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3. 如图，在△ABC中，DF//AC，DE//BC，AE=4，EC=2，BC=8，则CF为
$\frac{16}{3}$
。答案
3. $\frac{16}{3}$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先根据已知线段长度求出AC的总长度；第二步利用DE//BC的条件，结合平行线分线段成比例定理，列出比例式求出DE的长度；第三步根据DE//BC、DF//AC，判定四边形DECF是平行四边形，利用平行四边形对边相等的性质，即可得到CF与DE相等，从而求出CF的长度。
【解析】
解：
∵AE=4，EC=2，
∴$AC = AE + EC = 4 + 2 = 6$，
∵DE//BC，
根据平行线分线段成比例定理，可得 $\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$，
将BC=8代入得：$\frac{DE}{8}=\frac{4}{6}$，
解得：$DE=\frac{16}{3}$，
又
∵DE//BC，DF//AC，
∴四边形DECF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴$CF = DE = \frac{16}{3}$。
【答案】
$\frac{16}{3}$
【知识点】
平行线分线段成比例；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题属于基础计算题，解题核心是灵活运用平行线的性质和平行四边形的性质，将未知线段转化为可通过比例求解的线段，掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步先根据已知线段长度求出AC的总长度；第二步利用DE//BC的条件，结合平行线分线段成比例定理，列出比例式求出DE的长度；第三步根据DE//BC、DF//AC，判定四边形DECF是平行四边形，利用平行四边形对边相等的性质，即可得到CF与DE相等，从而求出CF的长度。
【解析】
解：
∵AE=4，EC=2，
∴$AC = AE + EC = 4 + 2 = 6$，
∵DE//BC，
根据平行线分线段成比例定理，可得 $\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$，
将BC=8代入得：$\frac{DE}{8}=\frac{4}{6}$，
解得：$DE=\frac{16}{3}$，
又
∵DE//BC，DF//AC，
∴四边形DECF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴$CF = DE = \frac{16}{3}$。
【答案】
$\frac{16}{3}$
【知识点】
平行线分线段成比例；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题属于基础计算题，解题核心是灵活运用平行线的性质和平行四边形的性质，将未知线段转化为可通过比例求解的线段，掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
4. 如图，$EG // BC$，$GF // CD$，$AE = 3$，$EB = 2$，$AF = 6$，求$AD$的长. 
答案
解：
∵$EG//BC$，
∴$\frac{AE}{EB}=\frac{AG}{GC}=\frac{3}{2}$，
又
∵$GF//CD$，
∴$\frac{AG}{GC}=\frac{AF}{FD}=\frac{3}{2}$，代入$AF=6$得$\frac{6}{FD}=\frac{3}{2}$，解得$FD=4$，
∴$AD=AF+FD=6+4=10$。
∵$EG//BC$，
∴$\frac{AE}{EB}=\frac{AG}{GC}=\frac{3}{2}$，
又
∵$GF//CD$，
∴$\frac{AG}{GC}=\frac{AF}{FD}=\frac{3}{2}$，代入$AF=6$得$\frac{6}{FD}=\frac{3}{2}$，解得$FD=4$，
∴$AD=AF+FD=6+4=10$。
解析
【分析】
本题给出两组平行线，可利用平行线分线段成比例的推论求解：首先根据$EG// BC$，在$△ ABC$中得到对应线段成比例，求出$AG$与$GC$的比值；再根据$GF// CD$，在$△ ACD$中得到对应线段成比例，以$\frac{AG}{GC}$为中间比建立$AF$和$FD$的比例关系，代入已知$AF$的长度求出$FD$的长，最后将$AF$和$FD$相加即可得到$AD$的长度。
【解析】
解：$\because EG// BC$，
根据平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例，可得$\frac{AE}{EB}=\frac{AG}{GC}$，
已知$AE=3$，$EB=2$，$\therefore \frac{AG}{GC}=\frac{3}{2}$。
又$\because GF// CD$，
同理可得$\frac{AG}{GC}=\frac{AF}{FD}$，
$\therefore \frac{AF}{FD}=\frac{3}{2}$，
将$AF=6$代入得$\frac{6}{FD}=\frac{3}{2}$，解得$FD=4$，
$\therefore AD=AF+FD=6+4=10$。
【答案】
$\boxed{10}$
【知识点】
平行线分线段成比例，比例的计算
【点评】
本题是平行线分线段成比例的基础应用题型，解题的关键是找到中间比$\frac{AG}{GC}$，实现两组比例关系的转化，计算难度较低，熟练掌握定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
