登录
1. 如果两个相似多边形的面积的比为$9:4$，那么这两个相似多边形的相似比为（）
A.$\frac{9}{4}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{81}{16}$
A.$\frac{9}{4}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{81}{16}$
答案
C
解析
【分析】
拿到这道题，首先明确考查的是相似多边形的性质相关知识。我们已知相似多边形的面积比和相似比的关系是：面积比等于相似比的平方，因此要求相似比，只需要对已知的面积比开算术平方根即可，注意相似比为正数，且顺序要和面积比的前后项保持一致。
【解析】
解：根据相似多边形的性质可知，相似多边形的面积比等于相似比的平方。
设这两个相似多边形的相似比为$k$，由题意得：
$k^2=\frac{9}{4}$
因为相似比为正数，所以对等式两边开算术平方根可得：
$k=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 相似多边形的性质
2. 算术平方根的计算
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查对相似多边形面积比与相似比关系的掌握，熟记相关性质即可快速得出答案，出错点通常是容易混淆面积比和相似比的先后顺序，或是记错二者是平方关系而非正比关系。
【难度系数】
0.8
拿到这道题，首先明确考查的是相似多边形的性质相关知识。我们已知相似多边形的面积比和相似比的关系是：面积比等于相似比的平方，因此要求相似比，只需要对已知的面积比开算术平方根即可，注意相似比为正数，且顺序要和面积比的前后项保持一致。
【解析】
解：根据相似多边形的性质可知，相似多边形的面积比等于相似比的平方。
设这两个相似多边形的相似比为$k$，由题意得：
$k^2=\frac{9}{4}$
因为相似比为正数，所以对等式两边开算术平方根可得：
$k=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 相似多边形的性质
2. 算术平方根的计算
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查对相似多边形面积比与相似比关系的掌握，熟记相关性质即可快速得出答案，出错点通常是容易混淆面积比和相似比的先后顺序，或是记错二者是平方关系而非正比关系。
【难度系数】
0.8
2. 图上距离和实际距离的比通常称为比例尺，已知一张地图的比例尺为$1:5500000$，在这张地图上测得A地到B地的直线距离为6 cm，则A地到B地的实际距离为（）
A.33 km
B.330 km
C.550 km
D.600 km
A.33 km
B.330 km
C.550 km
D.600 km
答案
B
解析
【分析】
解题首先要明确比例尺的计算公式：比例尺=图上距离:实际距离，即$\mathrm{比例尺}=\frac{\mathrm{图上距离}}{\mathrm{实际距离}}$。已知比例尺和图上距离，要求实际距离，可将公式变形为$\mathrm{实际距离}=\mathrm{图上距离}÷\mathrm{比例尺}$，计算出结果后要注意将长度单位从厘米换算为千米，即可得到最终答案。
【解析】
根据比例尺的定义可知：$\mathrm{比例尺}=\frac{\mathrm{图上距离}}{\mathrm{实际距离}}$，变形可得$\mathrm{实际距离}=\mathrm{图上距离}÷\mathrm{比例尺}$。
已知图上距离为6cm，比例尺为$1:5500000=\frac{1}{5500000}$，代入得：
$\mathrm{实际距离}=6÷\frac{1}{5500000}=6×5500000=33000000\ \mathrm{cm}$
进行单位换算：$1\ \mathrm{km}=100000\ \mathrm{cm}$，因此$33000000\ \mathrm{cm}=33000000÷100000=330\ \mathrm{km}$。
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
比例尺的应用、长度单位换算
【点评】
本题考查比例尺的基础应用，解题核心是熟练掌握比例尺的计算公式，计算时要注意单位的统一，避免因单位换算失误丢分。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确比例尺的计算公式：比例尺=图上距离:实际距离，即$\mathrm{比例尺}=\frac{\mathrm{图上距离}}{\mathrm{实际距离}}$。已知比例尺和图上距离，要求实际距离，可将公式变形为$\mathrm{实际距离}=\mathrm{图上距离}÷\mathrm{比例尺}$，计算出结果后要注意将长度单位从厘米换算为千米，即可得到最终答案。
【解析】
根据比例尺的定义可知：$\mathrm{比例尺}=\frac{\mathrm{图上距离}}{\mathrm{实际距离}}$，变形可得$\mathrm{实际距离}=\mathrm{图上距离}÷\mathrm{比例尺}$。
已知图上距离为6cm，比例尺为$1:5500000=\frac{1}{5500000}$，代入得：
$\mathrm{实际距离}=6÷\frac{1}{5500000}=6×5500000=33000000\ \mathrm{cm}$
进行单位换算：$1\ \mathrm{km}=100000\ \mathrm{cm}$，因此$33000000\ \mathrm{cm}=33000000÷100000=330\ \mathrm{km}$。
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
比例尺的应用、长度单位换算
【点评】
