5. 已知四边形$ABCD ∽$四边形$EFGH$，$AB =12,EF=8,∠ E=100°,∠ F=70°,∠ G=110°,AD = 15$. 求$∠ A$的度数和$EH$的长.

5. ∠A = 100°,EH = 10.

【分析】
解决本题首先要回忆相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例，且相似表示中顶点的排列顺序对应对应顶点的关系，即四边形ABCD∽四边形EFGH时，A对应E、B对应F、C对应G、D对应H。求∠A时，直接找其对应角∠E即可得结果；求EH时，先确定与EH对应的边是AD，再结合已知的对应边AB、EF，根据对应边成比例列等式计算即可。
【解析】
∵ 四边形$ABCD ∽$四边形$EFGH$，
∴ 对应角相等，对应边成比例，即$∠ A = ∠ E$，$\frac{AB}{EF}=\frac{AD}{EH}$。
已知$∠ E=100°$，$AB =12$，$EF=8$，$AD = 15$，
∴ $∠ A=100°$，
代入比例式得：$\frac{12}{8}=\frac{15}{EH}$，
交叉相乘得：$12EH = 15×8 = 120$，
解得：$EH=10$。
【答案】
$∠ A = 100°$，$EH = 10$
【知识点】
1. 相似多边形的性质 2. 比例式计算
【点评】
本题属于基础题，核心是利用相似多边形的性质求解，解题的关键是根据相似的书写顺序准确找到对应角和对应边，避免因对应关系找错导致失分。
【难度系数】
0.8

6. 如图,在直角坐标系中有两点$A(4,0),B(0,2)$,如果点$C$在$x$轴上($C$与$A$不重合),当$C$点的坐标为________时,使得由点$B,O,C$组成的三角形与$△ AOB$相似.

(- 1,0)(答案不唯一)

【分析】
首先，点C在x轴上，因此△BOC是直角三角形，直角为∠BOC，已知△AOB也是直角三角形，直角为∠AOB，两个直角相等，要使两三角形相似，只需两组直角边对应成比例即可。由于题目未明确两个三角形的相似对应关系，因此需要分情况讨论对应边的比例关系，设C点坐标为(x,0)，表示出OC的长度，再根据比例列式求解，最后排除与A重合的情况即可得到符合条件的C点坐标。
【解析】
解：由题意得$∠ AOB = ∠ COB = 90°$，设点C的坐标为$(x,0)$，则$OC=|x|$，已知$OA=4$，$OB=2$，两个直角三角形相似分两种情况：
① 当$△ COB ∽ △ AOB$时，对应边成比例：$\frac{OC}{OA}=\frac{OB}{OB}$，
代入得$\frac{|x|}{4}=\frac{2}{2}$，解得$|x|=4$，
∵点C与A不重合，$A(4,0)$，
∴$x=-4$，即$C(-4,0)$；
② 当$△ BOC ∽ △ AOB$时，对应边成比例：$\frac{OB}{OA}=\frac{OC}{OB}$，
代入得$\frac{2}{4}=\frac{|x|}{2}$，解得$|x|=1$，
∴$x=1$或$x=-1$，即$C(1,0)$或$C(-1,0)$。
综上，符合条件的C点坐标可写出其中任意一个。
【答案】
$(-1,0)$（答案不唯一）
【知识点】
相似三角形的判定；平面直角坐标系点的特征；分类讨论思想
【点评】
本题考查相似三角形的判定应用，解题的关键是明确未给出相似对应顺序时要分类讨论，避免漏解，同时要注意题目给出的点的限制条件，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.6

7.已知四边形ABCD与四边形$A_1B_1C_1D_1$相似，并且点A与$A_1$，点B与$B_1$，点C与$C_1$，点D与$D_1$分别是对应点.
(1)已知$∠ A = 40°, ∠ B = 110°, ∠ C_1 = 90°$,求$∠ D$的度数；
(2)已知$AB = 9, CD = 15, A_1B_1 = 6, A_1D_1 = 4, B_1C_1 = 8$,求四边形ABCD的周长.

7. (1)120°;(2)42.

