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4. 如图，$\odot O$的直径$AB$经过弦$CD$的中点$H$. 若$\cos∠ CDB = \dfrac{4}{5}, BD = 5$, 则$\odot O$的半径为________.
答案
$\dfrac{25}{6}$
解析
【分析】
解题时首先利用垂径定理：直径过弦的中点，则直径垂直于弦，可得AB⊥CD，得到Rt△BDH；结合已知的cos∠CDB的值和BD长度，可先求出Rt△BDH中BH、DH的边长；再设圆的半径为r，用含r的式子表示出Rt△ODH中OH的长度，最后根据勾股定理列方程求解半径即可。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，且AB经过弦CD的中点H，
∴由垂径定理得$AB⊥ CD$，即$∠ BHD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BDH$中，$\cos∠ CDB=\dfrac{DH}{BD}=\dfrac{4}{5}$，$BD=5$，
∴$DH=BD×\dfrac{4}{5}=5×\dfrac{4}{5}=4$，
由勾股定理得：$BH=\sqrt{BD^2-DH^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=r$，$OH=OB-BH=r-3$，
在$\mathrm{Rt}△ ODH$中，由勾股定理得$OH^2+DH^2=OD^2$，
代入得：$(r-3)^2+4^2=r^2$，
展开化简：$r^2-6r+9+16=r^2$，
即$6r=25$，解得$r=\dfrac{25}{6}$。
【答案】
$\dfrac{25}{6}$
【知识点】
垂径定理，解直角三角形，勾股定理
【点评】
本题是圆的计算类典型题，核心是通过垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解，能够考查学生对圆的基础性质和直角三角形计算的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用垂径定理：直径过弦的中点，则直径垂直于弦，可得AB⊥CD，得到Rt△BDH；结合已知的cos∠CDB的值和BD长度，可先求出Rt△BDH中BH、DH的边长；再设圆的半径为r，用含r的式子表示出Rt△ODH中OH的长度，最后根据勾股定理列方程求解半径即可。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，且AB经过弦CD的中点H，
∴由垂径定理得$AB⊥ CD$，即$∠ BHD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BDH$中，$\cos∠ CDB=\dfrac{DH}{BD}=\dfrac{4}{5}$，$BD=5$，
∴$DH=BD×\dfrac{4}{5}=5×\dfrac{4}{5}=4$，
由勾股定理得：$BH=\sqrt{BD^2-DH^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=r$，$OH=OB-BH=r-3$，
在$\mathrm{Rt}△ ODH$中，由勾股定理得$OH^2+DH^2=OD^2$，
代入得：$(r-3)^2+4^2=r^2$，
展开化简：$r^2-6r+9+16=r^2$，
即$6r=25$，解得$r=\dfrac{25}{6}$。
【答案】
$\dfrac{25}{6}$
【知识点】
垂径定理，解直角三角形，勾股定理
【点评】
本题是圆的计算类典型题，核心是通过垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解，能够考查学生对圆的基础性质和直角三角形计算的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
5. 根据下列条件,解直角三角形:
(1) 在$Rt△ ABC$中,$∠ C = 90°, ∠ A, ∠ B, ∠ C$所对的边分别为$a,b,c,a = 2\sqrt{3},b = 2$;
(2) 在$Rt△ ABC$中,$∠ C = 90°, ∠ A = 45°, ∠ A, ∠ B, ∠ C$所对的边分别为$a,b,c,c = 6.$
(1) 在$Rt△ ABC$中,$∠ C = 90°, ∠ A, ∠ B, ∠ C$所对的边分别为$a,b,c,a = 2\sqrt{3},b = 2$;
(2) 在$Rt△ ABC$中,$∠ C = 90°, ∠ A = 45°, ∠ A, ∠ B, ∠ C$所对的边分别为$a,b,c,c = 6.$
答案
(1) $c = 4, ∠B = 30°, ∠A = 60°$;(2) $∠B = 45°,a = b = 3\sqrt{2}$
解析
【分析】
解直角三角形的核心是求出所有未知的边和角，可结合已知条件选择对应的公式求解：
(1) 已知两条直角边的长度，首先利用勾股定理求出斜边，再通过锐角三角函数求出其中一个锐角的度数，最后利用直角三角形两锐角互余求出另一个锐角；
(2) 已知一个锐角和斜边长度，首先利用直角三角形两锐角互余求出另一个锐角，再结合特殊角的三角函数值求出两条直角边的长度。
【解析】