本题考查比例尺的基础应用，解题核心是熟练掌握比例尺的计算公式，计算时要注意单位的统一，避免因单位换算失误丢分。
【难度系数】
0.8
3. 如图1，直线$ l_1 // l_2 // l_3 $，直线AC分别交$ l_1, l_2, l_3 $于点A,B,C，直线DF分别交$ l_1, l_2, l_3 $于点D,E,F，AC与DF相交于点H，且AH=4，HB=2，BC=10，则$\frac{DE}{EF} = $（）
A.$\frac{3}{5}$
B.2
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{1}{2}$
A.$\frac{3}{5}$
B.2
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
A
解析
【分析】
本题已知三条平行直线截两条相交直线，要求线段比值，可依据平行线分线段成比例定理求解。首先计算出线段AB的长度，再找到与DE、EF对应的成比例线段AB、BC，代入数值计算即可得到所求比值。
【解析】
∵ $l_1 // l_2 // l_3$，根据平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，
∴ $\frac{DE}{EF} = \frac{AB}{BC}$。
又
∵ $AB = AH + HB = 4 + 2 = 6$，$BC = 10$，
∴ $\frac{DE}{EF} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例，线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查平行线分线段成比例定理的应用，解题时需准确找到对应成比例的线段，结合线段和差计算即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
本题已知三条平行直线截两条相交直线，要求线段比值，可依据平行线分线段成比例定理求解。首先计算出线段AB的长度，再找到与DE、EF对应的成比例线段AB、BC，代入数值计算即可得到所求比值。
【解析】
∵ $l_1 // l_2 // l_3$，根据平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，
∴ $\frac{DE}{EF} = \frac{AB}{BC}$。
又
∵ $AB = AH + HB = 4 + 2 = 6$，$BC = 10$，
∴ $\frac{DE}{EF} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例，线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查平行线分线段成比例定理的应用，解题时需准确找到对应成比例的线段，结合线段和差计算即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
4. (2024·连云港)图2所示的网格中各个小正方形的边长均为1,阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁,其中是相似形的为 ()
A.甲和乙
B.乙和丁
C.甲和丙
D.甲和丁
A.甲和乙
B.乙和丁
C.甲和丙
D.甲和丁
答案
B
解析
【分析】
要判断两个图形是否为相似形，需依据相似多边形的判定条件：对应角相等，且对应边成比例，两个条件需同时满足。解题时首先利用勾股定理计算四个阴影图形各边的长度，再对比各图形的边是否成比例、对应角是否相等，即可找到符合要求的相似形。
【解析】
已知网格中小正方形边长为1，结合勾股定理计算各图形边长，同时观察边的斜率判断对应角：
1. 计算乙的各边长度：依次为$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$、$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$、$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$、$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$、$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$、$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
2. 计算丁的各边长度：依次为$\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$、$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$、$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$、$\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$、$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$、$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$。
可得丁的各边长度均为乙对应边长度的2倍，即对应边成比例，比例为$1:2$；同时两个图形对应边的斜率完全相同，因此对应角相等，满足相似多边形的判定条件，故乙和丁是相似形。
验证其余选项：甲、丙的边长度与其他图形对应边不成比例，对应角也不相等，均不满足相似条件。
【答案】
B
【知识点】
相似多边形的判定；勾股定理的应用
【点评】
