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8. 求下列各式的值.
(1) $\frac{1}{3}\cos 30°\tan 60° - \sin^2 45°$；
(2) $\tan 45°\sin 60° - 4\sin 30°\cos 45° + \sqrt{6}\tan 30°$；
(3) $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} - \sin 60° + \sqrt{32} × \sqrt{\frac{1}{8}}$；
(4) $(π - 2025)^0 + \sqrt[3]{8} + (-1)^{2026} - \sqrt{3}\tan 30°$.
(1) $\frac{1}{3}\cos 30°\tan 60° - \sin^2 45°$；
(2) $\tan 45°\sin 60° - 4\sin 30°\cos 45° + \sqrt{6}\tan 30°$；
(3) $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} - \sin 60° + \sqrt{32} × \sqrt{\frac{1}{8}}$；
(4) $(π - 2025)^0 + \sqrt[3]{8} + (-1)^{2026} - \sqrt{3}\tan 30°$.
答案
8. (1) 0；(2) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$；(3) $\dfrac{3}{2}$；(4) 3
解析
【分析】
这组题目是特殊角三角函数值与实数混合运算的综合基础题，解题思路如下：首先准确牢记30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值；其次遵循实数运算顺序：先计算乘方、开方、零指数幂，再计算乘除，最后计算加减，遇到分母含根式的先做分母有理化；最后逐项计算后合并同类项，化简得到最终结果。
【解析】
(1) 代入特殊角三角函数值计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3} - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2\\&=\frac{1}{3}×\frac{3}{2} - \frac{2}{4}\\&=\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\\&=0\end{aligned}$
(2) 代入特殊角三角函数值计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1×\frac{\sqrt{3}}{2} - 4×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{6}×\frac{\sqrt{3}}{3}\\&=\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{2} + \frac{3\sqrt{2}}{3}\\&=\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2}\\&=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}$
(3) 先做分母有理化、化简二次根式，再代入三角函数值计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{32×\frac{1}{8}}\\&=\frac{\sqrt{3}-1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{4}\\&=\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\\&=\frac{3}{2}\end{aligned}$
(4) 先计算零指数幂、开立方、乘方，再代入三角函数值计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1 + 2 + 1 - \sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}\\&=4 - 1\\&=3\end{aligned}$
【答案】
(1) $0$；(2) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$；(3) $\dfrac{3}{2}$；(4) $3$
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值
2. 实数混合运算
3. 二次根式运算
【点评】
本题为基础运算类题目，核心考查特殊角三角函数值的识记能力和实数运算规则的应用能力，易错点为记错特殊角三角函数值、分母有理化出错、零指数幂运算规则混淆，按照运算顺序逐项计算、及时核对即可避免失分。
【难度系数】
0.8
这组题目是特殊角三角函数值与实数混合运算的综合基础题，解题思路如下：首先准确牢记30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值；其次遵循实数运算顺序：先计算乘方、开方、零指数幂，再计算乘除，最后计算加减，遇到分母含根式的先做分母有理化；最后逐项计算后合并同类项，化简得到最终结果。
【解析】
(1) 代入特殊角三角函数值计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3} - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2\\&=\frac{1}{3}×\frac{3}{2} - \frac{2}{4}\\&=\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\\&=0\end{aligned}$
(2) 代入特殊角三角函数值计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1×\frac{\sqrt{3}}{2} - 4×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{6}×\frac{\sqrt{3}}{3}\\&=\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{2} + \frac{3\sqrt{2}}{3}\\&=\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2}\\&=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}$
(3) 先做分母有理化、化简二次根式，再代入三角函数值计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{32×\frac{1}{8}}\\&=\frac{\sqrt{3}-1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{4}\\&=\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\\&=\frac{3}{2}\end{aligned}$
