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6 [2026 德州]某水果店单件水果售价 $ y_1 $（元）与销售月份 $ x $ 满足一次函数关系 $ y_1 = -2x + 21 $，单件水果进价 $ y_2 $（元）与销售月份 $ x $ 满足二次函数关系，二次函数的图象顶点坐标为 $ (6, 3) $，且经过点 $ (3, 12) $，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为
7
元。答案
6. 7
7 [2026 苏州]如图,关于x的二次函数$y=x^2 -2mx +m^2 +1$的图象为抛物线C,直线$y=a$与抛物线C交于A,B两点,过抛物线C的顶点作x轴的平行线l,过点A,B分别作l的垂线,垂足分别为M,N.若四边形ABNM为正方形,则$a=$
5
.答案
7. 5
8 已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $（$ a,b,c $ 是常数，$ a ＜ 0 $）的顶点坐标为 $ (1,2) $。小烨同学得出下列结论：
① $ abc ＜ 0 $；② 当 $ x ＞ 1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；③ 若关于 $ x $ 的方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的一个根为 $ x = 3 $，则 $ a = -\dfrac{1}{2} $；④ 抛物线 $ y = ax^2 + 2 $ 是由抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的。其中，正确的是 ______（填序号）。
① $ abc ＜ 0 $；② 当 $ x ＞ 1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；③ 若关于 $ x $ 的方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的一个根为 $ x = 3 $，则 $ a = -\dfrac{1}{2} $；④ 抛物线 $ y = ax^2 + 2 $ 是由抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的。其中，正确的是 ______（填序号）。
答案
8. ②③
9 如图，抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2 -4x +6$ 与y轴交于点A，与x轴的一个交点为B，线段CD在抛物线的对称轴上移动(点C在点D的下方)，且$CD=3$。当$AD+BC$的值最小时，点C的坐标为
(4,1)
。答案
9. (4,1) 【解析】令$x=0$,则$y=6$;令$y=\frac{1}{2}x^2-4x+6=0$,解得$x_1=2,x_2=6.$
∴ $A(0,6),B(2,0).$ 易知抛物线的对称轴为直线$x=4.$ 如图,作点A关于对称轴的对称点$A'(8,6)$,再将点$A'$向下平移3个单位长度,得到点$A''(8,3)$,连接$A''C,A'D$,此时$AD+BC=A'D+BC=A''C+BC.$ 当$A'',C,B$三点共线时,$AD+BC$的值最小,C为线段$A''B$与对称轴的交点. 设直线$A''B$对应的函数表达式为$y=kx+b$,则$\begin{cases}8k+b=3,\\2k+b=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2},\\b=-1,\end{cases}$
∴ $y=\frac{1}{2}x-1.$ 令$x=4$,得$y=1.$
∴ $C(4,1).$
10 [2026 连云港]若$a,b,c$是三个不为零的实数，且$a^2=bc$，则$\frac{c^2 - a^2}{b^2}$的最小值为
$-\frac{1}{4}$
。答案
10. $-\frac{1}{4}$ 【解析】
∵ $a^2=bc$,且$a,b,c$都不为$0$,
∴ $bc≠0.$
∴ $\frac{c^2-a^2}{b^2}=\frac{c^2-bc}{b^2}=\frac{c^2}{b^2}-\frac{bc}{b^2}=(\frac{c}{b})^2-\frac{c}{b}.$ 设$t=\frac{c}{b}$,则$t＞0$,原式$=t^2-t=(t-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4},∵ (t-\frac{1}{2})^2≥0,∴ (t-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}≥-\frac{1}{4}.$ 当$t=\frac{1}{2}$时,原式取得最小值$-\frac{1}{4}$,即$\frac{c^2-a^2}{b^2}$的最小值为$-\frac{1}{4}.$
∵ $a^2=bc$,且$a,b,c$都不为$0$,
∴ $bc≠0.$
∴ $\frac{c^2-a^2}{b^2}=\frac{c^2-bc}{b^2}=\frac{c^2}{b^2}-\frac{bc}{b^2}=(\frac{c}{b})^2-\frac{c}{b}.$ 设$t=\frac{c}{b}$,则$t＞0$,原式$=t^2-t=(t-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4},∵ (t-\frac{1}{2})^2≥0,∴ (t-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}≥-\frac{1}{4}.$ 当$t=\frac{1}{2}$时,原式取得最小值$-\frac{1}{4}$,即$\frac{c^2-a^2}{b^2}$的最小值为$-\frac{1}{4}.$
11 如图,二次函数 $y=\frac{1}{2}x^2+bx+c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点,与 $y$ 轴交于点 $C$,点 $A$ 的坐标为 $(-1,0)$,点 $C$ 的坐标为 $(0,-3)$,连接 $BC$.
(1) 求该二次函数的表达式;
(2) $P$ 是抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2+bx+c$ 在第四象限内的部分上的任意一点,当 $△ BCP$ 的面积最大时,试求边 $BC$ 上的高 $PN$.
(1) 求该二次函数的表达式;
(2) $P$ 是抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2+bx+c$ 在第四象限内的部分上的任意一点,当 $△ BCP$ 的面积最大时,试求边 $BC$ 上的高 $PN$.
答案
11. (1)
∵ 点$A(-1,0),C(0,-3)$在二次函数$y=\frac{1}{2}x^2+bx+c$的图象上,
∴ $\begin{cases}\frac{1}{2}-b+c=0,\\c=-3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=-\frac{5}{2},\\c=-3.\end{cases}$
∴ 二次函数的表达式为$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{2}x-3$ (2) 令$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{2}x-3=0$,解得$x_1=-1,x_2=6.$
∴ 点$B$的坐标为$(6,0).$
∵ 点$C$的坐标为$(0,-3),∴ BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}.$ 设直线$BC$对应的函数表达式为$y=mx+n(m≠0)$,则$\begin{cases}n=-3,\\6m+n=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=\frac{1}{2},\\n=-3.\end{cases}$
∴ 直线$BC$对应的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x-3.$ 如图,过点$P$作$PE⊥x$轴于点$E$,交$BC$于点$D.$ 设点$P$的坐标为$(t,\frac{1}{2}t^2-\frac{5}{2}t-3)(0＜t＜6)$,则点$D$的坐标为$(t,\frac{1}{2}t-3).$
∴ $PD=y_D-y_P=\frac{1}{2}t-3-(\frac{1}{2}t^2-\frac{5}{2}t-3)=-\frac{1}{2}t^2+3t.$
∴ $S_{△BCP}=\frac{1}{2}PD·OB=\frac{1}{2}×(-\frac{1}{2}t^2+3t)×6=-\frac{3}{2}t^2+9t=-\frac{3}{2}(t-3)^2+\frac{27}{2}.$
∵ $-\frac{3}{2}＜0,∴$ 当$t=3$时,$△BCP$的面积最大,最大值为$\frac{27}{2}$,此时$PN=\frac{2S_{△BCP}}{BC}=\frac{27}{3\sqrt{5}}=\frac{9\sqrt{5}}{5}$
