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任意画两条直线$ l_1, l_2 $，再画三条与$ l_1, l_2 $都相交的平行线$ l_3, l_4, l_5 $，三条平行线在$ l_1 $上截得的线段分别为$ AB, BC, AC $，在$ l_2 $上截得的线段分别为$ DE, EF, DF $。度量上述线段的长度，哪些线段成比例？
平移$ l_3 $或$ l_4 $或$ l_5 $，它们依然相互平行，你得到的结论还成立吗？

可以发现，当$ l_3 // l_4 // l_5 $时，有$ \frac{AB}{BC} = $，$ \frac{AB}{AC} = $，$ \frac{BC}{AC} = $等。
一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：
.
推论：
.

平移平行线后结论仍然成立，平行线分线段成比例基本事实和推论均成立。

【分析】
本题是平行线分线段成比例的探究类题目，解题思路如下：1. 首先通过度量三条平行线截两条直线所得的线段长度，计算对应线段的比值，可发现相等的比例关系，书写比例式时要注意找准位置相对应的线段；2. 平移平行线后，三条直线平行的前提不变，再次度量验证即可判断比例关系是否保持，进而归纳出对应的基本事实，再延伸得到相关推论。
【解析】
首先对题图中线段进行度量、计算比值可得：
当$l_3 // l_4 // l_5$时，$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$，$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}$，$\frac{BC}{AC}=\frac{EF}{DF}$；
平移$l_3$或$l_4$或$l_5$后，三条直线仍然互相平行，重复度量验证可得上述比例关系仍然成立。
由此可归纳总结：
平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
【答案】
$\frac{DE}{EF}$；$\frac{DE}{DF}$；$\frac{EF}{DF}$；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；平移平行线后结论仍然成立，平行线分线段成比例基本事实和推论均成立。
【知识点】
平行线分线段成比例；比例线段
【点评】
本题是平行线分线段成比例的基础探究题，侧重考查对基本事实推导过程的理解，找准截得的对应线段是写出正确比例式的关键，该基本事实是后续学习相似相关内容的重要基础。
【难度系数】
0.8

如图是一座斜拉桥部分结构设计示意图，索塔两侧的桥梁OA,OB关于索塔的中轴线OC对称，每侧的拉索互相平行.索塔上拉索最高索鞍(用于拉索穿过并固定的索塔装置)C到桥梁的距离OC为15 m,索塔左侧部分需要承重的桥梁长度OA = 40 m.如果桥梁上每隔8 m需要安装一根拉索,应该如何在索塔上安排索鞍？

解：根据平行线分线段成比例定理，桥梁OA总长40m，每隔8m设置一个拉索连接点，从O点向A点的分点距离O点分别为8m、16m、24m、32m，对应索塔上索鞍距离O点的高度分别为：
$h_1=15×\frac{8}{40}=3\ \mathrm{m}$
$h_2=15×\frac{16}{40}=6\ \mathrm{m}$
$h_3=15×\frac{24}{40}=9\ \mathrm{m}$
$h_4=15×\frac{32}{40}=12\ \mathrm{m}$
即应在索塔OC上距离O点3m、6m、9m、12m的位置分别设置索鞍。

