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1. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C = 90°$, $AC = \sqrt{2}$, $BC = \sqrt{6}$, 解这个直角三角形. 
答案
解：在$Rt△ABC$中，
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{6})^2}=2\sqrt{2}$，
$\because \tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$，
$\therefore ∠A=60°$，
$\therefore ∠B=90°-∠A=30°$。
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{6})^2}=2\sqrt{2}$，
$\because \tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$，
$\therefore ∠A=60°$，
$\therefore ∠B=90°-∠A=30°$。
解析
【分析】
解直角三角形需要求出三角形中所有未知的边和角，本题已知Rt△ABC的两条直角边长度和直角，未知量为斜边AB、锐角∠A和∠B。解题时首先利用勾股定理，由两条直角边的长度计算斜边AB的长度；再通过正切三角函数求出∠A的正切值，结合特殊角的三角函数值得到∠A的度数；最后利用直角三角形两个锐角互余的性质，求出∠B的度数即可。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，
1. 求斜边$AB$：
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{6})^2}=\sqrt{2+6}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
2. 求$∠A$：
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$，
结合特殊角的三角函数值可知，$∠A=60°$
3. 求$∠B$：
由直角三角形两锐角互余得：$∠B=90°-∠A=90°-60°=30°$
【答案】
$AB=2\sqrt{2}$，$∠A=60°$，$∠B=30°$
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是解直角三角形的基础题，主要考查对基础定理和性质的运用，解题时明确解直角三角形的目标，选择对应公式计算即可，计算过程中注意二次根式的运算规则。
【难度系数】
0.8
解直角三角形需要求出三角形中所有未知的边和角，本题已知Rt△ABC的两条直角边长度和直角，未知量为斜边AB、锐角∠A和∠B。解题时首先利用勾股定理，由两条直角边的长度计算斜边AB的长度；再通过正切三角函数求出∠A的正切值，结合特殊角的三角函数值得到∠A的度数；最后利用直角三角形两个锐角互余的性质，求出∠B的度数即可。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，
1. 求斜边$AB$：
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{6})^2}=\sqrt{2+6}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
2. 求$∠A$：
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$，
结合特殊角的三角函数值可知，$∠A=60°$
3. 求$∠B$：
由直角三角形两锐角互余得：$∠B=90°-∠A=90°-60°=30°$
【答案】
$AB=2\sqrt{2}$，$∠A=60°$，$∠B=30°$
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是解直角三角形的基础题，主要考查对基础定理和性质的运用，解题时明确解直角三角形的目标，选择对应公式计算即可，计算过程中注意二次根式的运算规则。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ B=35°,b=20$,解这个直角三角形(结果保留小数点后一位).
答案
2. 解：$∠A=90°-∠B=90°-35°=55°$，
$\because \tan B=\frac{b}{a}$，$\therefore a=\frac{b}{\tan B}=\frac{20}{\tan35°}\approx28.6$，
$\because \sin B=\frac{b}{c}$，$\therefore c=\frac{b}{\sin B}=\frac{20}{\sin35°}\approx34.9$。
$\because \tan B=\frac{b}{a}$，$\therefore a=\frac{b}{\tan B}=\frac{20}{\tan35°}\approx28.6$，
$\because \sin B=\frac{b}{c}$，$\therefore c=\frac{b}{\sin B}=\frac{20}{\sin35°}\approx34.9$。
解析
【分析】
解直角三角形需要求出所有未知的角和边，本题未知元素为∠A、边a、边c。首先求角度：直角三角形两锐角互余，已知∠B和直角∠C，直接用90°减∠B即可得到∠A；接下来求边：已知b是∠B的对边，a是∠B的邻边，根据正切的定义$\tan B=\frac{对边}{邻边}=\frac{b}{a}$，变形可得$a=\frac{b}{\tan B}$；c是斜边，根据正弦的定义$\sin B=\frac{对边}{斜边}=\frac{b}{c}$，变形可得$c=\frac{b}{\sin B}$，最后代入三角函数值计算，结果保留一位小数即可。
