7.如图,在$□ ABCD$中,过D的直线交AC,AB及CB的延长线于点E,F,G.求证:$DE^2 = EF · EG.$

证明:在 $□ ABCD$ 中,$AB // CD,AD // BC,\therefore \frac{DE}{EG} = \frac{AE}{EC},\frac{EF}{DE} = \frac{AE}{EC}. \therefore \frac{DE}{EG} = \frac{EF}{DE}. \therefore DE^2 = EF · EG.$

【分析】
要证明等积式$DE^2 = EF · EG$，首先将其转化为比例式$\frac{DE}{EG}=\frac{EF}{DE}$，只需证明这两个比例相等即可。结合平行四边形对边平行的性质，可利用平行线分线段成比例的性质，得到两组含公共中间比$\frac{AE}{EC}$的比例式，通过等量代换就能推出目标比例式，交叉相乘即可得到待证的等积式。
【解析】
证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB // CD$，$AD // BC$，
∴ 由$AD // BC$可得$\frac{DE}{EG} = \frac{AE}{EC}$，
由$AB // CD$可得$\frac{EF}{DE} = \frac{AE}{EC}$，
∴ $\frac{DE}{EG} = \frac{EF}{DE}$，
∴ $DE^2 = EF · EG$。
【答案】
证明过程如上所示，$DE^2 = EF · EG$得证。
【知识点】
平行四边形的性质、平行线分线段成比例、比例的基本性质
【点评】
本题是几何中典型的等积式证明题，解题关键是掌握等积式转比例式的思路，再结合图形性质寻找中间比完成等量代换，这类题能很好地考查学生对平行四边形性质和比例线段知识的应用能力。
【难度系数】
0.7

学习目标
1. 理解并掌握相似三角形判定的预备定理.
2. 能运用定理证明三角形相似,并解决相关的比例计算、几何证明问题.
3. 掌握定理的推导过程,理解相似三角形与平行线的内在联系.
重点难点
相似三角形判定预备定理的理解与应用.
学习过程
自主学习
1. 什么是相似三角形?
2. 相似三角形的判定有哪些方法?
3. 平行线分线段成比例定理:

解：
1. 三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2. ① 定义法：若两个三角形的三个角分别相等，三条边对应成比例，则这两个三角形相似；
② 预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
3. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

【分析】
这3道题均为相似三角形章节的基础概念识记类题目，解题时只需回忆对应课本原文内容作答即可：第1题考查相似三角形的定义，需从角、边两个核心特征描述；第2题考查现阶段要求掌握的相似三角形判定方法，结合所学内容依次答出定义法和预备定理即可；第3题考查平行线分线段成比例定理的核心内容，直接默写定理原文即可。
【解析】
1. 根据相似三角形的定义作答：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2. 结合当前所学的判定方法作答：
① 定义法：若两个三角形的三个角分别相等，三条边对应成比例，则这两个三角形相似；
② 预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
3. 平行线分线段成比例定理内容为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
【答案】
1. 三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2. ① 定义法：若两个三角形的三个角分别相等，三条边对应成比例，则这两个三角形相似；
② 预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
3. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
【知识点】
相似三角形的定义；相似三角形判定预备定理；平行线分线段成比例定理
【点评】
本题为基础概念考察题，内容均为相似章节的核心基础概念，是后续开展相似证明、比例计算等复杂题型求解的前提，需要学生准确理解、熟练记忆。
【难度系数】
0.9

