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如图,在 $□ ABCD$ 中,E 是 CD 的中点,AC,BD 相交于点 F,求$\frac{AF}{FC}$的值.
答案
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$AB = CD$。
∵ E是CD的中点，
∴ $CE = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}AB$。
∵ $AB// CD$，由平行线分线段成比例的推论可得：
$\frac{AF}{FC}=\frac{AB}{CE}=\frac{AB}{\frac{1}{2}AB}=2$。
即$\frac{AF}{FC}$的值为2。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$AB = CD$。
∵ E是CD的中点，
∴ $CE = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}AB$。
∵ $AB// CD$，由平行线分线段成比例的推论可得：
$\frac{AF}{FC}=\frac{AB}{CE}=\frac{AB}{\frac{1}{2}AB}=2$。
即$\frac{AF}{FC}$的值为2。
解析
【分析】
要求$\frac{AF}{FC}$的比值，可按以下思路推导：首先利用平行四边形的性质得到对边平行且相等的关系，再结合E是CD中点的条件，推出CE与AB的数量关系，最后根据平行线分线段成比例的推论，建立AF、FC与AB、CE的比例关系，代入计算即可得到结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$AB = CD$。
∵ E是CD的中点，
∴ $CE = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}AB$。
∵ $AB// CD$，根据平行线分线段成比例的推论可得：
$\frac{AF}{FC}=\frac{AB}{CE}=\frac{AB}{\frac{1}{2}AB}=2$。
【答案】
2
【知识点】
平行四边形的性质；平行线分线段成比例；线段中点的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，重点考察基础性质定理的综合应用能力，解题关键是通过平行四边形的性质找到平行线段，结合中点条件得到对应线段的数量关系，再利用比例定理求解。
【难度系数】
0.8
要求$\frac{AF}{FC}$的比值，可按以下思路推导：首先利用平行四边形的性质得到对边平行且相等的关系，再结合E是CD中点的条件，推出CE与AB的数量关系，最后根据平行线分线段成比例的推论，建立AF、FC与AB、CE的比例关系，代入计算即可得到结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$AB = CD$。
∵ E是CD的中点，
∴ $CE = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}AB$。
∵ $AB// CD$，根据平行线分线段成比例的推论可得：
$\frac{AF}{FC}=\frac{AB}{CE}=\frac{AB}{\frac{1}{2}AB}=2$。
【答案】
2
【知识点】
平行四边形的性质；平行线分线段成比例；线段中点的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，重点考察基础性质定理的综合应用能力，解题关键是通过平行四边形的性质找到平行线段，结合中点条件得到对应线段的数量关系，再利用比例定理求解。
【难度系数】
0.8
1. 如图，$DE // BC$，$EF // AB$，则图中相似三角形一共有()
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
答案
C
解析
【分析】
解题时先回忆相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。首先根据DE//BC找到第一对相似三角形，再根据EF//AB找到第二对相似三角形，最后根据相似的传递性，得出前两对里的两个小三角形也相似，数清总对数即可。
【解析】
1. 因为$DE// BC$，根据“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，可得$△ ADE ∽ △ ABC$；
2. 因为$EF// AB$，同理可得$△ EFC ∽ △ ABC$；
3. 由相似的传递性可知，和同一个三角形相似的两个三角形也相似，因此$△ ADE ∽ △ EFC$。
综上，共有3对相似三角形。
【答案】
C
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 相似的传递性
【点评】
本题是相似三角形的基础计数题，重点考查平行法判定相似三角形的应用，解题时要结合图形梳理所有平行线对应的相似关系，避免漏掉由相似传递性得到的相似对。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。首先根据DE//BC找到第一对相似三角形，再根据EF//AB找到第二对相似三角形，最后根据相似的传递性，得出前两对里的两个小三角形也相似，数清总对数即可。
【解析】
1. 因为$DE// BC$，根据“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，可得$△ ADE ∽ △ ABC$；
2. 因为$EF// AB$，同理可得$△ EFC ∽ △ ABC$；
3. 由相似的传递性可知，和同一个三角形相似的两个三角形也相似，因此$△ ADE ∽ △ EFC$。
综上，共有3对相似三角形。
【答案】
C
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 相似的传递性
【点评】
本题是相似三角形的基础计数题，重点考查平行法判定相似三角形的应用，解题时要结合图形梳理所有平行线对应的相似关系，避免漏掉由相似传递性得到的相似对。
【难度系数】
0.7
2. 如图, 在 $△ ABC$ 中,$DE // BC,AD = EC,BD = 4,AE = 3$. 求 $AB$ 的长.