【解析】
首先求锐角∠A：
$∠ A=90°-∠ B=90°-35°=55°$
再求直角边a：
$\because \tan B=\frac{b}{a}$
$\therefore a=\frac{b}{\tan B}=\frac{20}{\tan35°}\approx28.6$
最后求斜边c：
$\because \sin B=\frac{b}{c}$
$\therefore c=\frac{b}{\sin B}=\frac{20}{\sin35°}\approx34.9$
【答案】
$∠ A=55°$，$a\approx28.6$，$c\approx34.9$
【知识点】
1. 直角三角形锐角互余
2. 锐角三角函数定义
3. 解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，核心是熟练掌握直角三角形的角的关系和锐角三角函数的边的对应关系，解题时注意准确匹配三角函数对应的边，避免概念混淆导致计算错误。
【难度系数】
0.8
解直角三角形需要求出所有未知的角和边，本题未知元素为∠A、边a、边c。首先求角度：直角三角形两锐角互余，已知∠B和直角∠C，直接用90°减∠B即可得到∠A；接下来求边：已知b是∠B的对边，a是∠B的邻边，根据正切的定义$\tan B=\frac{对边}{邻边}=\frac{b}{a}$，变形可得$a=\frac{b}{\tan B}$；c是斜边，根据正弦的定义$\sin B=\frac{对边}{斜边}=\frac{b}{c}$，变形可得$c=\frac{b}{\sin B}$，最后代入三角函数值计算，结果保留一位小数即可。
【解析】
首先求锐角∠A：
$∠ A=90°-∠ B=90°-35°=55°$
再求直角边a：
$\because \tan B=\frac{b}{a}$
$\therefore a=\frac{b}{\tan B}=\frac{20}{\tan35°}\approx28.6$
最后求斜边c：
$\because \sin B=\frac{b}{c}$
$\therefore c=\frac{b}{\sin B}=\frac{20}{\sin35°}\approx34.9$
【答案】
$∠ A=55°$，$a\approx28.6$，$c\approx34.9$
【知识点】
1. 直角三角形锐角互余
2. 锐角三角函数定义
3. 解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，核心是熟练掌握直角三角形的角的关系和锐角三角函数的边的对应关系，解题时注意准确匹配三角函数对应的边，避免概念混淆导致计算错误。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ B=50°$,$AB=10$,解这个直角三角形(结果保留小数点后一位).
答案
3. 解：$∠A=90°-∠B=90°-50°=40°$，
$AC=AB· \sin B=10×\sin50°\approx7.7$，
$BC=AB· \cos B=10×\cos50°\approx6.4$。
$AC=AB· \sin B=10×\sin50°\approx7.7$，
$BC=AB· \cos B=10×\cos50°\approx6.4$。
解析
【分析】
解直角三角形需要求出所有未知的边和角，本题已知Rt△ABC的直角∠C、锐角∠B的度数和斜边AB的长度，第一步先利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠A的度数；第二步根据锐角三角函数的定义，结合已知的斜边长度，分别用∠B的正弦、余弦求出两条直角边AC、BC的长度，最后按要求保留一位小数即可。
【解析】
解：①求∠A的度数：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ A=90°-∠ B=90°-50°=40°$
②求AC的长度：
根据锐角三角函数的定义，$\sin B=\frac{AC}{AB}$，已知$AB=10$，则：
$AC=AB·\sin B=10×\sin50°\approx10×0.766\approx7.7$
③求BC的长度：
根据锐角三角函数的定义，$\cos B=\frac{BC}{AB}$，已知$AB=10$，则：
$BC=AB·\cos B=10×\cos50°\approx10×0.643\approx6.4$
【答案】
$∠ A=40°$，$AC\approx7.7$，$BC\approx6.4$
【知识点】
直角三角形性质，锐角三角函数，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，考查了直角三角形角关系和边角关系的应用，解题的关键是准确选择对应的锐角三角函数关系式，计算时注意按要求保留小数位数。
【难度系数】
0.8
解直角三角形需要求出所有未知的边和角，本题已知Rt△ABC的直角∠C、锐角∠B的度数和斜边AB的长度，第一步先利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠A的度数；第二步根据锐角三角函数的定义，结合已知的斜边长度，分别用∠B的正弦、余弦求出两条直角边AC、BC的长度，最后按要求保留一位小数即可。
【解析】
解：①求∠A的度数：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ A=90°-∠ B=90°-50°=40°$
②求AC的长度：
根据锐角三角函数的定义，$\sin B=\frac{AC}{AB}$，已知$AB=10$，则：
$AC=AB·\sin B=10×\sin50°\approx10×0.766\approx7.7$
③求BC的长度：
根据锐角三角函数的定义，$\cos B=\frac{BC}{AB}$，已知$AB=10$，则：
$BC=AB·\cos B=10×\cos50°\approx10×0.643\approx6.4$
