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19. (12分)如图14①,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=6\ \mathrm{cm}$,$BC=8\ \mathrm{cm}$,动点P从点B出发,在BA边上以5 cm/s的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以4 cm/s的速度向点B匀速运动,运动时间为$t(0＜t＜2)\ \mathrm{s}$,连接PQ。
(1)若$△ BPQ$与$△ ABC$相似,求$t$的值；
(2)如图14②,连接AQ,CP,若$AQ ⊥ CP$,求$t$的值。
(1)若$△ BPQ$与$△ ABC$相似,求$t$的值；
(2)如图14②,连接AQ,CP,若$AQ ⊥ CP$,求$t$的值。
答案
解：
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$。
由题意得：$BP=5t\ \mathrm{cm}$，$CQ=4t\ \mathrm{cm}$，$BQ=(8-4t)\ \mathrm{cm}$，其中$0＜t＜2$。
(1) $\because ∠ B=∠ B$，$△ BPQ$与$△ ABC$相似，分两种情况：
① 当$△ BPQ ∽ △ BAC$时：
$\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}$
代入得：$\frac{5t}{10}=\frac{8-4t}{8}$，
解得$t=1$；
② 当$△ BPQ ∽ △ BCA$时：
$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{BA}$
代入得：$\frac{5t}{8}=\frac{8-4t}{10}$，
解得$t=\frac{32}{41}$。
综上，$t$的值为$1$或$\frac{32}{41}$。
(2) 过点$P$作$PM⊥ BC$于点$M$，
$\because ∠ PMB=∠ ACB=90°$，$∠ B=∠ B$，
$\therefore △ BPM ∽ △ BAC$，
$\frac{BP}{BA}=\frac{PM}{AC}=\frac{BM}{BC}$
代入得：$\frac{5t}{10}=\frac{PM}{6}=\frac{BM}{8}$，
解得$PM=3t\ \mathrm{cm}$，$BM=4t\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CM=BC-BM=(8-4t)\ \mathrm{cm}$。
$\because AQ⊥ CP$，$∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ CAQ + ∠ ACP=90°$，$∠ PCM + ∠ ACP=90°$，
$\therefore ∠ CAQ=∠ PCM$，
又$∠ ACQ=∠ CMP=90°$，
$\therefore △ ACQ ∽ △ CMP$，
$\frac{AC}{CM}=\frac{CQ}{MP}$
代入得：$\frac{6}{8-4t}=\frac{4t}{3t}$，
$\because t≠0$，约去$t$得$\frac{6}{8-4t}=\frac{4}{3}$，
解得$t=\frac{7}{8}$，符合$0＜t＜2$的条件。
综上，$t$的值为$\frac{7}{8}$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$。
由题意得：$BP=5t\ \mathrm{cm}$，$CQ=4t\ \mathrm{cm}$，$BQ=(8-4t)\ \mathrm{cm}$，其中$0＜t＜2$。
(1) $\because ∠ B=∠ B$，$△ BPQ$与$△ ABC$相似，分两种情况：
① 当$△ BPQ ∽ △ BAC$时：
$\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}$
代入得：$\frac{5t}{10}=\frac{8-4t}{8}$，
解得$t=1$；
② 当$△ BPQ ∽ △ BCA$时：
$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{BA}$
代入得：$\frac{5t}{8}=\frac{8-4t}{10}$，
解得$t=\frac{32}{41}$。
综上，$t$的值为$1$或$\frac{32}{41}$。
(2) 过点$P$作$PM⊥ BC$于点$M$，
$\because ∠ PMB=∠ ACB=90°$，$∠ B=∠ B$，
$\therefore △ BPM ∽ △ BAC$，
$\frac{BP}{BA}=\frac{PM}{AC}=\frac{BM}{BC}$
代入得：$\frac{5t}{10}=\frac{PM}{6}=\frac{BM}{8}$，
解得$PM=3t\ \mathrm{cm}$，$BM=4t\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CM=BC-BM=(8-4t)\ \mathrm{cm}$。
$\because AQ⊥ CP$，$∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ CAQ + ∠ ACP=90°$，$∠ PCM + ∠ ACP=90°$，
$\therefore ∠ CAQ=∠ PCM$，
又$∠ ACQ=∠ CMP=90°$，
$\therefore △ ACQ ∽ △ CMP$，
$\frac{AC}{CM}=\frac{CQ}{MP}$
代入得：$\frac{6}{8-4t}=\frac{4t}{3t}$，
$\because t≠0$，约去$t$得$\frac{6}{8-4t}=\frac{4}{3}$，
解得$t=\frac{7}{8}$，符合$0＜t＜2$的条件。
综上，$t$的值为$\frac{7}{8}$。
解析
【分析】
首先根据勾股定理计算出Rt△ABC的斜边AB的长度，再结合动点的运动速度和时间，用含t的代数式表示出BP、CQ、BQ的线段长度。
(1) △BPQ与△ABC有公共角∠B，相似时需分两种对应情况讨论：①△BPQ∽△BAC；②△BPQ∽△BCA，分别根据相似三角形对应边成比例列方程，求解后结合t的取值范围0＜t＜2验证结果是否有效。
(2) 针对AQ⊥CP的垂直条件，过点P作PM⊥BC于M，先证明△BPM∽△BAC，求出PM、CM的长度；再利用同角的余角相等推出∠CAQ=∠PCM，证明△ACQ∽△CMP，根据相似三角形对应边成比例列方程求解t，最后验证t符合取值范围即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$。