【分析】
解题时首先梳理已知条件：索塔OC垂直桥梁AB，OC=15m，OA=40m，同侧拉索互相平行，桥梁上每隔8m设置一个拉索连接点，需求索塔上索鞍的位置。首先回忆平行线分线段成比例相关知识：拉索均平行于最高拉索AC，因此每条拉索与OC、OA围成的小三角形都和△OAC相似，对应边成比例，即索鞍的高度和对应拉索连接点到O的水平距离的比值是固定值，等于OC与OA的比。接下来先确定OA上各连接点到O的水平距离，再代入比例式就能算出对应索鞍的高度。
【解析】
解：
∵ 索塔中轴线OC垂直于桥梁AB，且同侧所有拉索互相平行，
∴ 根据平行线分线段成比例定理，对于任意拉索连接点Aₙ（距离O点的水平距离为$l_n$），对应索鞍Cₙ距离O点的高度$h_n$满足：$\frac{h_n}{l_n}=\frac{OC}{OA}$。
已知OC=15m，OA=40m，桥梁上每隔8m设置一个拉索连接点，因此从O点向A点的4个连接点距离O点的水平距离分别为8m、16m、24m、32m，代入比例式计算得：
$h_1=15×\frac{8}{40}=3\ \mathrm{m}$
$h_2=15×\frac{16}{40}=6\ \mathrm{m}$
$h_3=15×\frac{24}{40}=9\ \mathrm{m}$
$h_4=15×\frac{32}{40}=12\ \mathrm{m}$
【答案】
应在索塔OC上距离O点3m、6m、9m、12m的位置分别设置索鞍。
【知识点】
1. 平行线分线段成比例
2. 相似三角形的性质
【点评】
本题结合斜拉桥的实际设计场景，考查了平行线分线段成比例定理的应用，解题时需要先把实际问题转化为几何比例计算问题，找准对应线段的比例关系即可快速求解，注重考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7

1. 若$△ ABC ∽ △ DEF$，$BC=6$，$EF=4$，则$\frac{AC}{DF}$的值为()

A.$\frac{4}{9}$
B.$\frac{9}{4}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{3}$

1. C

【分析】
本题考查相似三角形的性质应用，解题思路如下：首先明确相似三角形的基本性质：相似三角形的对应边成比例，且相似符号“∽”前后的顶点顺序对应了两个三角形的顶点对应关系，由此可确定边的对应关系，再代入已知边长计算即可得到所求比值。
【解析】
解：
∵$△ ABC ∽ △ DEF$，根据相似三角形对应边成比例的性质，可得对应边的比值相等，即$\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}$的倒数，也就是$\frac{AC}{DF}=\frac{EF}{BC}$。
已知$BC=6$，$EF=4$，代入得：
$\frac{AC}{DF}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础类考题，主要考查对相似三角形对应边成比例性质的掌握，解题时只需找准对应边的关系，代入数值计算即可，易错点是混淆对应边的前后顺序。
【难度系数】
0.8

2.如图,直线$l_1 // l_2 // l_3$,直线AC分别交$l_1,l_2,l_3$于点A,B,C,直线DF分别交$l_1,l_2,l_3$于点D,E,F,直线AC,DF交于点P,则下列结论错误的是()


A.$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$
B.$\frac{PA}{PC}=\frac{PD}{PF}$
C.$\frac{PA}{PB}=\frac{PE}{PF}$
D.$\frac{PB}{PE}=\frac{AC}{DF}$

2. C

【分析】
解题时首先回忆平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；以及其推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。接下来逐个分析选项，结合图形找准各线段的对应关系，判断比例式是否成立即可。
【解析】
根据平行线分线段成比例定理及推论逐一判断：
1. 对选项A：$\because l_1// l_2// l_3$，直线AC、DF被三条平行线所截，对应线段成比例，$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$，A结论正确，不符合题意。
2. 对选项B：$\because l_1// l_3$，在$△ PDF$中，$AD// CF$，由推论得$\frac{PA}{PC}=\frac{PD}{PF}$，B结论正确，不符合题意。
3. 对选项C：$\because l_1// l_2$，在$△ PAD$中，$AD// EB$，由推论得$\frac{PA}{PB}=\frac{PD}{PE}\ne\frac{PE}{PF}$，C结论错误，符合题意。
4. 对选项D：由$l_1// l_2// l_3$可得$\frac{PB}{PE}=\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PF}$，根据等比性质，$\frac{PB}{PE}=\frac{PA+PC}{PD+PF}=\frac{AC}{DF}$，D结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例，比例的性质
【点评】
本题核心是考查平行线分线段成比例相关定理的应用，解题的关键是准确识别截线和被截线，找准对应线段，避免因对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.7