【答案】
$∠ A=40°$，$AC\approx7.7$，$BC\approx6.4$
【知识点】
直角三角形性质，锐角三角函数，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，考查了直角三角形角关系和边角关系的应用，解题的关键是准确选择对应的锐角三角函数关系式，计算时注意按要求保留小数位数。
【难度系数】
0.8
1. 在$Rt△ ABC$中$∠ C = 90°$,若$\sin A = \dfrac{4}{5}$,$AB = 10$,则$BC =$
8
,$\tan B =$ $\frac{3}{4}$
.答案
1. BC=8，$\tan B=\frac{3}{4}$
解析
【分析】
这是一道解直角三角形的基础题，解题思路如下：第一步，明确锐角正弦的定义：直角三角形中一个锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比值，已知$\sin A$和斜边$AB$的长度，可直接求出$BC$的长；第二步，利用勾股定理求出另一条直角边$AC$的长度；第三步，根据正切的定义：锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值，代入对应边长即可求出$\tan B$的值。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$
1. 计算$BC$的长度：
根据正弦函数的定义，$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$
已知$\sin A=\frac{4}{5}$，$AB=10$，代入得：
$\frac{BC}{10}=\frac{4}{5}$
解得$BC=10×\frac{4}{5}=8$
2. 计算$AC$的长度：
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$
3. 计算$\tan B$的值：
根据正切函数的定义，$\tan B=\frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边}=\frac{AC}{BC}$
代入$AC=6$、$BC=8$得：
$\tan B=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$
【答案】
$8$；$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
锐角三角函数定义、勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查解直角三角形的基本应用，解题的关键是准确区分各锐角三角函数对应的边的比例关系，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这是一道解直角三角形的基础题，解题思路如下：第一步，明确锐角正弦的定义：直角三角形中一个锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比值，已知$\sin A$和斜边$AB$的长度，可直接求出$BC$的长；第二步，利用勾股定理求出另一条直角边$AC$的长度；第三步，根据正切的定义：锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值，代入对应边长即可求出$\tan B$的值。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$
1. 计算$BC$的长度：
根据正弦函数的定义，$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$
已知$\sin A=\frac{4}{5}$，$AB=10$，代入得：
$\frac{BC}{10}=\frac{4}{5}$
解得$BC=10×\frac{4}{5}=8$
2. 计算$AC$的长度：
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$
3. 计算$\tan B$的值：
根据正切函数的定义，$\tan B=\frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边}=\frac{AC}{BC}$
代入$AC=6$、$BC=8$得：
$\tan B=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$
【答案】
$8$；$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
锐角三角函数定义、勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查解直角三角形的基本应用，解题的关键是准确区分各锐角三角函数对应的边的比例关系，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 在$△ ABC$中,若$∠ B=45°,AB=10\sqrt{2}$,$AC=5\sqrt{5}$,则$△ ABC$的面积是
75或25
.答案
2. 75或25
解析
【分析】
要求△ABC的面积，已知∠B=45°、AB和AC的长度，可通过过点A作BC边上的高AD，将原三角形拆分为两个直角三角形求解。先在Rt△ABD中利用∠B的三角函数求出高AD和BD的长度，再在Rt△ADC中用勾股定理求出DC的长度。由于AC长度固定，点C的位置有两种可能（点D在B、C之间，或点C在B、D之间），对应两种不同的BC长度，分别计算面积即可。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC，交BC（或BC的延长线）于点D。
1. 在Rt△ABD中，∠B=45°，AB=$10\sqrt{2}$：