4. 平行线分线段成比例定理的推论：

解：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

【分析】
解题时首先回忆平行线分线段成比例的基本定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。再思考该定理在三角形中的特殊应用场景：如果有一条直线平行于三角形的某一条边，那么这条直线会与三角形的另外两边（或两边的延长线）相交，此时就满足平行线分线段成比例定理的条件，由此可以推导出对应的特殊结论，也就是本题要求填写的推论内容，注意要明确表述出前提、截线对象和最终结论三部分内容。
【解析】
平行线分线段成比例定理的核心是平行线截线得到成比例的线段，将其应用到三角形场景中可得推论：
前提为存在一条平行于三角形一边的直线，该直线的截线对象是三角形的其他两边（或两边的延长线），最终结论为截得的对应线段成比例。
完整表述为：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
【答案】
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
【知识点】
1. 平行线分线段成比例推论
2. 三角形平行截线性质
【点评】
该推论是平行线分线段成比例定理的特殊化结论，是后续学习相似三角形相关知识的重要基础，需要准确记忆其适用条件和结论，注意不要遗漏“截两边或两边的延长线”这一适用范围，避免误用。
【难度系数】
0.8

如图,在△ABC中,作DE//BC.问:
(1)△ADE与△ABC满足“对应角相等”吗?为什么?
(2)△ADE与△ABC满足“对应边成比例”吗?由DE//BC的条件可得到哪些线段的比相等?

(3)根据以前学习过的知识,如何把DE移到BC上去?(作辅助线EF//AB)
你能证明AE:AC = DE:BC吗?
(4)写出△ABC∽△ADE的证明过程.
(5)当平行于三角形一边的直线与其他两边的延长线相交时,所构成的三角形也与原三角形相似.请结合图形完成证明.

解：(1) 满足对应角相等，理由如下：
∵ $DE // BC$，
∴ $∠ ADE = ∠ B$，$∠ AED = ∠ C$（两直线平行，同位角相等），
又 $∠ A$ 是$△ ADE$和$△ ABC$的公共角，即$∠ A = ∠ A$，
∴ $△ ADE$与$△ ABC$的三组对应角全部相等。
(2) 满足对应边成比例。
由$DE // BC$，根据平行线分线段成比例的推论，可得相等的线段比为：
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，$\frac{DB}{AB}=\frac{EC}{AC}$。
(3) 作法：过点$E$作$EF // AB$，交$BC$于点$F$，由平行四边形对边相等的性质，$DE=BF$，即可将$DE$平移到$BC$边上的$BF$位置。
证明：
∵ $EF // AB$，
∴ 根据平行线分线段成比例定理，$\frac{BF}{BC}=\frac{AE}{AC}$。
又∵ $DE // BC$，$EF // AB$，
∴ 四边形$DEFB$是平行四边形，
∴ $DE = BF$，
将$BF$替换为$DE$，得$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$，即$AE:AC = DE:BC$。
(4) 证明：
∵ $DE // BC$，
∴ $∠ ADE = ∠ B$，$∠ AED = ∠ C$（两直线平行，同位角相等），
又 $∠ A = ∠ A$，
由平行线分线段成比例推论得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
由(3)的结论得$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，
即$△ ADE$与$△ ABC$的对应角相等，对应边成比例，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$。
(5) 证明：
已知：如图，$DE // BC$，$DE$分别交$BA$、$CA$的反向延长线于点$D$、$E$，
求证：$△ ADE ∽ △ ABC$。
∵ $DE // BC$，
∴ $∠ D = ∠ B$，$∠ E = ∠ C$（两直线平行，内错角相等），
又 $∠ DAE = ∠ BAC$（对顶角相等），
过点$D$作$DF // AC$，交$BC$的延长线于点$F$，
∵ $DF // AC$，
∴ 根据平行线分线段成比例定理，$\frac{AD}{AB}=\frac{CF}{BC}$，
又∵ $DE // BC$，$DF // AC$，
∴ 四边形$DFCE$是平行四边形，
∴ $DE = CF$，
代入得$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，
∵ $DE // BC$，由平行线分线段成比例推论得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，
即$△ ADE$与$△ ABC$的对应角相等，对应边成比例，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$。