答案
解：
∵ $DE // BC$，
∴ 由平行线分线段成比例的推论可得：$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$。
又∵ $AD=EC$，$BD=4$，$AE=3$，
代入得 $\frac{AD}{4}=\frac{3}{AD}$，
整理得 $AD^2=12$，
∵ 线段长度为正，即 $AD＞0$，
∴ $AD=2\sqrt{3}$，
∴ $AB=AD+BD=2\sqrt{3}+4$。
∵ $DE // BC$，
∴ 由平行线分线段成比例的推论可得：$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$。
又∵ $AD=EC$，$BD=4$，$AE=3$，
代入得 $\frac{AD}{4}=\frac{3}{AD}$，
整理得 $AD^2=12$，
∵ 线段长度为正，即 $AD＞0$，
∴ $AD=2\sqrt{3}$，
∴ $AB=AD+BD=2\sqrt{3}+4$。
解析
【分析】
解题时首先观察图形条件，已知$DE// BC$，可联想到平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截另外两边，所得的对应线段成比例，由此可得到$AD、BD、AE、EC$的比例关系。再结合已知$AD=EC$的条件，可将比例式中的未知量统一为$AD$，通过列方程求出$AD$的长度，最后根据$AB=AD+BD$即可算出$AB$的长。
【解析】
∵ $DE // BC$，
∴ 根据平行线分线段成比例的推论可得：$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$。
又
∵ $AD=EC$，$BD=4$，$AE=3$，
将条件代入比例式得 $\frac{AD}{4}=\frac{3}{AD}$，
整理得 $AD^2=12$，
∵ 线段长度为正数，即 $AD＞0$，
∴ $AD=2\sqrt{3}$，
∴ $AB=AD+BD=2\sqrt{3}+4$。
【答案】
$2\sqrt{3}+4$
【知识点】
平行线分线段成比例；线段和差计算
【点评】
本题是平行线分线段成比例的基础应用题型，解题的核心是准确找到平行条件对应的线段比例关系，结合已知等量关系列方程求解未知线段，这类题型是几何中线段长度计算的常见基础考法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.75
解题时首先观察图形条件，已知$DE// BC$，可联想到平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截另外两边，所得的对应线段成比例，由此可得到$AD、BD、AE、EC$的比例关系。再结合已知$AD=EC$的条件，可将比例式中的未知量统一为$AD$，通过列方程求出$AD$的长度，最后根据$AB=AD+BD$即可算出$AB$的长。
【解析】
∵ $DE // BC$，
∴ 根据平行线分线段成比例的推论可得：$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$。
又
∵ $AD=EC$，$BD=4$，$AE=3$，
将条件代入比例式得 $\frac{AD}{4}=\frac{3}{AD}$，
整理得 $AD^2=12$，
∵ 线段长度为正数，即 $AD＞0$，
∴ $AD=2\sqrt{3}$，
∴ $AB=AD+BD=2\sqrt{3}+4$。
【答案】
$2\sqrt{3}+4$
【知识点】
平行线分线段成比例；线段和差计算
【点评】
本题是平行线分线段成比例的基础应用题型，解题的核心是准确找到平行条件对应的线段比例关系，结合已知等量关系列方程求解未知线段，这类题型是几何中线段长度计算的常见基础考法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.75
1.（2025·安徽合肥月考）如图，四边形ABCD是平行四边形，G是DC的延长线上一点，AG分别与DB，CB交于点E，F，下列结论错误的是（
A.$△ ADG ∼ △ FCG$
B.$△ ADE ∼ △ FBE$
C.$△ ABE ∼ △ GDE$
D.$△ ABF ∼ △ GDE$
D
）A.$△ ADG ∼ △ FCG$
B.$△ ADE ∼ △ FBE$
C.$△ ABE ∼ △ GDE$
D.$△ ABF ∼ △ GDE$
答案
1. D
解析
【分析】
解决本题的核心是结合平行四边形对边平行的性质，利用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，逐一验证每个选项中的两个三角形是否满足相似条件：首先明确平行四边形ABCD中AB//DG、AD//BC，通过平行线得到的同位角、内错角相等，结合公共角、对顶角相等，判断对应角是否相等即可。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，因此AB//DG，AD//BC。
选项A：
∵AD//BC，
∴∠GCF=∠GDA，又
∵∠G是△ADG和△FCG的公共角，
∴△ADG∽△FCG（两角分别相等的两个三角形相似），A结论正确。
选项B：
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠BFE，∠ADE=∠FBE，又
∵∠AED=∠FEB（对顶角相等），
∴△ADE∽△FBE（两角分别相等的两个三角形相似），B结论正确。
选项C：
∵AB//DG，
∴∠EAB=∠EGD，∠EBA=∠EDG，又
∵∠AEB=∠GED（对顶角相等），
∴△ABE∽△GDE（两角分别相等的两个三角形相似），C结论正确。
选项D：△ABF与△GDE中，仅能推出∠BAF=∠DGE，找不到第二组对应相等的角，因此两个三角形不相似，D结论错误。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础题，解题时要注意结合图形找准对应角，熟练运用平行四边形的平行线性质推导等角，再结合相似三角形判定定理逐一排查即可。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是结合平行四边形对边平行的性质，利用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，逐一验证每个选项中的两个三角形是否满足相似条件：首先明确平行四边形ABCD中AB//DG、AD//BC，通过平行线得到的同位角、内错角相等，结合公共角、对顶角相等，判断对应角是否相等即可。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，因此AB//DG，AD//BC。
选项A：
∵AD//BC，
∴∠GCF=∠GDA，又
∵∠G是△ADG和△FCG的公共角，
∴△ADG∽△FCG（两角分别相等的两个三角形相似），A结论正确。
选项B：
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠BFE，∠ADE=∠FBE，又
∵∠AED=∠FEB（对顶角相等），
∴△ADE∽△FBE（两角分别相等的两个三角形相似），B结论正确。
选项C：
∵AB//DG，
∴∠EAB=∠EGD，∠EBA=∠EDG，又
∵∠AEB=∠GED（对顶角相等），
∴△ABE∽△GDE（两角分别相等的两个三角形相似），C结论正确。
选项D：△ABF与△GDE中，仅能推出∠BAF=∠DGE，找不到第二组对应相等的角，因此两个三角形不相似，D结论错误。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础题，解题时要注意结合图形找准对应角，熟练运用平行四边形的平行线性质推导等角，再结合相似三角形判定定理逐一排查即可。
【难度系数】
0.7