$AD = AB·\sin B = 10\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 10$，
$BD = AB·\cos B = 10\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 10$。
2. 在Rt△ADC中，AC=$5\sqrt{5}$，AD=10，由勾股定理得：
$DC = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{(5\sqrt{5})^2 - 10^2} = \sqrt{125 - 100} = 5$。
3. 分两种情况计算：
情况1：点C在线段BD右侧，$BC = BD + DC = 10 + 5 = 15$，
此时$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 15 × 10 = 75$；
情况2：点C在线段BD上，$BC = BD - DC = 10 - 5 = 5$，
此时$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 5 × 10 = 25$。
【答案】
75或25
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题解题关键是通过作高将斜三角形转化为直角三角形求解，易错点是忽略已知两边及其中一边对角时三角形存在两解的情况，导致漏解。
【难度系数】
0.5
要求△ABC的面积，已知∠B=45°、AB和AC的长度，可通过过点A作BC边上的高AD，将原三角形拆分为两个直角三角形求解。先在Rt△ABD中利用∠B的三角函数求出高AD和BD的长度，再在Rt△ADC中用勾股定理求出DC的长度。由于AC长度固定，点C的位置有两种可能（点D在B、C之间，或点C在B、D之间），对应两种不同的BC长度，分别计算面积即可。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC，交BC（或BC的延长线）于点D。
1. 在Rt△ABD中，∠B=45°，AB=$10\sqrt{2}$：
$AD = AB·\sin B = 10\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 10$，
$BD = AB·\cos B = 10\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 10$。
2. 在Rt△ADC中，AC=$5\sqrt{5}$，AD=10，由勾股定理得：
$DC = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{(5\sqrt{5})^2 - 10^2} = \sqrt{125 - 100} = 5$。
3. 分两种情况计算：
情况1：点C在线段BD右侧，$BC = BD + DC = 10 + 5 = 15$，
此时$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 15 × 10 = 75$；
情况2：点C在线段BD上，$BC = BD - DC = 10 - 5 = 5$，
此时$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 5 × 10 = 25$。
【答案】
75或25
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题解题关键是通过作高将斜三角形转化为直角三角形求解，易错点是忽略已知两边及其中一边对角时三角形存在两解的情况，导致漏解。
【难度系数】
0.5
3. 在$△ ABC$中,$∠ C = 90°,BC = 4\ \mathrm{cm}, \tan B = \dfrac{3}{2},$则$△ ABC$的面积是
12
$\mathrm{cm}^2.$答案
3. 12
解析
【分析】
本题是直角三角形的基础计算题，要求三角形面积，已知直角边BC的长度，只需要求出另一条直角边AC的长度即可。根据锐角正切的定义，在直角三角形中，一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值，题目给出了tanB的值，角B的对边是AC，邻边是BC，因此可以先通过tanB的表达式求出AC的长度，再代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵ 在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，
∴ $\tan B = \dfrac{\mathrm{角}B\mathrm{的对边}}{\mathrm{角}B\mathrm{的邻边}} = \dfrac{AC}{BC}$，
已知$\tan B = \dfrac{3}{2}$，$BC = 4\ \mathrm{cm}$，代入得：
$\dfrac{AC}{4} = \dfrac{3}{2}$，
解得：$AC = 4×\dfrac{3}{2}=6\ \mathrm{cm}$，
∴ $△ ABC$的面积 $S = \dfrac{1}{2}× AC × BC = \dfrac{1}{2}×6×4=12\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
12
【知识点】