(1) 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，由勾股定理得：
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+2^2}=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4$
$\because \tan B=\frac{b}{a}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，且$∠B$为锐角
$\therefore ∠B=30°$
$\therefore ∠A=90°-∠B=90°-30°=60°$
(2) 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$∠A=45°$
$\therefore ∠B=90°-∠A=90°-45°=45°$
$\therefore a=b$
由$\sin A=\frac{a}{c}$得：
$a=c·\sin45°=6×\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$
$\therefore b=a=3\sqrt{2}$
【答案】
(1) $c = 4, ∠B = 30°, ∠A = 60°$;(2) $∠B = 45°,a = b = 3\sqrt{2}$
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数；直角三角形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，解题时需根据已知条件灵活选择公式，熟记特殊角的三角函数值可提高解题效率。
【难度系数】
0.8
解直角三角形的核心是求出所有未知的边和角，可结合已知条件选择对应的公式求解：
(1) 已知两条直角边的长度，首先利用勾股定理求出斜边，再通过锐角三角函数求出其中一个锐角的度数，最后利用直角三角形两锐角互余求出另一个锐角；
(2) 已知一个锐角和斜边长度，首先利用直角三角形两锐角互余求出另一个锐角，再结合特殊角的三角函数值求出两条直角边的长度。
【解析】
(1) 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，由勾股定理得：
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+2^2}=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4$
$\because \tan B=\frac{b}{a}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，且$∠B$为锐角
$\therefore ∠B=30°$
$\therefore ∠A=90°-∠B=90°-30°=60°$
(2) 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$∠A=45°$
$\therefore ∠B=90°-∠A=90°-45°=45°$
$\therefore a=b$
由$\sin A=\frac{a}{c}$得：
$a=c·\sin45°=6×\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$
$\therefore b=a=3\sqrt{2}$
【答案】
(1) $c = 4, ∠B = 30°, ∠A = 60°$;(2) $∠B = 45°,a = b = 3\sqrt{2}$
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数；直角三角形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，解题时需根据已知条件灵活选择公式，熟记特殊角的三角函数值可提高解题效率。
【难度系数】
0.8
6. 如图,在 $△ ABC$ 中, $∠ A = 105°$, $∠ B = 30°$, $AC = 2$, 求 $BC$ 的长. 
答案
$\sqrt{6} + \sqrt{2}$
解析
【分析】
本题是斜三角形求边长的问题，可通过作高转化为解直角三角形的问题求解：第一步先利用三角形内角和求出∠C的度数；第二步过点A作BC边上的高，将△ABC拆分为两个含特殊角的直角三角形；第三步分别在两个直角三角形中利用特殊角的三角函数值求出BD、DC的长度，二者相加即可得到BC的长。
【解析】
首先根据三角形内角和计算∠C的度数：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 105° - 30° = 45°$
过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$，则$∠ ADB = ∠ ADC = 90°$。
1. 在$Rt△ ADC$中，$∠ C=45°$，$AC=2$：
$AD = AC · \sin45° = 2 × \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$
$DC = AC · \cos45° = 2 × \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$
