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12 [2026 新疆]政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造.
请根据上述信息，完成下列问题：
（1）设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数表达式为 $y=ax^2+bx+0.8(a≠0)$，求 $a,b$ 的值；
（2）求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米.
请根据上述信息，完成下列问题：
（1）设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数表达式为 $y=ax^2+bx+0.8(a≠0)$，求 $a,b$ 的值；
（2）求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米.
答案
12. (1) 由题意,得$\begin{cases}64a+8b+0.8=0,\\-\frac{b}{2a}=3.5,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-0.1,\\b=0.7\end{cases}$ (2) 由(1),得原抛物线对应的函数表达式为$y=-0.1x^2+0.7x+0.8$,即$y=-0.1(x-3.5)^2+2.025.$ 由题意,得新抛物线对应的函数表达式为$y=-0.1(x-3.5)^2+2.025+1$,即$y=-0.1(x-3.5)^2+3.025.$ 当$y=0$时,$-0.1(x-3.5)^2+3.025=0$,解得$x_1=9,x_2=-2$(舍去),
∴ $9×2=18$(米).
∴ 改造后圆形喷水池的直径至少是18米.
∴ $9×2=18$(米).
∴ 改造后圆形喷水池的直径至少是18米.
13 [2026河北]如图,二次函数$y=(x-t)(x-3t)(t＞0)$的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,顶点为P.将点B绕点A顺时针旋转$90°$得到点D.
(1)若$t=1$,求直线PD对应的函数表达式,并判断点C关于二次函数图象对称轴的对称点$C'$是否在直线PD上;
(2)当$3≤x≤6$时,二次函数的最大值为9,求t的值;
(3)连接OP,当点D不在直线OP上时,过点D作直线$DE// OP$,交y轴于点$E(0,m)$,请直接写出m的最小值.
(1)若$t=1$,求直线PD对应的函数表达式,并判断点C关于二次函数图象对称轴的对称点$C'$是否在直线PD上;
(2)当$3≤x≤6$时,二次函数的最大值为9,求t的值;
(3)连接OP,当点D不在直线OP上时,过点D作直线$DE// OP$,交y轴于点$E(0,m)$,请直接写出m的最小值.
答案
13. (1) 令$y=(x-t)(x-3t)=0$,解得$x_1=t,x_2=3t$,
∴ $A(t,0),B(3t,0).$ 若$t=1$,则$A(1,0),B(3,0)$,
∴ $y=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3=(x-2)^2-1.$
∴ $AB=3-1=2,P(2,-1).$
∵ 将点B绕点A顺时针旋转$90°$得到点D,
∴ $AD=AB=2,∠BAD=90°.$
∴ $D(1,-2).$ 设直线$PD:y=kx+b$,则$\begin{cases}2k+b=-1,\\k+b=-2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=1,\\b=-3,\end{cases}$
∴ 直线$PD:y=x-3.$ 对于$y=(x-2)^2-1$,当$x=0$时,$y=3$,
∴ $C(0,3).$ 由$y=(x-2)^2-1$可得其图象的对称轴为直线$x=2$,
∴ 点C关于二次函数图象对称轴的对称点$C'$为$(4,3).$ 对于$y=x-3$,当$x=4$时,$y=4-3=1≠3$,
∴ 点$C'$不在直线PD上 (2) 由(1),得$A(t,0),B(3t,0)$,
∴ 对称轴为直线$x=\frac{t+3t}{2}=2t.$ 当$2t＜3$,即$t＜1.5$时,函数在$x=6$处取得最大值.
∴ $(6-t)(6-3t)=9$,整理,得$t^2-8t+9=0$,解得$t=4-\sqrt{7}$或$t=4+\sqrt{7}$(舍去). 当$3≤2t≤\frac{9}{2}$,即$\frac{3}{2}≤t≤\frac{9}{4}$时,函数在$x=6$处取得最大值.
∴ $(6-t)(6-3t)=9$,整理,得$t^2-8t+9=0$,解得$t=4-\sqrt{7}$或$t=4+\sqrt{7}$,均不在$\frac{3}{2}≤t≤\frac{9}{4}$的范围内,故舍去. 当$\frac{9}{2}＜2t≤6$,即$\frac{9}{4}＜t≤3$时,函数在$x=3$处取得最大值.
∴ $(3-t)(3-3t)=9$,整理,得$t^2-4t=0$,解得$t=4$或$t=0$,均不在$\frac{9}{4}＜t≤3$的范围内,故舍去. 当$2t＞6$,即$t＞3$时,函数在$x=3$处取得最大值.