锐角正切的定义、直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查锐角三角函数的基本应用，熟练掌握正切的定义是解题的关键，结合面积公式即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形的基础计算题，要求三角形面积，已知直角边BC的长度，只需要求出另一条直角边AC的长度即可。根据锐角正切的定义，在直角三角形中，一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值，题目给出了tanB的值，角B的对边是AC，邻边是BC，因此可以先通过tanB的表达式求出AC的长度，再代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵ 在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，
∴ $\tan B = \dfrac{\mathrm{角}B\mathrm{的对边}}{\mathrm{角}B\mathrm{的邻边}} = \dfrac{AC}{BC}$，
已知$\tan B = \dfrac{3}{2}$，$BC = 4\ \mathrm{cm}$，代入得：
$\dfrac{AC}{4} = \dfrac{3}{2}$，
解得：$AC = 4×\dfrac{3}{2}=6\ \mathrm{cm}$，
∴ $△ ABC$的面积 $S = \dfrac{1}{2}× AC × BC = \dfrac{1}{2}×6×4=12\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
12
【知识点】
锐角正切的定义、直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查锐角三角函数的基本应用，熟练掌握正切的定义是解题的关键，结合面积公式即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
4. 在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$a = 6\sqrt{3}$，$c = 6\sqrt{6}$，则$∠ A =$
$45°$
，$b =$ $6\sqrt{3}$
，$∠ B =$ $45°$
.答案
4. $∠A=45°$，$b=6\sqrt{3}$，$∠B=45°$
解析
【分析】
本题是解直角三角形的基础题型，解题思路如下：首先求∠A，利用锐角三角函数的正弦定义，sinA为∠A的对边与斜边的比值，代入已知边长计算出三角函数值后，对应特殊锐角的角度即可；接下来求边长b，可利用勾股定理，通过斜边和已知直角边计算出未知直角边的长度；最后求∠B，利用直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去∠A的度数即可得到结果。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，已知$a=6\sqrt{3}$，$c=6\sqrt{6}$：
1. 求$∠ A$：
根据正弦函数定义，$\sin A=\frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{a}{c}$，代入数值得：
$\sin A=\frac{6\sqrt{3}}{6\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
∵$∠ A$是锐角，
∴$∠ A=45°$
2. 求边长$b$：
根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$，变形得$b=\sqrt{c^2-a^2}$，代入数值得：
$b=\sqrt{(6\sqrt{6})^2-(6\sqrt{3})^2}=\sqrt{216-108}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$
3. 求$∠ B$：
根据直角三角形两锐角互余，$∠ A+∠ B=90°$，得：
$∠ B=90°-∠ A=90°-45°=45°$
【答案】
$45°$；$6\sqrt{3}$；$45°$
【知识点】
解直角三角形；勾股定理；特殊角的三角函数值
【点评】
本题侧重考查直角三角形边角关系的基础应用，熟练掌握特殊角的三角函数值、勾股定理以及直角三角形的内角性质是解题的核心，属于基础类考题，是解直角三角形相关内容必须掌握的题型。
【难度系数】
0.85
本题是解直角三角形的基础题型，解题思路如下：首先求∠A，利用锐角三角函数的正弦定义，sinA为∠A的对边与斜边的比值，代入已知边长计算出三角函数值后，对应特殊锐角的角度即可；接下来求边长b，可利用勾股定理，通过斜边和已知直角边计算出未知直角边的长度；最后求∠B，利用直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去∠A的度数即可得到结果。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，已知$a=6\sqrt{3}$，$c=6\sqrt{6}$：
1. 求$∠ A$：
根据正弦函数定义，$\sin A=\frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{a}{c}$，代入数值得：
$\sin A=\frac{6\sqrt{3}}{6\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
∵$∠ A$是锐角，
∴$∠ A=45°$
2. 求边长$b$：
根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$，变形得$b=\sqrt{c^2-a^2}$，代入数值得：
$b=\sqrt{(6\sqrt{6})^2-(6\sqrt{3})^2}=\sqrt{216-108}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$
3. 求$∠ B$：
根据直角三角形两锐角互余，$∠ A+∠ B=90°$，得：
$∠ B=90°-∠ A=90°-45°=45°$
【答案】
$45°$；$6\sqrt{3}$；$45°$
【知识点】