本题给出两组平行线，可利用平行线分线段成比例的推论求解：首先根据$EG// BC$，在$△ ABC$中得到对应线段成比例，求出$AG$与$GC$的比值；再根据$GF// CD$，在$△ ACD$中得到对应线段成比例，以$\frac{AG}{GC}$为中间比建立$AF$和$FD$的比例关系，代入已知$AF$的长度求出$FD$的长，最后将$AF$和$FD$相加即可得到$AD$的长度。
【解析】
解：$\because EG// BC$，
根据平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例，可得$\frac{AE}{EB}=\frac{AG}{GC}$，
已知$AE=3$，$EB=2$，$\therefore \frac{AG}{GC}=\frac{3}{2}$。
又$\because GF// CD$，
同理可得$\frac{AG}{GC}=\frac{AF}{FD}$，
$\therefore \frac{AF}{FD}=\frac{3}{2}$，
将$AF=6$代入得$\frac{6}{FD}=\frac{3}{2}$，解得$FD=4$，
$\therefore AD=AF+FD=6+4=10$。
【答案】
$\boxed{10}$
【知识点】
平行线分线段成比例，比例的计算
【点评】
本题是平行线分线段成比例的基础应用题型，解题的关键是找到中间比$\frac{AG}{GC}$，实现两组比例关系的转化，计算难度较低，熟练掌握定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
1. 如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上.若DE//BC,$\frac{AD}{DB}=\frac{2}{3}$,DE = 6 cm,则BC的长为(
A.9 cm
B.12 cm
C.15 cm
D.18 cm
第1题图 第2题图
C
)A.9 cm
B.12 cm
C.15 cm
D.18 cm
第1题图 第2题图
答案
1. C
解析
【分析】
首先观察图形，已知DE//BC，根据平行线的性质可得到△ADE和△ABC的对应角相等，从而判定两个三角形相似；再结合给出的$\frac{AD}{DB}=\frac{2}{3}$，求出两个相似三角形的相似比；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入DE的长度即可计算出BC的长。
【解析】
解：
∵DE//BC
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）
∵$\frac{AD}{DB}=\frac{2}{3}$
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$
由相似三角形的性质可得：$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$
将DE=6 cm代入得：$\frac{6}{BC}=\frac{2}{5}$
解得：$BC=6×\frac{5}{2}=15$ cm
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；比例线段计算
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题关键是通过平行线判定三角形相似，再结合相似三角形对应边成比例的性质求解未知线段长度，熟练掌握相似三角形的判定和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，已知DE//BC，根据平行线的性质可得到△ADE和△ABC的对应角相等，从而判定两个三角形相似；再结合给出的$\frac{AD}{DB}=\frac{2}{3}$，求出两个相似三角形的相似比；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入DE的长度即可计算出BC的长。
【解析】
解：
∵DE//BC
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）
∵$\frac{AD}{DB}=\frac{2}{3}$
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$
由相似三角形的性质可得：$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$
将DE=6 cm代入得：$\frac{6}{BC}=\frac{2}{5}$
解得：$BC=6×\frac{5}{2}=15$ cm
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；比例线段计算
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题关键是通过平行线判定三角形相似，再结合相似三角形对应边成比例的性质求解未知线段长度，熟练掌握相似三角形的判定和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. (2025·乐山)如图，$l_1 // l_2 // l_3$，$AB=2$，$DE=3$，$BC=4$，则$EF$的长为(
A.4
B.6
C.8
D.10
B
)A.4
B.6
C.8
D.10
答案
2. B
解析
【分析】
当遇到多条平行线被两条直线所截的图形时，首先联想到平行线分线段成比例定理，即两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。本题只需找到已知线段和待求线段对应的比例关系，代入已知数值即可求解EF的长度。
【解析】
解：
∵ $ l_1 // l_2 // l_3 $，根据平行线分线段成比例定理，可得 $\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$。
已知 $ AB=2 $，$ BC=4 $，$ DE=3 $，将数值代入比例式：
