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2. 如图,已知$AB // CD$,AD与BC相交于点O.若$\frac{BO}{OC}=\frac{2}{3}$,$AD = 10$,则$AO =$
第2题图 第3题图
4
.第2题图 第3题图
答案
2. 4
解析
【分析】
首先根据已知条件AB//CD，可推出△AOB和△DOC的两组内错角相等，结合对顶角相等可证明两个三角形相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，得到AO与OD的比值等于BO与OC的比值2:3；最后结合AD=AO+OD=10，按比例分配即可求出AO的长度。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴∠A=∠D，∠B=∠C（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠AOB=∠DOC（对顶角相等），
∴△AOB∽△DOC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AO}{OD}=\frac{BO}{OC}=\frac{2}{3}$，
设AO=2x，则OD=3x，
∵AD=AO+OD=10，
∴2x+3x=10，
解得x=2，
∴AO=2x=2×2=4。
【答案】
4
【知识点】
平行线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础应用题型，解题关键是通过平行线证明三角形相似，再利用相似三角形的性质得到线段比例关系，进而求解线段长度，是几何部分的常规基础题。
【难度系数】
0.8
首先根据已知条件AB//CD，可推出△AOB和△DOC的两组内错角相等，结合对顶角相等可证明两个三角形相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，得到AO与OD的比值等于BO与OC的比值2:3；最后结合AD=AO+OD=10，按比例分配即可求出AO的长度。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴∠A=∠D，∠B=∠C（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠AOB=∠DOC（对顶角相等），
∴△AOB∽△DOC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AO}{OD}=\frac{BO}{OC}=\frac{2}{3}$，
设AO=2x，则OD=3x，
∵AD=AO+OD=10，
∴2x+3x=10，
解得x=2，
∴AO=2x=2×2=4。
【答案】
4
【知识点】
平行线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础应用题型，解题关键是通过平行线证明三角形相似，再利用相似三角形的性质得到线段比例关系，进而求解线段长度，是几何部分的常规基础题。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在$□ ABCD$中,对角线AC,BD相交于点O,点E为OC的中点,EF // AB交BC于点F.若AB=4,则EF的长为
1
.答案
3. 1
解析
【分析】
解题时先从平行四边形的性质入手，平行四边形对角线互相平分，可得O是AC中点，结合E是OC中点，可推出CE与AC的比值；再由EF//AB，可得到△CEF和△CAB相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入AB的长度即可求出EF的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O
∴O为AC的中点，即$OC=\frac{1}{2}AC$
∵点E为OC的中点
∴$CE=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AC=\frac{1}{4}AC$，即$\frac{CE}{AC}=\frac{1}{4}$
∵$EF// AB$
∴$△ CEF ∽ △ CAB$（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{CE}{AC}=\frac{1}{4}$
又
∵$AB=4$
∴$EF=\frac{1}{4}×4=1$
【答案】
1
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是熟练掌握平行四边形对角线的性质和相似三角形的判定及性质，通过推导线段比例关系即可快速求解，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从平行四边形的性质入手，平行四边形对角线互相平分，可得O是AC中点，结合E是OC中点，可推出CE与AC的比值；再由EF//AB，可得到△CEF和△CAB相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入AB的长度即可求出EF的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O
∴O为AC的中点，即$OC=\frac{1}{2}AC$
∵点E为OC的中点
∴$CE=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AC=\frac{1}{4}AC$，即$\frac{CE}{AC}=\frac{1}{4}$
∵$EF// AB$
∴$△ CEF ∽ △ CAB$（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{CE}{AC}=\frac{1}{4}$
又
∵$AB=4$
∴$EF=\frac{1}{4}×4=1$
【答案】
1
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是熟练掌握平行四边形对角线的性质和相似三角形的判定及性质，通过推导线段比例关系即可快速求解，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在$□ ABCD$中,点E在DC上,AC与BE相交于点F.若$AB=12,CE=8,AF=9$,求FC的长.
答案
4. 解:
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AB // CD,
∴ △CEF ∽ △ABF,
∴ $\frac{FC}{AF} = \frac{CE}{AB}$.
∵ AB = 12,CE = 8,AF = 9,
∴ FC = 6.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AB // CD,
∴ △CEF ∽ △ABF,
∴ $\frac{FC}{AF} = \frac{CE}{AB}$.
