比例进行转化，结合勾股定理、角平分线定理求解，设参数计算比值的方法可以有效简化运算，是解决比例类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.6
首先遇到直角三角形边长比为3:4，可设参数利用勾股定理求出第三边AC的长度。已知AE是角平分线，结合图中的两个垂直关系，可通过同角的余角相等推导角相等，进而得到BE=BF，将所求BF:FD转化为BE:FD简化问题。再利用面积法求出斜边上的高BD的长度，结合角平分线定理求出BE的长度，即可计算出比值。
【解析】
设$AB=3k$，$BC=4k$（$k＞0$），
∵$∠ ABC=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(3k)^2+(4k)^2}=5k$。
由三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB·BC=\frac{1}{2}AC·BD$，
代入得：$3k·4k=5k·BD$，解得$BD=\frac{12k}{5}$。
∵AE平分$∠ BAC$，
∴$∠ BAE=∠ CAE$，
∵$BD⊥ AC$，
∴$∠ ADF=90°$，则$∠ CAE+∠ AFD=90°$，
又
∵$∠ ABC=90°$，
∴$∠ BAE+∠ AEB=90°$，
∴$∠ AEB=∠ AFD$，
又
∵$∠ AFD=∠ BFE$（对顶角相等），
∴$∠ AEB=∠ BFE$，
∴$BE=BF$。
根据角平分线定理：在$△ ABC$中，AE平分$∠ BAC$交BC于E，则$\frac{BE}{EC}=\frac{AB}{AC}=\frac{3k}{5k}=\frac{3}{5}$，
∵$BE+EC=BC=4k$，
∴$BE=\frac{3}{3+5}×4k=\frac{3k}{2}$，即$BF=\frac{3k}{2}$。
∴$FD=BD-BF=\frac{12k}{5}-\frac{3k}{2}=\frac{24k-15k}{10}=\frac{9k}{10}$，
∴$BF:FD=\frac{3k}{2}:\frac{9k}{10}=5:3$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；角平分线定理；等角对等边
【点评】
本题是三角形综合题，解题的关键是通过角的等量关系将所求比例进行转化，结合勾股定理、角平分线定理求解，设参数计算比值的方法可以有效简化运算，是解决比例类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.若$x:y=1:2$,则$\frac{y-x}{x+y}=$。
11.若$x:y=1:2$,则$\frac{y-x}{x+y}=$。
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
解析
【分析】
遇到已知两个未知数的比值、求对应分式值的问题，优先考虑设参数法或倍数代入法：首先根据给出的比例关系，将两个未知数用同一个参数表示，或者转化为一个未知数是另一个的倍数形式，再代入所求分式，未知数会在化简过程中约去，最终得到固定的数值即可。
【解析】
方法1：设参数法
∵ $x:y=1:2$
∴ 可设$x=k$，$y=2k$（$k≠0$，符合比例定义）
将$x=k$、$y=2k$代入$\frac{y-x}{x+y}$得：
$\frac{y-x}{x+y}=\frac{2k - k}{k + 2k}=\frac{k}{3k}=\frac{1}{3}$
方法2：倍数代入法
∵ $x:y=1:2$
∴ $y=2x$
将$y=2x$代入$\frac{y-x}{x+y}$得：
$\frac{y-x}{x+y}=\frac{2x - x}{x + 2x}=\frac{x}{3x}=\frac{1}{3}$（$x≠0$，符合比例要求）
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
【知识点】
比例的性质；分式化简求值
【点评】
本题是比例相关的基础题型，解题核心是掌握比例类问题的常用转化方法，两种解法计算量都很小，只要细心区分分子分母的运算项，避免计算顺序错误即可得分。
【难度系数】
0.9
遇到已知两个未知数的比值、求对应分式值的问题，优先考虑设参数法或倍数代入法：首先根据给出的比例关系，将两个未知数用同一个参数表示，或者转化为一个未知数是另一个的倍数形式，再代入所求分式，未知数会在化简过程中约去，最终得到固定的数值即可。
【解析】
方法1：设参数法
∵ $x:y=1:2$
∴ 可设$x=k$，$y=2k$（$k≠0$，符合比例定义）
将$x=k$、$y=2k$代入$\frac{y-x}{x+y}$得：
$\frac{y-x}{x+y}=\frac{2k - k}{k + 2k}=\frac{k}{3k}=\frac{1}{3}$
方法2：倍数代入法
∵ $x:y=1:2$
∴ $y=2x$
将$y=2x$代入$\frac{y-x}{x+y}$得：
$\frac{y-x}{x+y}=\frac{2x - x}{x + 2x}=\frac{x}{3x}=\frac{1}{3}$（$x≠0$，符合比例要求）