$\frac{2}{4}=\frac{3}{EF}$
交叉相乘得：$2EF = 3×4 = 12$
解得：$EF=6$
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是准确识别平行线截得的对应线段，正确列出比例式计算，熟记定理内容即可快速求解。
【难度系数】
0.8
当遇到多条平行线被两条直线所截的图形时，首先联想到平行线分线段成比例定理，即两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。本题只需找到已知线段和待求线段对应的比例关系，代入已知数值即可求解EF的长度。
【解析】
解：
∵ $ l_1 // l_2 // l_3 $，根据平行线分线段成比例定理，可得 $\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$。
已知 $ AB=2 $，$ BC=4 $，$ DE=3 $，将数值代入比例式：
$\frac{2}{4}=\frac{3}{EF}$
交叉相乘得：$2EF = 3×4 = 12$
解得：$EF=6$
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是准确识别平行线截得的对应线段，正确列出比例式计算，熟记定理内容即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. (2025·青海) 如图,在$△ ABC$中,$DE // BC$,且$AD = 3$,$DB = 2$,则$\frac{AE}{AC}$的值是
$\frac{3}{5}$
.答案
3. $\frac{3}{5}$
解析
【分析】
已知条件给出$DE // BC$，我们可以联想到平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例。因此$\frac{AE}{AC}$与$\frac{AD}{AB}$相等，我们只需要先求出AB的总长度，再代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because DE // BC$，根据平行线分线段成比例定理可得：
$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$
又$\because AD=3$，$DB=2$
$\therefore AB=AD+DB=3+2=5$
将$AD=3$，$AB=5$代入比例式得：
$\frac{AE}{AC}=\frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理；线段和差计算；比例求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平行线分线段成比例定理的应用，解题时只要准确识别对应线段的比例关系，代入数值计算即可，得分难度较低。
【难度系数】
0.85
已知条件给出$DE // BC$，我们可以联想到平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例。因此$\frac{AE}{AC}$与$\frac{AD}{AB}$相等，我们只需要先求出AB的总长度，再代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because DE // BC$，根据平行线分线段成比例定理可得：
$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$
又$\because AD=3$，$DB=2$
$\therefore AB=AD+DB=3+2=5$
将$AD=3$，$AB=5$代入比例式得：
$\frac{AE}{AC}=\frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理；线段和差计算；比例求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平行线分线段成比例定理的应用，解题时只要准确识别对应线段的比例关系，代入数值计算即可，得分难度较低。
【难度系数】
0.85
4. (2024·云南) 如图,AB与CD交于点O,且AC // BD. 若$\frac{OA + OC + AC}{OB + OD + BD} = \frac{1}{2}$,则$\frac{AC}{BD} =$
$\frac{1}{2}$
.答案
4. $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
首先结合已知条件AC//BD，可通过平行线的性质得到两组内错角相等，再结合对顶角相等，判定△AOC和△BOD相似；再回忆相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于对应边的比，题目给出的分式恰好是两个三角形的周长之比，直接利用该性质即可求出AC与BD的比值。
【解析】
解：
∵AC//BD，
∴∠A=∠B，∠C=∠D（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠AOC=∠BOD（对顶角相等），
∴△AOC∽△BOD（两角分别相等的两个三角形相似）。
由相似三角形的性质可知：相似三角形的周长比等于对应边的比，
其中$OA+OC+AC$是△AOC的周长，$OB+OD+BD$是△BOD的周长，已知$\frac{OA + OC + AC}{OB + OD + BD} = \frac{1}{2}$，
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{C_{△AOC}}{C_{△BOD}}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