(4) 先计算零指数幂、开立方、乘方，再代入三角函数值计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1 + 2 + 1 - \sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}\\&=4 - 1\\&=3\end{aligned}$
【答案】
(1) $0$；(2) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$；(3) $\dfrac{3}{2}$；(4) $3$
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值
2. 实数混合运算
3. 二次根式运算
【点评】
本题为基础运算类题目，核心考查特殊角三角函数值的识记能力和实数运算规则的应用能力，易错点为记错特殊角三角函数值、分母有理化出错、零指数幂运算规则混淆，按照运算顺序逐项计算、及时核对即可避免失分。
【难度系数】
0.8
9. 已知α为锐角，且$\tan α$是方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的一个根，求$2\sin^2α + \cos^2α - \sqrt{3}\tan(α + 15°)$的值。
答案
$-\dfrac{3}{2}$
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步先求解给定的一元二次方程，得到tanα的两个可能根；第二步结合α是锐角的条件，锐角的正切值为正数，据此筛选出符合条件的tanα的值，进而确定α的度数；第三步计算α+15°的正切值，将特殊角的三角函数值代入待求式计算最终结果。
【解析】
1. 解方程$x^2 + 2x - 3 = 0$：
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
2. 确定α的度数：
∵α为锐角，
∴$\tanα＞0$，故$\tanα=1$，
∴$α=45°$。
3. 代入待求式计算：
$α+15°=45°+15°=60°$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin45°=\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
原式$=2×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - \sqrt{3}×\sqrt{3}$
$=2×\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 3$
$=1 + \frac{1}{2} - 3$
$=-\frac{3}{2}$
【答案】
$-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程的解法；特殊角的三角函数值；锐角三角函数的性质
【点评】
本题是一元二次方程与三角函数的基础综合题，解题核心是先结合方程和锐角的限定条件确定α的度数，再代入计算，要求熟练掌握特殊角的三角函数值，避免记忆混淆。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步：第一步先求解给定的一元二次方程，得到tanα的两个可能根；第二步结合α是锐角的条件，锐角的正切值为正数，据此筛选出符合条件的tanα的值，进而确定α的度数；第三步计算α+15°的正切值，将特殊角的三角函数值代入待求式计算最终结果。
【解析】
1. 解方程$x^2 + 2x - 3 = 0$：
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
2. 确定α的度数：
∵α为锐角，
∴$\tanα＞0$，故$\tanα=1$，
∴$α=45°$。
3. 代入待求式计算：
$α+15°=45°+15°=60°$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin45°=\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
原式$=2×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - \sqrt{3}×\sqrt{3}$
$=2×\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 3$
$=1 + \frac{1}{2} - 3$
$=-\frac{3}{2}$
【答案】
$-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程的解法；特殊角的三角函数值；锐角三角函数的性质
【点评】
本题是一元二次方程与三角函数的基础综合题，解题核心是先结合方程和锐角的限定条件确定α的度数，再代入计算，要求熟练掌握特殊角的三角函数值，避免记忆混淆。
【难度系数】
0.7
10. 阅读下面的材料,先完成填空,再按要求答题:$\sin 30° = \frac{1}{2},\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$,则$\sin^2 30° + \cos^2 30° =$
$\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2},\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$,则$\sin^2 45° + \cos^2 45° =$
$\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2},\cos 60° = \frac{1}{2}$,则$\sin^2 60° + \cos^2 60° =$
……
(1) 观察上述等式,猜想:对于任意锐角$A$,都有$\sin^2 A + \cos^2 A =$
(2) 如图,在锐角三角形$ABC$中,利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想;
(3) 已知$∠ B$为锐角,且$\sin B = \frac{3}{5}$,求$\cos B$的值.
1
;$\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2},\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$,则$\sin^2 45° + \cos^2 45° =$
1
;$\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2},\cos 60° = \frac{1}{2}$,则$\sin^2 60° + \cos^2 60° =$
1
;……
(1) 观察上述等式,猜想:对于任意锐角$A$,都有$\sin^2 A + \cos^2 A =$
1
;(2) 如图,在锐角三角形$ABC$中,利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想;
(3) 已知$∠ B$为锐角,且$\sin B = \frac{3}{5}$,求$\cos B$的值.