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
【知识点】
比例的性质；分式化简求值
【点评】
本题是比例相关的基础题型，解题核心是掌握比例类问题的常用转化方法，两种解法计算量都很小，只要细心区分分子分母的运算项，避免计算顺序错误即可得分。
【难度系数】
0.9
12. △OAB三个顶点的坐标分别为O(0,0),A(4,6),B(3,0)。以O为位似中心，将△OAB缩小为原来的$\frac{1}{2}$，得到△OA'B'，则点A的对应点A'的坐标为。
答案
解：以原点O为位似中心，将图形缩小为原来的$\frac{1}{2}$，位似变换的坐标变化规律为：对应点的横、纵坐标同时乘$\frac{1}{2}$或$-\frac{1}{2}$。
已知点A的坐标为$(4,6)$：
当$△ OA'B'$与$△ OAB$在位似中心O同侧时，点$A'$的坐标为$(4×\frac{1}{2},6×\frac{1}{2})$，即$(2,3)$；
当$△ OA'B'$与$△ OAB$在位似中心O异侧时，点$A'$的坐标为$(4×(-\frac{1}{2}),6×(-\frac{1}{2}))$，即$(-2,-3)$。
所以点A的对应点$A'$的坐标为$(2,3)$或$(-2,-3)$。
已知点A的坐标为$(4,6)$：
当$△ OA'B'$与$△ OAB$在位似中心O同侧时，点$A'$的坐标为$(4×\frac{1}{2},6×\frac{1}{2})$，即$(2,3)$；
当$△ OA'B'$与$△ OAB$在位似中心O异侧时，点$A'$的坐标为$(4×(-\frac{1}{2}),6×(-\frac{1}{2}))$，即$(-2,-3)$。
所以点A的对应点$A'$的坐标为$(2,3)$或$(-2,-3)$。
解析
【分析】
首先明确本题考查平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换，解题时先回忆对应坐标变化规律：以原点为位似中心时，若位似比为k，则对应点的坐标为原坐标乘k或-k，分别对应位似图形与原图形在位似中心同侧、异侧两种情况。本题位似比为$\frac{1}{2}$，只需将点A的横纵坐标分别乘$\frac{1}{2}$和$-\frac{1}{2}$，即可得到两种情况下A'的坐标，注意不要遗漏异侧的情况。
【解析】
以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的$\frac{1}{2}$，根据位似变换的坐标规律：对应点的横、纵坐标同时乘位似比k或-k（k＞0，乘k对应两图形在位似中心同侧，乘-k对应两图形在位似中心异侧），本题位似比$k=\frac{1}{2}$。
已知点A的坐标为$(4,6)$：
1. 当△OA'B'与△OAB在位似中心O同侧时，点A'的坐标为$(4×\frac{1}{2},6×\frac{1}{2})$，即$(2,3)$；
2. 当△OA'B'与△OAB在位似中心O异侧时，点A'的坐标为$(4×(-\frac{1}{2}),6×(-\frac{1}{2}))$，即$(-2,-3)$。
【答案】
$(2,3)$或$(-2,-3)$
【知识点】
位似变换的坐标规律，平面直角坐标系中的位似
【点评】
本题考查原点为位似中心的位似图形坐标变化，易错点是容易忽略位似图形与原图形在位似中心异侧的情况，导致漏写答案，解题时需注意分两种情况讨论。
【难度系数】
0.6
首先明确本题考查平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换，解题时先回忆对应坐标变化规律：以原点为位似中心时，若位似比为k，则对应点的坐标为原坐标乘k或-k，分别对应位似图形与原图形在位似中心同侧、异侧两种情况。本题位似比为$\frac{1}{2}$，只需将点A的横纵坐标分别乘$\frac{1}{2}$和$-\frac{1}{2}$，即可得到两种情况下A'的坐标，注意不要遗漏异侧的情况。
【解析】
以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的$\frac{1}{2}$，根据位似变换的坐标规律：对应点的横、纵坐标同时乘位似比k或-k（k＞0，乘k对应两图形在位似中心同侧，乘-k对应两图形在位似中心异侧），本题位似比$k=\frac{1}{2}$。
已知点A的坐标为$(4,6)$：
1. 当△OA'B'与△OAB在位似中心O同侧时，点A'的坐标为$(4×\frac{1}{2},6×\frac{1}{2})$，即$(2,3)$；
2. 当△OA'B'与△OAB在位似中心O异侧时，点A'的坐标为$(4×(-\frac{1}{2}),6×(-\frac{1}{2}))$，即$(-2,-3)$。
【答案】
$(2,3)$或$(-2,-3)$
【知识点】
位似变换的坐标规律，平面直角坐标系中的位似
【点评】
本题考查原点为位似中心的位似图形坐标变化，易错点是容易忽略位似图形与原图形在位似中心异侧的情况，导致漏写答案，解题时需注意分两种情况讨论。
【难度系数】
0.6