2. 在$Rt△ ADB$中，$∠ B=30°$，$AD=\sqrt{2}$：
由$\tan B = \frac{AD}{BD}$，得$BD = \frac{AD}{\tan30°} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{6}$
因此$BC = BD + DC = \sqrt{6} + \sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{6}+\sqrt{2}$
【知识点】
三角形内角和定理，解直角三角形，特殊角的三角函数值
【点评】
本题考查斜三角形转化为直角三角形求解的方法，需要熟练运用特殊角的三角函数值进行计算，是解三角形的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
本题是斜三角形求边长的问题，可通过作高转化为解直角三角形的问题求解：第一步先利用三角形内角和求出∠C的度数；第二步过点A作BC边上的高，将△ABC拆分为两个含特殊角的直角三角形；第三步分别在两个直角三角形中利用特殊角的三角函数值求出BD、DC的长度，二者相加即可得到BC的长。
【解析】
首先根据三角形内角和计算∠C的度数：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 105° - 30° = 45°$
过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$，则$∠ ADB = ∠ ADC = 90°$。
1. 在$Rt△ ADC$中，$∠ C=45°$，$AC=2$：
$AD = AC · \sin45° = 2 × \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$
$DC = AC · \cos45° = 2 × \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$
2. 在$Rt△ ADB$中，$∠ B=30°$，$AD=\sqrt{2}$：
由$\tan B = \frac{AD}{BD}$，得$BD = \frac{AD}{\tan30°} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{6}$
因此$BC = BD + DC = \sqrt{6} + \sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{6}+\sqrt{2}$
【知识点】
三角形内角和定理，解直角三角形，特殊角的三角函数值
【点评】
本题考查斜三角形转化为直角三角形求解的方法，需要熟练运用特殊角的三角函数值进行计算，是解三角形的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C = 90°$,D为BC的中点,$AC = 3,\tan∠ CDA = \frac{3}{2}$.
(1) 求AD的长；
(2) 求$\sin∠ DBA$的值.
(1) 求AD的长；
(2) 求$\sin∠ DBA$的值.
答案
解：(1) 在$Rt△ ACD$中，$∠ C=90°$，
由$\tan∠ CDA=\frac{AC}{CD}=\frac{3}{2}$，且$AC=3$，可得：
$CD=\frac{AC × 2}{3}=\frac{3 × 2}{3}=2$
根据勾股定理：
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$
(2) 因为D为BC的中点，所以$BC=2CD=4$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
过点D作$DH⊥ AB$于点H，
在$Rt△ BDH$和$Rt△ BAC$中，$∠ B$为公共角，故$△ BDH ∽ △ BAC$，可得：
$\frac{DH}{AC}=\frac{BD}{AB}$
代入$BD=CD=2$，$AC=3$，$AB=5$，得：
$DH=\frac{AC × BD}{AB}=\frac{3 × 2}{5}=\frac{6}{5}$
在$Rt△ DHB$中：
$\sin∠ DBA=\frac{DH}{BD}=\frac{\frac{6}{5}}{2}=\frac{3}{5}$
由$\tan∠ CDA=\frac{AC}{CD}=\frac{3}{2}$，且$AC=3$，可得：
$CD=\frac{AC × 2}{3}=\frac{3 × 2}{3}=2$
根据勾股定理：
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$
(2) 因为D为BC的中点，所以$BC=2CD=4$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
过点D作$DH⊥ AB$于点H，
在$Rt△ BDH$和$Rt△ BAC$中，$∠ B$为公共角，故$△ BDH ∽ △ BAC$，可得：
$\frac{DH}{AC}=\frac{BD}{AB}$
代入$BD=CD=2$，$AC=3$，$AB=5$，得：
$DH=\frac{AC × BD}{AB}=\frac{3 × 2}{5}=\frac{6}{5}$