【分析】
本题围绕相似三角形预备定理的推导展开，解题思路层层递进：
1. 第(1)问可利用平行线的同位角相等性质，结合公共角，即可验证两组三角形对应角全部相等；
2. 第(2)问直接运用平行线分线段成比例的推论，平行于三角形一边的直线截其余两边，所得对应线段成比例，即可写出对应相等的线段比，验证对应边成比例；
3. 第(3)问要关联DE与BC的比例关系，可通过作EF//AB构造平行四边形，将DE平移到BC边上转化为BF，再结合平行线分线段成比例定理，等量代换即可证明AE:AC=DE:BC；
4. 第(4)问结合前三问得到的对应角相等、三组对应边成比例的结论，根据相似三角形的定义即可证明△ABC∽△ADE；
5. 第(5)问为拓展情形，平行线与两边的反向延长线相交时，先利用平行线内错角相等、对顶角相等得到对应角相等，再通过构造平行四边形证明对应边成比例，即可完成证明。
【解析】
(1) 满足对应角相等，理由如下：
∵ $DE // BC$，
∴ $∠ ADE = ∠ B$，$∠ AED = ∠ C$（两直线平行，同位角相等），
又 $∠ A$ 是$△ ADE$和$△ ABC$的公共角，即$∠ A = ∠ A$，
∴ $△ ADE$与$△ ABC$的三组对应角全部相等。
(2) 满足对应边成比例。
由$DE // BC$，根据平行线分线段成比例的推论，可得相等的线段比为：
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，$\frac{DB}{AB}=\frac{EC}{AC}$。
(3) 作法：过点$E$作$EF // AB$，交$BC$于点$F$，由平行四边形对边相等的性质，$DE=BF$，即可将$DE$平移到$BC$边上的$BF$位置。
证明：
∵ $EF // AB$，
∴ 根据平行线分线段成比例定理，$\frac{BF}{BC}=\frac{AE}{AC}$。
又
∵ $DE // BC$，$EF // AB$，
∴ 四边形$DEFB$是平行四边形，
∴ $DE = BF$，
将$BF$替换为$DE$，得$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$，即$AE:AC = DE:BC$。
(4) 证明：
∵ $DE // BC$，
∴ $∠ ADE = ∠ B$，$∠ AED = ∠ C$（两直线平行，同位角相等），
又 $∠ A = ∠ A$，
由平行线分线段成比例推论得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
由(3)的结论得$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，
即$△ ADE$与$△ ABC$的对应角相等，对应边成比例，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$。
(5) 证明：
已知：如图，$DE // BC$，$DE$分别交$BA$、$CA$的反向延长线于点$D$、$E$，
求证：$△ ADE ∽ △ ABC$。
∵ $DE // BC$，
∴ $∠ D = ∠ B$，$∠ E = ∠ C$（两直线平行，内错角相等），
又 $∠ DAE = ∠ BAC$（对顶角相等），
过点$D$作$DF // AC$，交$BC$的延长线于点$F$，
∵ $DF // AC$，
∴ 根据平行线分线段成比例定理，$\frac{AD}{AB}=\frac{CF}{BC}$，
又
∵ $DE // BC$，$DF // AC$，
∴ 四边形$DFCE$是平行四边形，
∴ $DE = CF$，
代入得$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，
∵ $DE // BC$，由平行线分线段成比例推论得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，
即$△ ADE$与$△ ABC$的对应角相等，对应边成比例，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$。
【答案】
(1) 满足对应角相等，理由：两直线平行同位角相等，结合公共角可得三组对应角分别相等；
(2) 满足对应边成比例，相等的线段比为$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，$\frac{DB}{AB}=\frac{EC}{AC}$；
(3) 过点$E$作$EF// AB$交$BC$于$F$即可将$DE$平移到$BC$上，可证明$AE:AC = DE:BC$，证明过程见解析；
(4) $△ ADE ∼ △ ABC$的证明过程见解析；
(5) 平行于三角形一边的直线与其他两边延长线相交时构成的三角形与原三角形相似，证明过程见解析。
【知识点】
平行线的性质、平行线分线段成比例、相似三角形的判定
【点评】
本题逐步推导相似三角形的预备定理，逻辑连贯，既巩固了平行线、平行四边形的相关性质，也帮助学生理解相似判定的底层逻辑，能有效提升逻辑推理和辅助线构造的能力。
【难度系数】
0.7