∴ $(3-t)(3-3t)=9$,整理,得$t^2-4t=0$,解得$t=4$或$t=0$(舍去). 综上所述,$t$的值为$4-\sqrt{7}$或4 (3) $m$的最小值为$-2$ 【解析】
∵ $A(t,0),B(3t,0)$,
∴ 同(1)可求$D(t,-2t).$ 对于$y=(x-t)(x-3t)$,其图象对称轴为直线$x=2t.$
∴ 把$x=2t$代入$y=(x-t)(x-3t)$,得$y=(2t-t)(2t-3t)=-t^2.$
∴ $P(2t,-t^2).$ 设直线$OP:y=px$,则$-t^2=p·2t$,解得$p=-\frac{t}{2}.$
∵ $DE// OP$,
∴ 设直线$DE:y=-\frac{t}{2}x+n$,则$-\frac{t}{2}×t+n=-2t$,解得$n=\frac{t^2}{2}-2t.$
∴ 直线$DE:y=-\frac{t}{2}x+\frac{t^2}{2}-2t.$ 当$x=0$时,$m=\frac{1}{2}t^2-2t=\frac{1}{2}(t-2)^2-2$,
∵ $\frac{1}{2}＞0$,
∴ 当$t=2$时,$m$取得最小值,为$-2.$
∴ $A(t,0),B(3t,0).$ 若$t=1$,则$A(1,0),B(3,0)$,
∴ $y=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3=(x-2)^2-1.$
∴ $AB=3-1=2,P(2,-1).$
∵ 将点B绕点A顺时针旋转$90°$得到点D,
∴ $AD=AB=2,∠BAD=90°.$
∴ $D(1,-2).$ 设直线$PD:y=kx+b$,则$\begin{cases}2k+b=-1,\\k+b=-2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=1,\\b=-3,\end{cases}$
∴ 直线$PD:y=x-3.$ 对于$y=(x-2)^2-1$,当$x=0$时,$y=3$,
∴ $C(0,3).$ 由$y=(x-2)^2-1$可得其图象的对称轴为直线$x=2$,
∴ 点C关于二次函数图象对称轴的对称点$C'$为$(4,3).$ 对于$y=x-3$,当$x=4$时,$y=4-3=1≠3$,
∴ 点$C'$不在直线PD上 (2) 由(1),得$A(t,0),B(3t,0)$,
∴ 对称轴为直线$x=\frac{t+3t}{2}=2t.$ 当$2t＜3$,即$t＜1.5$时,函数在$x=6$处取得最大值.
∴ $(6-t)(6-3t)=9$,整理,得$t^2-8t+9=0$,解得$t=4-\sqrt{7}$或$t=4+\sqrt{7}$(舍去). 当$3≤2t≤\frac{9}{2}$,即$\frac{3}{2}≤t≤\frac{9}{4}$时,函数在$x=6$处取得最大值.
∴ $(6-t)(6-3t)=9$,整理,得$t^2-8t+9=0$,解得$t=4-\sqrt{7}$或$t=4+\sqrt{7}$,均不在$\frac{3}{2}≤t≤\frac{9}{4}$的范围内,故舍去. 当$\frac{9}{2}＜2t≤6$,即$\frac{9}{4}＜t≤3$时,函数在$x=3$处取得最大值.
∴ $(3-t)(3-3t)=9$,整理,得$t^2-4t=0$,解得$t=4$或$t=0$,均不在$\frac{9}{4}＜t≤3$的范围内,故舍去. 当$2t＞6$,即$t＞3$时,函数在$x=3$处取得最大值.
∴ $(3-t)(3-3t)=9$,整理,得$t^2-4t=0$,解得$t=4$或$t=0$(舍去). 综上所述,$t$的值为$4-\sqrt{7}$或4 (3) $m$的最小值为$-2$ 【解析】
∵ $A(t,0),B(3t,0)$,
∴ 同(1)可求$D(t,-2t).$ 对于$y=(x-t)(x-3t)$,其图象对称轴为直线$x=2t.$
∴ 把$x=2t$代入$y=(x-t)(x-3t)$,得$y=(2t-t)(2t-3t)=-t^2.$
∴ $P(2t,-t^2).$ 设直线$OP:y=px$,则$-t^2=p·2t$,解得$p=-\frac{t}{2}.$
∵ $DE// OP$,
∴ 设直线$DE:y=-\frac{t}{2}x+n$,则$-\frac{t}{2}×t+n=-2t$,解得$n=\frac{t^2}{2}-2t.$
∴ 直线$DE:y=-\frac{t}{2}x+\frac{t^2}{2}-2t.$ 当$x=0$时,$m=\frac{1}{2}t^2-2t=\frac{1}{2}(t-2)^2-2$,
∵ $\frac{1}{2}＞0$,
∴ 当$t=2$时,$m$取得最小值,为$-2.$