本题结合网格考查相似图形的判定，解题核心是牢记相似多边形的两个判定条件，通过计算边长验证边的比例关系，结合边的倾斜程度判断对应角是否相等即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要判断两个图形是否为相似形，需依据相似多边形的判定条件：对应角相等，且对应边成比例，两个条件需同时满足。解题时首先利用勾股定理计算四个阴影图形各边的长度，再对比各图形的边是否成比例、对应角是否相等，即可找到符合要求的相似形。
【解析】
已知网格中小正方形边长为1，结合勾股定理计算各图形边长，同时观察边的斜率判断对应角：
1. 计算乙的各边长度：依次为$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$、$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$、$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$、$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$、$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$、$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
2. 计算丁的各边长度：依次为$\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$、$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$、$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$、$\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$、$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$、$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$。
可得丁的各边长度均为乙对应边长度的2倍，即对应边成比例，比例为$1:2$；同时两个图形对应边的斜率完全相同，因此对应角相等，满足相似多边形的判定条件，故乙和丁是相似形。
验证其余选项：甲、丙的边长度与其他图形对应边不成比例，对应角也不相等，均不满足相似条件。
【答案】
B
【知识点】
相似多边形的判定；勾股定理的应用
【点评】
本题结合网格考查相似图形的判定，解题核心是牢记相似多边形的两个判定条件，通过计算边长验证边的比例关系，结合边的倾斜程度判断对应角是否相等即可快速解题。
【难度系数】
0.7
5. 如图3，在$△ ABC$中，$D$，$E$分别是$AB$和$AC$的中点，$S_{四边形BCED}=15$，则$S_{△ ABC}=$（）
A.30
B.25
C.22.5
D.20
A.30
B.25
C.22.5
D.20
答案
D
解析
【分析】
首先根据D、E是AB、AC的中点，可判定DE是△ABC的中位线，由中位线性质可得DE与BC平行且长度为BC的一半，进而可推出△ADE与△ABC相似，且相似比为1:2。根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得到两个三角形的面积比为1:4，由此可知四边形BCED的面积占△ABC面积的3份，结合已知的四边形面积即可求出△ABC的面积。
【解析】
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，$DE=\frac{1}{2}BC$，
∴△ADE∽△ABC，相似比$k=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
设$S_{△ ADE}=x$，则$S_{△ ABC}=4x$，
∵$S_{四边形BCED}=S_{△ ABC}-S_{△ ADE}=15$，
∴$4x-x=15$，解得$x=5$，
∴$S_{△ ABC}=4x=4×5=20$。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形与三角形中位线的综合应用题，解题的关键是熟练掌握相似三角形面积比等于相似比的平方这一性质，理清各部分面积之间的比例关系，是几何中较为典型的基础比例类计算题。
【难度系数】
0.75
首先根据D、E是AB、AC的中点，可判定DE是△ABC的中位线，由中位线性质可得DE与BC平行且长度为BC的一半，进而可推出△ADE与△ABC相似，且相似比为1:2。根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得到两个三角形的面积比为1:4，由此可知四边形BCED的面积占△ABC面积的3份，结合已知的四边形面积即可求出△ABC的面积。
【解析】
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，$DE=\frac{1}{2}BC$，
∴△ADE∽△ABC，相似比$k=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
设$S_{△ ADE}=x$，则$S_{△ ABC}=4x$，
∵$S_{四边形BCED}=S_{△ ABC}-S_{△ ADE}=15$，
∴$4x-x=15$，解得$x=5$，
∴$S_{△ ABC}=4x=4×5=20$。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形与三角形中位线的综合应用题，解题的关键是熟练掌握相似三角形面积比等于相似比的平方这一性质，理清各部分面积之间的比例关系，是几何中较为典型的基础比例类计算题。
【难度系数】
0.75