∵ AB = 12,CE = 8,AF = 9,
∴ FC = 6.
解析
【分析】
解题时首先从平行四边形的性质入手，平行四边形对边互相平行，可得AB//CD，由此可推出△ABF和△CEF中有两组内错角分别相等，结合对顶角相等可证明两个三角形相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式，代入已知的AB、CE、AF的长度，即可求出FC的长。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB // CD，
∴ ∠FAB=∠FCE，∠FBA=∠FEC，
∴ △CEF ∽ △ABF，
∴ $\frac{FC}{AF} = \frac{CE}{AB}$。
∵ AB = 12，CE = 8，AF = 9，
∴ 代入得$\frac{FC}{9}=\frac{8}{12}$，解得FC=6。
【答案】
FC的长为6
【知识点】
平行四边形性质；相似三角形判定；相似三角形性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是结合平行四边形的性质找到相似三角形，再利用相似三角形的对应边成比例求解未知线段，是相似三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先从平行四边形的性质入手，平行四边形对边互相平行，可得AB//CD，由此可推出△ABF和△CEF中有两组内错角分别相等，结合对顶角相等可证明两个三角形相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式，代入已知的AB、CE、AF的长度，即可求出FC的长。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB // CD，
∴ ∠FAB=∠FCE，∠FBA=∠FEC，
∴ △CEF ∽ △ABF，
∴ $\frac{FC}{AF} = \frac{CE}{AB}$。
∵ AB = 12，CE = 8，AF = 9，
∴ 代入得$\frac{FC}{9}=\frac{8}{12}$，解得FC=6。
【答案】
FC的长为6
【知识点】
平行四边形性质；相似三角形判定；相似三角形性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是结合平行四边形的性质找到相似三角形，再利用相似三角形的对应边成比例求解未知线段，是相似三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
5. (2025·福建泉州丰泽期中) 如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,DE // AC,EF // AB. 求证:△BDE ∽ △EFC. 
答案
5. 证明
∵ DE // AC,
∴ △BDE ∽ △BAC,
∵ EF // AB,
∴ △EFC ∽ △BAC,
∴ △BDE ∽ △EFC.
∵ DE // AC,
∴ △BDE ∽ △BAC,
∵ EF // AB,
∴ △EFC ∽ △BAC,
∴ △BDE ∽ △EFC.
解析
【分析】
要证明△BDE∽△EFC，可借助相似的传递性推导：首先已知两组平行线，根据相似三角形的预备定理，平行于三角形一边的直线与其他两边相交时，所得三角形与原三角形相似。第一步由DE//AC，可推出△BDE与大三角形△BAC相似；第二步由EF//AB，可推出△EFC与△BAC相似；最后结合相似的传递性，即可得到△BDE和△EFC相似。
【解析】
证明：
∵ DE // AC，
∴ △BDE ∽ △BAC，
∵ EF // AB，
∴ △EFC ∽ △BAC，
∴ △BDE ∽ △EFC。
【答案】
证明：
∵ DE // AC，
∴ △BDE ∽ △BAC，
∵ EF // AB，
∴ △EFC ∽ △BAC，
∴ △BDE ∽ △EFC。
【知识点】
相似三角形判定、相似的传递性、平行线的性质
【点评】
本题属于相似证明的基础题，主要考查对相似三角形预备定理的应用，解题关键是通过两组平行线得到两个小三角形均与大三角形相似，再利用传递性得证，难度较低。
【难度系数】
0.8
要证明△BDE∽△EFC，可借助相似的传递性推导：首先已知两组平行线，根据相似三角形的预备定理，平行于三角形一边的直线与其他两边相交时，所得三角形与原三角形相似。第一步由DE//AC，可推出△BDE与大三角形△BAC相似；第二步由EF//AB，可推出△EFC与△BAC相似；最后结合相似的传递性，即可得到△BDE和△EFC相似。