平行线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，核心考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是识别出图形中的相似三角形，并明确给出的比值是两个三角形的周长比，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先结合已知条件AC//BD，可通过平行线的性质得到两组内错角相等，再结合对顶角相等，判定△AOC和△BOD相似；再回忆相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于对应边的比，题目给出的分式恰好是两个三角形的周长之比，直接利用该性质即可求出AC与BD的比值。
【解析】
解：
∵AC//BD，
∴∠A=∠B，∠C=∠D（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠AOC=∠BOD（对顶角相等），
∴△AOC∽△BOD（两角分别相等的两个三角形相似）。
由相似三角形的性质可知：相似三角形的周长比等于对应边的比，
其中$OA+OC+AC$是△AOC的周长，$OB+OD+BD$是△BOD的周长，已知$\frac{OA + OC + AC}{OB + OD + BD} = \frac{1}{2}$，
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{C_{△AOC}}{C_{△BOD}}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
平行线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，核心考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是识别出图形中的相似三角形，并明确给出的比值是两个三角形的周长比，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. (2024·山西)黄金分割是汉字结构最基本的规律. 借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观. 已知一条分割线的端点A,B分别在习字格的边MN,PQ上,且AB // NP,“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处,且$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.若NP = 2 cm,则BC的长为
$(\sqrt{2} - 1)$
cm.(结果保留根号)答案
5. $(\sqrt{2} - 1)$
6. 如图,在 △ABC 中,点 D,E,F 分别是边AB,AC,BC上的点,DE // BC,EF // AB,且AD: DB = 3: 5,那么BF: CF等于(
A.5: 8
B.3: 8
C.3: 5
D.2: 5
C
)A.5: 8
B.3: 8
C.3: 5
D.2: 5
答案
6. C
解析
【分析】
本题可利用平行线分线段成比例定理的推论求解：首先由已知DE//BC，可推出AE与EC的比值和已知AD:DB相等；再由EF//AB，可推出BF与CF的比值等于AE:EC，通过中间比AE:EC即可得到BF:CF的结果。
【解析】
解：
∵ DE//BC，根据平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例，
∴ $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，
已知$\frac{AD}{DB}=\frac{3}{5}$，因此$\frac{AE}{EC}=\frac{3}{5}$。
又
∵ EF//AB，同理可得$\frac{AE}{EC}=\frac{BF}{CF}$，
∴ $\frac{BF}{CF}=\frac{3}{5}$，即BF:CF=3:5。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例，相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础题，重点考查平行线分线段成比例的应用，解题的核心是找到两组平行线对应的线段比例关系，通过公共中间比建立已知条件和所求问题的联系，这类题型是比例线段部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
本题可利用平行线分线段成比例定理的推论求解：首先由已知DE//BC，可推出AE与EC的比值和已知AD:DB相等；再由EF//AB，可推出BF与CF的比值等于AE:EC，通过中间比AE:EC即可得到BF:CF的结果。
【解析】
解：
∵ DE//BC，根据平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例，
∴ $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，
已知$\frac{AD}{DB}=\frac{3}{5}$，因此$\frac{AE}{EC}=\frac{3}{5}$。
又
∵ EF//AB，同理可得$\frac{AE}{EC}=\frac{BF}{CF}$，
∴ $\frac{BF}{CF}=\frac{3}{5}$，即BF:CF=3:5。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例，相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础题，重点考查平行线分线段成比例的应用，解题的核心是找到两组平行线对应的线段比例关系，通过公共中间比建立已知条件和所求问题的联系，这类题型是比例线段部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
