合作学习
在直角三角形中,知道除直角外五个元素中的几个,就可以求其余元素?
如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C$ 为直角, $∠ A, ∠ B, ∠ C$ 所对的边分别为 $a,b,c$,那么除直角 $∠ C$ 外的五个元素之间有如下关系:
(1) 三边之间的关系
（勾股定理）;
(2) 两锐角之间的关系
;
(3) 边角之间的关系
$\sin A = \frac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{a}{c}$,
$\cos A = \frac{(\quad)}{(\quad)} = \frac{(\quad)}{(\quad)}$,
$\tan A = \frac{(\quad)}{(\quad)} = \frac{(\quad)}{(\quad)}$.
上述(3)中的A都可以换成B,同时把a,b互换.

【归纳总结】根据直角三角形的(除直角外)元素(至少有一个边),就可以求出其余所有元素.

1. 三边关系：$a^2+b^2=c^2$
2. 两锐角关系：$∠A+∠B=90°$
3. 边角关系：$\cos A = \frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{b}{c}$，$\tan A = \frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{a}{b}$
归纳总结：两个

【分析】
本题考查直角三角形的基本性质与解直角三角形的概念，可按对应知识点逐步推导：
1. 三边关系：直角三角形三边满足勾股定理，斜边为最长边c，两条直角边为a、b，直接套用勾股定理公式即可；
2. 两锐角关系：三角形内角和为180°，减去直角∠C的90°，可得两个锐角的和为90°，即两锐角互余；
3. 边角关系：回忆锐角三角函数的定义，余弦是锐角的邻边与斜边的比值，正切是锐角的对边与邻边的比值，对应∠A的邻边为b、对边为a、斜边为c，代入即可得到对应表达式；
4. 归纳总结：若仅知道两个锐角，只能得到边的比例关系，无法求出边长实际值，因此除直角外，需要知道至少2个元素且其中至少1个为边，即可求出所有未知元素。
【解析】
(1) 由勾股定理可得，直角三角形三边关系为：$a^2 + b^2 = c^2$；
(2) 直角三角形两个锐角互余，因此两锐角关系为：$∠A + ∠B = 90°$；
(3) 根据锐角三角函数的定义：
$\cos A$是∠A的邻边与斜边的比值，因此$\cos A = \frac{∠A\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{b}{c}$；
$\tan A$是∠A的对边与邻边的比值，因此$\tan A = \frac{∠A\mathrm{的对边}}{∠A\mathrm{的邻边}} = \frac{a}{b}$；
归纳总结：结合上述关系可知，已知直角三角形除直角外的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余所有元素。
【答案】
(1) $a^2+b^2=c^2$；
(2) $∠A+∠B=90°$；
(3) $\cos A = \frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{b}{c}$，$\tan A = \frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{a}{b}$；
归纳总结：两个
【知识点】
勾股定理；直角三角形的性质；锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于解直角三角形的基础题型，主要考察直角三角形边、角、边角对应的基本关系，这些关系是解决所有解直角三角形相关问题的基础，需要熟练记忆、灵活运用。
【难度系数】
0.9