【解析】
证明：
∵ DE // AC，
∴ △BDE ∽ △BAC，
∵ EF // AB，
∴ △EFC ∽ △BAC，
∴ △BDE ∽ △EFC。
【答案】
证明：
∵ DE // AC，
∴ △BDE ∽ △BAC，
∵ EF // AB，
∴ △EFC ∽ △BAC，
∴ △BDE ∽ △EFC。
【知识点】
相似三角形判定、相似的传递性、平行线的性质
【点评】
本题属于相似证明的基础题，主要考查对相似三角形预备定理的应用，解题关键是通过两组平行线得到两个小三角形均与大三角形相似，再利用传递性得证，难度较低。
【难度系数】
0.8
6.（2025·江苏徐州泉山期末）如图
，在△ABC中，D为BC上一点，E为AC上一点，AD，BE交于点G，且AG：GD = 4：1，BD：DC = 2：3，则AE：EC =（
A.3：2
B.4：3
C.6：5
D.8：5
，在△ABC中，D为BC上一点，E为AC上一点，AD，BE交于点G，且AG：GD = 4：1，BD：DC = 2：3，则AE：EC =（D
）A.3：2
B.4：3
C.6：5
D.8：5
答案
6. D 提示:过点D作DF // BE交AC于点F.
解析
【分析】
本题是求三角形内线段的比例问题，已知两组共线线段的比例，可通过作平行线构造平行线分线段成比例的模型求解。我们过点D作DF//BE交AC于点F，先借助GE与DF平行的关系得到AE和EF的比例，再借助DF与BE平行的关系得到EF和FC的比例，最后以EF为中间量，即可求出AE与EC的比值。
【解析】
解：过点D作$DF// BE$，交AC于点F。
1. 在$△ ADF$中，$\because DF// BE$，即$GE// DF$，根据平行线分线段成比例定理可得：
$\frac{AG}{GD}=\frac{AE}{EF}$
已知$\frac{AG}{GD}=\frac{4}{1}$，代入得$\frac{AE}{EF}=\frac{4}{1}$，即$AE=4EF$。
2. 在$△ BCE$中，$\because DF// BE$，根据平行线分线段成比例定理可得：
$\frac{BD}{DC}=\frac{EF}{FC}$
已知$\frac{BD}{DC}=\frac{2}{3}$，代入得$\frac{EF}{FC}=\frac{2}{3}$，变形得$FC=\frac{3}{2}EF$。
3. 线段EC由EF和FC组成，因此：
$EC=EF+FC=EF+\frac{3}{2}EF=\frac{5}{2}EF$
4. 计算AE与EC的比值：
$\frac{AE}{EC}=\frac{4EF}{\frac{5}{2}EF}=\frac{8}{5}$，即$AE:EC=8:5$。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例的性质
【点评】
本题是比例线段应用的典型题型，解题的核心是合理构造平行辅助线，通过平行线得到对应线段的比例关系，再以公共线段EF为中间量建立所求两条线段的联系，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.65
本题是求三角形内线段的比例问题，已知两组共线线段的比例，可通过作平行线构造平行线分线段成比例的模型求解。我们过点D作DF//BE交AC于点F，先借助GE与DF平行的关系得到AE和EF的比例，再借助DF与BE平行的关系得到EF和FC的比例，最后以EF为中间量，即可求出AE与EC的比值。
【解析】
解：过点D作$DF// BE$，交AC于点F。
1. 在$△ ADF$中，$\because DF// BE$，即$GE// DF$，根据平行线分线段成比例定理可得：
$\frac{AG}{GD}=\frac{AE}{EF}$
已知$\frac{AG}{GD}=\frac{4}{1}$，代入得$\frac{AE}{EF}=\frac{4}{1}$，即$AE=4EF$。
2. 在$△ BCE$中，$\because DF// BE$，根据平行线分线段成比例定理可得：
$\frac{BD}{DC}=\frac{EF}{FC}$
已知$\frac{BD}{DC}=\frac{2}{3}$，代入得$\frac{EF}{FC}=\frac{2}{3}$，变形得$FC=\frac{3}{2}EF$。
3. 线段EC由EF和FC组成，因此：
$EC=EF+FC=EF+\frac{3}{2}EF=\frac{5}{2}EF$
4. 计算AE与EC的比值：
$\frac{AE}{EC}=\frac{4EF}{\frac{5}{2}EF}=\frac{8}{5}$，即$AE:EC=8:5$。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例的性质
【点评】
本题是比例线段应用的典型题型，解题的核心是合理构造平行辅助线，通过平行线得到对应线段的比例关系，再以公共线段EF为中间量建立所求两条线段的联系，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.65