解直角三角形；勾股定理；特殊角的三角函数值
【点评】
本题侧重考查直角三角形边角关系的基础应用，熟练掌握特殊角的三角函数值、勾股定理以及直角三角形的内角性质是解题的核心，属于基础类考题，是解直角三角形相关内容必须掌握的题型。
【难度系数】
0.85
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°,\cos A = \dfrac{4}{5},$ $BC = 6\ \mathrm{cm},$则$AC$的长度为(
A.$9\ \mathrm{cm}$
B.$8\ \mathrm{cm}$
C.$7\ \mathrm{cm}$
D.$6\ \mathrm{cm}$
B
)A.$9\ \mathrm{cm}$
B.$8\ \mathrm{cm}$
C.$7\ \mathrm{cm}$
D.$6\ \mathrm{cm}$
答案
1. B
解析
【分析】
这是一道解直角三角形的基础题，解题思路如下：第一步，根据锐角余弦的定义，明确∠A的余弦值等于∠A的邻边与斜边的比值，得到AC和AB的比例关系；第二步，利用设参数的方法，将AC、AB分别用含相同参数的式子表示；第三步，结合勾股定理用参数表示出BC的长度，再根据已知BC的长度求出参数的值；第四步，代入参数计算出AC的长度即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据余弦的定义可得：
$\cos A=\frac{∠ A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$
设$AC=4k\ \mathrm{cm}$，$AB=5k\ \mathrm{cm}$（$k＞0$），由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(5k)^2-(4k)^2}=\sqrt{9k^2}=3k\ \mathrm{cm}$
已知$BC=6\ \mathrm{cm}$，因此$3k=6$，解得$k=2$
则$AC=4k=4×2=8\ \mathrm{cm}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
余弦的定义；勾股定理；解直角三角形
【点评】
本题属于解直角三角形的基础题型，核心是熟练掌握锐角三角函数的定义，结合勾股定理求解边长，通过设参数的方法可以简化比例类计算，是这类题常用的解题技巧。
【难度系数】
0.8
这是一道解直角三角形的基础题，解题思路如下：第一步，根据锐角余弦的定义，明确∠A的余弦值等于∠A的邻边与斜边的比值，得到AC和AB的比例关系；第二步，利用设参数的方法，将AC、AB分别用含相同参数的式子表示；第三步，结合勾股定理用参数表示出BC的长度，再根据已知BC的长度求出参数的值；第四步，代入参数计算出AC的长度即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据余弦的定义可得：
$\cos A=\frac{∠ A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$
设$AC=4k\ \mathrm{cm}$，$AB=5k\ \mathrm{cm}$（$k＞0$），由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(5k)^2-(4k)^2}=\sqrt{9k^2}=3k\ \mathrm{cm}$
已知$BC=6\ \mathrm{cm}$，因此$3k=6$，解得$k=2$
则$AC=4k=4×2=8\ \mathrm{cm}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
余弦的定义；勾股定理；解直角三角形
【点评】
本题属于解直角三角形的基础题型，核心是熟练掌握锐角三角函数的定义，结合勾股定理求解边长，通过设参数的方法可以简化比例类计算，是这类题常用的解题技巧。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B = 45°$，$∠ C = 60°$，$AD ⊥ BC$于点$D$，$BD = \sqrt{3}$。若$E$，$F$分别为$AB$，$BC$的中点，则$EF$的长为(
A.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$1$
D.$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
C
)A.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$1$
D.$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
答案
2. C
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先由AD⊥BC、∠B=45°，可知△ABD是等腰直角三角形，结合已知BD的长度可求出AD的长度；2. 在Rt△ADC中，利用∠C=60°的正弦三角函数关系，求出AC的长度；3. 由E、F分别是AB、BC的中点，可知EF是△ABC的中位线，根据中位线定理即可求出EF的长度。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ABD中，∠B=45°，BD=√3，
∴∠BAD=∠B=45°，则AD=BD=√3。
在Rt△ADC中，∠C=60°，根据正弦函数定义：
$\sin C=\frac{AD}{AC}$，即$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{AC}$，
∵$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入得$\frac{\sqrt{3}}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得AC=2。