在$Rt△ DHB$中：
$\sin∠ DBA=\frac{DH}{BD}=\frac{\frac{6}{5}}{2}=\frac{3}{5}$
解析
【分析】
(1) 要求AD的长，观察到AD在Rt△ACD中，已知∠C=90°，AC=3，且给出了tan∠CDA的值，可先根据正切的定义（对边比邻边，即$\tan∠ CDA=\frac{AC}{CD}$）求出CD的长度，再利用勾股定理计算AD的长度即可。
(2) 要求$\sin∠ DBA$的值，首先根据D是BC中点，可求出BC的长度，再在Rt△ABC中用勾股定理算出AB的长；接下来要得到∠DBA的正弦值，需构造该角所在的直角三角形，可过D作$DH⊥ AB$于H，通过证明△BDH和△BAC相似，求出DH的长度，最后根据正弦的定义（对边比斜边），用DH与BD的比值得到结果。
【解析】
(1) 在$Rt△ACD$中，$∠ C=90°$，
根据锐角正切的定义，$\tan∠ CDA=\frac{AC}{CD}=\frac{3}{2}$，
已知$AC=3$，代入得：$CD=\frac{AC×2}{3}=\frac{3×2}{3}=2$，
再根据勾股定理：
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$。
(2) 因为D为BC的中点，所以$BC=2CD=2×2=4$，
在$Rt△ABC$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$，
过点D作$DH⊥ AB$于点H，
在$Rt△BDH$和$Rt△BAC$中，$∠ B$为公共角，$∠ DHB=∠ C=90°$，故$△BDH ∽ △BAC$，
根据相似三角形对应边成比例，可得：$\frac{DH}{AC}=\frac{BD}{AB}$，
已知$BD=CD=2$，$AC=3$，$AB=5$，代入得：
$DH=\frac{AC× BD}{AB}=\frac{3×2}{5}=\frac{6}{5}$，
在$Rt△DHB$中，根据正弦的定义：
$\sin∠ DBA=\frac{DH}{BD}=\frac{\frac{6}{5}}{2}=\frac{3}{5}$。
【答案】
(1) $AD=\sqrt{13}$；(2) $\sin∠ DBA=\frac{3}{5}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了解直角三角形的相关知识，解题时需要结合已知条件合理选择直角三角形，灵活运用勾股定理、相似三角形的性质进行计算，解题思路灵活，能有效考查学生对基础知识的运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要求AD的长，观察到AD在Rt△ACD中，已知∠C=90°，AC=3，且给出了tan∠CDA的值，可先根据正切的定义（对边比邻边，即$\tan∠ CDA=\frac{AC}{CD}$）求出CD的长度，再利用勾股定理计算AD的长度即可。
(2) 要求$\sin∠ DBA$的值，首先根据D是BC中点，可求出BC的长度，再在Rt△ABC中用勾股定理算出AB的长；接下来要得到∠DBA的正弦值，需构造该角所在的直角三角形，可过D作$DH⊥ AB$于H，通过证明△BDH和△BAC相似，求出DH的长度，最后根据正弦的定义（对边比斜边），用DH与BD的比值得到结果。
【解析】
(1) 在$Rt△ACD$中，$∠ C=90°$，
根据锐角正切的定义，$\tan∠ CDA=\frac{AC}{CD}=\frac{3}{2}$，
已知$AC=3$，代入得：$CD=\frac{AC×2}{3}=\frac{3×2}{3}=2$，
再根据勾股定理：
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$。
(2) 因为D为BC的中点，所以$BC=2CD=2×2=4$，
在$Rt△ABC$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$，
过点D作$DH⊥ AB$于点H，
在$Rt△BDH$和$Rt△BAC$中，$∠ B$为公共角，$∠ DHB=∠ C=90°$，故$△BDH ∽ △BAC$，
根据相似三角形对应边成比例，可得：$\frac{DH}{AC}=\frac{BD}{AB}$，
已知$BD=CD=2$，$AC=3$，$AB=5$，代入得：
$DH=\frac{AC× BD}{AB}=\frac{3×2}{5}=\frac{6}{5}$，
在$Rt△DHB$中，根据正弦的定义：
$\sin∠ DBA=\frac{DH}{BD}=\frac{\frac{6}{5}}{2}=\frac{3}{5}$。
【答案】
(1) $AD=\sqrt{13}$；(2) $\sin∠ DBA=\frac{3}{5}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了解直角三角形的相关知识，解题时需要结合已知条件合理选择直角三角形，灵活运用勾股定理、相似三角形的性质进行计算，解题思路灵活，能有效考查学生对基础知识的运用能力。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的中线,CE⊥AB于点E,BC=2,tan∠ACD = $\frac{1}{2}$.