由题意得：$BP=5t\ \mathrm{cm}$，$CQ=4t\ \mathrm{cm}$，$BQ=(8-4t)\ \mathrm{cm}$，其中$0＜t＜2$。
(1) $\because ∠ B=∠ B$，$△ BPQ$与$△ ABC$相似，分两种情况：
① 当$△ BPQ ∽ △ BAC$时：
$\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}$
代入得：$\frac{5t}{10}=\frac{8-4t}{8}$，
解得$t=1$，符合$0＜t＜2$；
② 当$△ BPQ ∽ △ BCA$时：
$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{BA}$
代入得：$\frac{5t}{8}=\frac{8-4t}{10}$，
解得$t=\frac{32}{41}$，符合$0＜t＜2$。
综上，$t$的值为$1$或$\frac{32}{41}$。
(2) 过点$P$作$PM⊥ BC$于点$M$，
$\because ∠ PMB=∠ ACB=90°$，$∠ B=∠ B$，
$\therefore △ BPM ∽ △ BAC$，
$\frac{BP}{BA}=\frac{PM}{AC}=\frac{BM}{BC}$
代入得：$\frac{5t}{10}=\frac{PM}{6}=\frac{BM}{8}$，
解得$PM=3t\ \mathrm{cm}$，$BM=4t\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CM=BC-BM=(8-4t)\ \mathrm{cm}$。
$\because AQ⊥ CP$，$∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ CAQ + ∠ ACP=90°$，$∠ PCM + ∠ ACP=90°$，
$\therefore ∠ CAQ=∠ PCM$，
又$∠ ACQ=∠ CMP=90°$，
$\therefore △ ACQ ∽ △ CMP$，
$\frac{AC}{CM}=\frac{CQ}{MP}$
代入得：$\frac{6}{8-4t}=\frac{4t}{3t}$，
$\because t≠0$，约去$t$得$\frac{6}{8-4t}=\frac{4}{3}$，
解得$t=\frac{7}{8}$，符合$0＜t＜2$的条件。
综上，$t$的值为$\frac{7}{8}$。
【答案】
(1) $t=1$或$t=\frac{32}{41}$；(2) $t=\frac{7}{8}$
【知识点】
1.相似三角形的判定与性质 2.勾股定理 3.直角三角形的性质
【点评】
本题是动态几何的典型习题，重点考查分类讨论思想和构造相似三角形的解题方法，解题时需注意相似三角形对应边的对应关系，避免漏解，同时求出的结果要验证是否符合题目的取值范围。
【难度系数】
0.6
首先根据勾股定理计算出Rt△ABC的斜边AB的长度，再结合动点的运动速度和时间，用含t的代数式表示出BP、CQ、BQ的线段长度。
(1) △BPQ与△ABC有公共角∠B，相似时需分两种对应情况讨论：①△BPQ∽△BAC；②△BPQ∽△BCA，分别根据相似三角形对应边成比例列方程，求解后结合t的取值范围0＜t＜2验证结果是否有效。
(2) 针对AQ⊥CP的垂直条件，过点P作PM⊥BC于M，先证明△BPM∽△BAC，求出PM、CM的长度；再利用同角的余角相等推出∠CAQ=∠PCM，证明△ACQ∽△CMP，根据相似三角形对应边成比例列方程求解t，最后验证t符合取值范围即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$。
由题意得：$BP=5t\ \mathrm{cm}$，$CQ=4t\ \mathrm{cm}$，$BQ=(8-4t)\ \mathrm{cm}$，其中$0＜t＜2$。
(1) $\because ∠ B=∠ B$，$△ BPQ$与$△ ABC$相似，分两种情况：
① 当$△ BPQ ∽ △ BAC$时：
$\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}$
代入得：$\frac{5t}{10}=\frac{8-4t}{8}$，
解得$t=1$，符合$0＜t＜2$；
② 当$△ BPQ ∽ △ BCA$时：
$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{BA}$
代入得：$\frac{5t}{8}=\frac{8-4t}{10}$，
解得$t=\frac{32}{41}$，符合$0＜t＜2$。
综上，$t$的值为$1$或$\frac{32}{41}$。
(2) 过点$P$作$PM⊥ BC$于点$M$，
$\because ∠ PMB=∠ ACB=90°$，$∠ B=∠ B$，
$\therefore △ BPM ∽ △ BAC$，
$\frac{BP}{BA}=\frac{PM}{AC}=\frac{BM}{BC}$
代入得：$\frac{5t}{10}=\frac{PM}{6}=\frac{BM}{8}$，
解得$PM=3t\ \mathrm{cm}$，$BM=4t\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CM=BC-BM=(8-4t)\ \mathrm{cm}$。
$\because AQ⊥ CP$，$∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ CAQ + ∠ ACP=90°$，$∠ PCM + ∠ ACP=90°$，
$\therefore ∠ CAQ=∠ PCM$，
又$∠ ACQ=∠ CMP=90°$，
$\therefore △ ACQ ∽ △ CMP$，
$\frac{AC}{CM}=\frac{CQ}{MP}$
代入得：$\frac{6}{8-4t}=\frac{4t}{3t}$，
$\because t≠0$，约去$t$得$\frac{6}{8-4t}=\frac{4}{3}$，
解得$t=\frac{7}{8}$，符合$0＜t＜2$的条件。
综上，$t$的值为$\frac{7}{8}$。
【答案】
(1) $t=1$或$t=\frac{32}{41}$；(2) $t=\frac{7}{8}$
【知识点】
1.相似三角形的判定与性质 2.勾股定理 3.直角三角形的性质
【点评】
本题是动态几何的典型习题，重点考查分类讨论思想和构造相似三角形的解题方法，解题时需注意相似三角形对应边的对应关系，避免漏解，同时求出的结果要验证是否符合题目的取值范围。
【难度系数】
0.6