【分析】
本题考查相似四边形的性质应用，解题思路如下：
(1) 要求∠D的度数，首先根据相似多边形对应角相等的性质，可得∠C与对应角∠C₁相等，再结合四边形内角和为360°，用内角和减去已知的∠A、∠B、∠C的度数即可求出∠D。
(2) 要求四边形ABCD的周长，首先根据相似多边形对应边成比例的性质，先由已知的对应边AB和A₁B₁求出相似比，再利用相似比分别求出未知的边AD、BC的长度，最后将四边形四条边的长度相加得到周长。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD∽四边形A₁B₁C₁D₁，对应角相等
∴∠C = ∠C₁ = 90°
∵四边形内角和为$(4-2)×180°=360°$
∴$∠D = 360° - ∠A - ∠B - ∠C = 360° - 40° - 110° - 90° = 120°$
(2)
∵四边形ABCD∽四边形A₁B₁C₁D₁，对应边成比例
∴相似比$k = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$
∴$\frac{AD}{A_1D_1} = k$，$\frac{BC}{B_1C_1} = k$
∴$AD = k×A_1D_1 = \frac{3}{2}×4 = 6$
$BC = k×B_1C_1 = \frac{3}{2}×8 = 12$
∴四边形ABCD的周长 = $AB + BC + CD + AD = 9 + 12 + 15 + 6 = 42$
【答案】
(1)120°；(2)42
【知识点】
相似多边形的性质、四边形内角和定理
【点评】
本题是相似多边形性质的基础应用，解题的核心是准确找到相似图形的对应角和对应边，牢记相似多边形对应角相等、对应边成比例的性质即可顺利求解，计算时注意比例关系不要颠倒。
【难度系数】
0.8

学习过程
自主学习
1. 相似多边形的主要特征是什么？
2. 在相似多边形中，最简单的就是相似三角形.
在 $△ ABC$ 与 $△ A'B'C'$ 中，如果 $∠ A = ∠ A'$，$∠ B = ∠ B'$，$∠ C = ∠ C'$，且 $\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'} = k$，我们就说 $△ ABC$ 与 $△ A'B'C'$ 相似，记作 ，$k$ 就是它们的 .
反之，如果 $△ ABC ∽ △ A'B'C'$，则 ，且 = = = .
3. 如果 $k = 1$，这两个三角形有怎样的关系？

1. 相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。
2. 记作$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，$k$就是它们的相似比；反之对应角相等，对应边的比等于$k$。
3. 两个三角形能够完全重合，是全等三角形。

【分析】
这道题是对相似相关基础概念的考察，解题时可结合课本定义逐一分析：1. 回忆相似多边形的核心特征，从角和边两个维度梳理即可；2. 结合相似三角形的定义，明确相似的记法要求（对应顶点写在对应位置）、相似比的定义，再根据相似的性质写出逆推的结论；3. 当k=1时，对应边的比为1即对应边相等，结合对应角相等的特征，联系全等三角形的判定即可得出结论。
【解析】
1. 相似多边形的性质从对应角、对应边两个维度定义，其主要特征为对应角相等，对应边的比相等。
2. 相似三角形用符号“∽”表示，按照对应顶点对应书写的原则记作$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，对应边的比值k叫做相似比；若两个三角形相似，根据相似的性质可得对应角相等，同时对应边的比相等，比值为相似比k，即$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}=k$。
3. 当k=1时，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}=1$，即三组对应边分别相等，加上相似三角形对应角相等的特征，满足全等三角形的判定条件，因此两个三角形能够完全重合，属于全等三角形。
【答案】
1. 相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。
2. 记作$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，$k$就是它们的相似比；反之对应角相等，对应边的比等于$k$。
3. 两个三角形能够完全重合，是全等三角形。
【知识点】
1. 相似多边形特征
2. 相似三角形定义
3. 相似与全等的关系
【点评】
本题属于基础概念题，重点考察相似相关的核心基础定义，是后续学习相似三角形判定、性质及应用的前提，学习时要注意熟记概念，尤其注意相似符号书写时对应顶点的位置要求，明确全等是相似比为1的特殊相似。
【难度系数】
0.9