答案
10. 1 1 1；(1) 1；(2) 略；(3) $\dfrac{4}{5}$
解析
【分析】
首先计算给出的特殊角的正弦平方与余弦平方的和，可发现结果均为1，据此可猜想任意锐角的正弦平方加余弦平方等于1；证明该猜想时，构造含待证锐角的直角三角形，利用锐角三角函数的定义表示出sinA和cosA，再结合勾股定理推导即可；求cosB的值时直接套用猜想得到的结论代入计算，结合锐角的余弦值为正确定最终结果即可。
【解析】
先计算前三个填空：
$\sin^2 30° + \cos^2 30° = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$；
$\sin^2 45° + \cos^2 45° = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = 1$；
$\sin^2 60° + \cos^2 60° = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$；
(1) 观察上述计算结果，猜想对于任意锐角A，都有$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$；
(2) 证明：过点A作$AD ⊥ BC$于点D，得到$Rt△ ABD$，在$Rt△ ABD$中：
$\sin B = \frac{AD}{AB}$，$\cos B = \frac{BD}{AB}$，
则$\sin^2 B + \cos^2 B = (\frac{AD}{AB})^2 + (\frac{BD}{AB})^2 = \frac{AD^2 + BD^2}{AB^2}$，
由勾股定理得$AD^2 + BD^2 = AB^2$，
因此$\sin^2 B + \cos^2 B = \frac{AB^2}{AB^2} = 1$，同理可证对任意锐角A，$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$成立。
(3) 由$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$，代入$\sin B = \frac{3}{5}$得：
$\cos^2 B = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$，
因为∠B为锐角，所以$\cos B ＞ 0$，因此$\cos B = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$。
【答案】
1；1；1；(1)1；(2)证明见解析；(3)$\dfrac{4}{5}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；同角三角函数的关系；勾股定理
【点评】
本题遵循从特殊到一般的探究思路，先通过特殊值计算归纳结论，再结合几何知识证明结论，最后应用结论解题，既考察了归纳推理能力，也考察了三角函数定义和勾股定理的基础应用，是三角函数基础性质的典型探究题。
【难度系数】
0.7
首先计算给出的特殊角的正弦平方与余弦平方的和，可发现结果均为1，据此可猜想任意锐角的正弦平方加余弦平方等于1；证明该猜想时，构造含待证锐角的直角三角形，利用锐角三角函数的定义表示出sinA和cosA，再结合勾股定理推导即可；求cosB的值时直接套用猜想得到的结论代入计算，结合锐角的余弦值为正确定最终结果即可。
【解析】
先计算前三个填空：
$\sin^2 30° + \cos^2 30° = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$；
$\sin^2 45° + \cos^2 45° = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = 1$；
$\sin^2 60° + \cos^2 60° = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$；
(1) 观察上述计算结果，猜想对于任意锐角A，都有$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$；
(2) 证明：过点A作$AD ⊥ BC$于点D，得到$Rt△ ABD$，在$Rt△ ABD$中：
$\sin B = \frac{AD}{AB}$，$\cos B = \frac{BD}{AB}$，
则$\sin^2 B + \cos^2 B = (\frac{AD}{AB})^2 + (\frac{BD}{AB})^2 = \frac{AD^2 + BD^2}{AB^2}$，
由勾股定理得$AD^2 + BD^2 = AB^2$，
因此$\sin^2 B + \cos^2 B = \frac{AB^2}{AB^2} = 1$，同理可证对任意锐角A，$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$成立。
(3) 由$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$，代入$\sin B = \frac{3}{5}$得：
$\cos^2 B = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$，
因为∠B为锐角，所以$\cos B ＞ 0$，因此$\cos B = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$。
【答案】
1；1；1；(1)1；(2)证明见解析；(3)$\dfrac{4}{5}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；同角三角函数的关系；勾股定理
【点评】
本题遵循从特殊到一般的探究思路，先通过特殊值计算归纳结论，再结合几何知识证明结论，最后应用结论解题，既考察了归纳推理能力，也考察了三角函数定义和勾股定理的基础应用，是三角函数基础性质的典型探究题。
【难度系数】
0.7