∵E、F分别为AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理：
$EF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×2=1$。
【答案】
C
【知识点】
等腰直角三角形的性质，解直角三角形，三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础综合题，将直角三角形性质、三角函数应用和中位线定理结合考查，解题的关键是通过直角三角形的相关运算求出AC的长度，再利用中位线性质得到EF的长度。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先由AD⊥BC、∠B=45°，可知△ABD是等腰直角三角形，结合已知BD的长度可求出AD的长度；2. 在Rt△ADC中，利用∠C=60°的正弦三角函数关系，求出AC的长度；3. 由E、F分别是AB、BC的中点，可知EF是△ABC的中位线，根据中位线定理即可求出EF的长度。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ABD中，∠B=45°，BD=√3，
∴∠BAD=∠B=45°，则AD=BD=√3。
在Rt△ADC中，∠C=60°，根据正弦函数定义：
$\sin C=\frac{AD}{AC}$，即$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{AC}$，
∵$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入得$\frac{\sqrt{3}}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得AC=2。
∵E、F分别为AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理：
$EF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×2=1$。
【答案】
C
【知识点】
等腰直角三角形的性质，解直角三角形，三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础综合题，将直角三角形性质、三角函数应用和中位线定理结合考查，解题的关键是通过直角三角形的相关运算求出AC的长度，再利用中位线性质得到EF的长度。
【难度系数】
0.7
3.如图，$\odot O$在相同的小正方形组成的网格图中，点$O$在格点（网格线的交点）上，点$A,B,C$在$\odot O$上，且都在格点上，则$∠ ABC$的正弦值是(
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{3}$
C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{\sqrt{10}}{5}$
C
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{3}$
C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{\sqrt{10}}{5}$
答案
3. C
解析
【分析】
要求∠ABC的正弦值，首先利用圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，可将∠ABC转化为同弧所对的其他圆周角，放入直角三角形中求解。先设每个小正方形边长为1，结合网格计算对应线段的长度，再根据锐角正弦的定义（对边与斜边的比值）即可得出结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，连接AO，根据圆周角定理，同弧AC所对的圆周角相等，可得∠ABC与弧AC所对的另一个圆周角相等。
首先计算⊙O的半径：由网格可知，圆心O到点A的水平距离为1，竖直距离为2，根据勾股定理得半径$OA=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
构造包含与∠ABC相等角的直角三角形，可知该角的对边长为2，斜边长为$\sqrt{5}$，因此$\sin∠ ABC=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题结合网格考查圆周角定理和锐角三角函数的计算，核心是运用转化思想，把未知角转移到直角三角形中求解，同时需要熟练掌握网格中线段长度的计算方法。
【难度系数】
0.65
要求∠ABC的正弦值，首先利用圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，可将∠ABC转化为同弧所对的其他圆周角，放入直角三角形中求解。先设每个小正方形边长为1，结合网格计算对应线段的长度，再根据锐角正弦的定义（对边与斜边的比值）即可得出结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，连接AO，根据圆周角定理，同弧AC所对的圆周角相等，可得∠ABC与弧AC所对的另一个圆周角相等。
首先计算⊙O的半径：由网格可知，圆心O到点A的水平距离为1，竖直距离为2，根据勾股定理得半径$OA=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
构造包含与∠ABC相等角的直角三角形，可知该角的对边长为2，斜边长为$\sqrt{5}$，因此$\sin∠ ABC=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题结合网格考查圆周角定理和锐角三角函数的计算，核心是运用转化思想，把未知角转移到直角三角形中求解，同时需要熟练掌握网格中线段长度的计算方法。
【难度系数】
0.65