(1) 求AC的长;
(2) 求sin∠CDB的值.
(1) 求AC的长;
(2) 求sin∠CDB的值.
答案
(1) $AC = 4$;(2) $\sin∠ CDB = \dfrac{4}{5}$
解析
【分析】
(1) 首先利用直角三角形斜边中线的性质可得CD=AD，推出∠A=∠ACD，将tan∠ACD转化为tanA，再结合正切的定义代入BC的长度即可求出AC的长；
(2) 先用勾股定理求出AB的长度，得到中线CD的长度，再通过面积法求出CE的长度，最后在Rt△CDE中根据正弦的定义计算sin∠CDB的值即可。
【解析】
(1) $\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD$是$AB$边上的中线
$\therefore CD=AD$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
$\therefore ∠ A=∠ ACD$（等边对等角）
$\therefore \tan A=\tan∠ ACD=\dfrac{1}{2}$
又$\because \tan A=\dfrac{BC}{AC}$，$BC=2$
$\therefore \dfrac{2}{AC}=\dfrac{1}{2}$
解得$AC=4$
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$
$\because CD$是$AB$边上的中线
$\therefore CD=\dfrac{1}{2}AB=\sqrt{5}$
$\because CE⊥ AB$，$△ ABC$的面积$S=\dfrac{1}{2}AC· BC=\dfrac{1}{2}AB· CE$
$\therefore CE=\dfrac{AC· BC}{AB}=\dfrac{4×2}{2\sqrt{5}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$∠ CED=90°$
$\therefore \sin∠ CDB=\dfrac{CE}{CD}=\dfrac{\dfrac{4\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{4}{5}$
【答案】
(1) $AC = 4$;(2) $\sin∠ CDB = \dfrac{4}{5}$
【知识点】
直角三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理
【点评】
本题是直角三角形性质与三角函数的综合题，解题的核心是利用斜边中线的性质完成角的转化，结合面积法求斜边上的高，解题思路清晰，属于基础综合类考题。
【难度系数】
0.7
(1) 首先利用直角三角形斜边中线的性质可得CD=AD，推出∠A=∠ACD，将tan∠ACD转化为tanA，再结合正切的定义代入BC的长度即可求出AC的长；
(2) 先用勾股定理求出AB的长度，得到中线CD的长度，再通过面积法求出CE的长度，最后在Rt△CDE中根据正弦的定义计算sin∠CDB的值即可。
【解析】
(1) $\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD$是$AB$边上的中线
$\therefore CD=AD$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
$\therefore ∠ A=∠ ACD$（等边对等角）
$\therefore \tan A=\tan∠ ACD=\dfrac{1}{2}$
又$\because \tan A=\dfrac{BC}{AC}$，$BC=2$
$\therefore \dfrac{2}{AC}=\dfrac{1}{2}$
解得$AC=4$
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$
$\because CD$是$AB$边上的中线
$\therefore CD=\dfrac{1}{2}AB=\sqrt{5}$
$\because CE⊥ AB$，$△ ABC$的面积$S=\dfrac{1}{2}AC· BC=\dfrac{1}{2}AB· CE$
$\therefore CE=\dfrac{AC· BC}{AB}=\dfrac{4×2}{2\sqrt{5}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$∠ CED=90°$
$\therefore \sin∠ CDB=\dfrac{CE}{CD}=\dfrac{\dfrac{4\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{4}{5}$
【答案】
(1) $AC = 4$;(2) $\sin∠ CDB = \dfrac{4}{5}$
【知识点】
直角三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理
【点评】
本题是直角三角形性质与三角函数的综合题，解题的核心是利用斜边中线的性质完成角的转化，结合面积法求斜边上的高，解题思路清晰，属于基础综合类考题。
【难度系数】
0.7
