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1 一次函数$y=ax+b$与二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
C
）答案
1. C
2 已知二次函数$y=x^2 - 2x(-1≤x≤t-1)$，当$x=-1$时，函数取得最大值；当$x=1$时，函数取得最小值，则$t$的取值范围是（
A.$0＜t≤2$
B.$0＜t≤4$
C.$2≤t≤4$
D.$t≥2$
C
）A.$0＜t≤2$
B.$0＜t≤4$
C.$2≤t≤4$
D.$t≥2$
答案
2. C
3 [2026达州]二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0,c＜0)$的自变量$x$与函数$y$的部分对应值如下表：
给出下列结论:①$a＞0$;②$2a+b=0$;③当$x＜1$时,$y$随$x$的增大而增大;④$x_1=-2,x_2=4$是关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根.其中,正确的个数是 (
A.1
B.2
C.3
D.4
给出下列结论:①$a＞0$;②$2a+b=0$;③当$x＜1$时,$y$随$x$的增大而增大;④$x_1=-2,x_2=4$是关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根.其中,正确的个数是 (
C
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
3. C
4 [2025 凉山]二次函数$y=ax^2+bx+c$的部分图象如图所示，其对称轴为直线$x=2$，且图象经过点$(6,0)$，给出下列结论：① $bc＞0$；② $4a+b=0$；③ 若$ax_1^2+bx_1=ax_2^2+bx_2$且$x_1≠x_2$，则$x_1+x_2=4$；④ 若$(-1,y_1),(3,y_2)$两点都在抛物线$y=ax^2+bx+c$上，则$y_2＜y_1$。其中，错误的是 （
A.①
B.②
C.③
D.④
D
）A.①
B.②
C.③
D.④
答案
4. D 【解析】由题图可知,抛物线的开口向下,与y轴交于正半轴,
∴ $a＜0,c＞0.$
∵ 对称轴为直线 $x=2,∴ -\frac{b}{2a}=2.$
∴ $4a+b=0.∴ b=-4a＞0.∴ bc＞0.$ 故①②正确.
∵ $ax_1^2+bx_1=ax_2^2+bx_2$ 且 $x_1≠x_2,∴ ax_1^2+bx_1+c=ax_2^2+bx_2+c.$
∴ $x_1+x_2=4.$ 故③正确.
∵ 抛物线的开口向下,
∴ 抛物线上的点离对称轴越远,函数值越小.
∵ $(-1,y_1),(3,y_2)$两点都在抛物线$y=ax^2+bx+c$上,且$|-1-2|＞|3-2|,∴ y_1＜y_2.$ 故④错误.
∴ $a＜0,c＞0.$
∵ 对称轴为直线 $x=2,∴ -\frac{b}{2a}=2.$
∴ $4a+b=0.∴ b=-4a＞0.∴ bc＞0.$ 故①②正确.
∵ $ax_1^2+bx_1=ax_2^2+bx_2$ 且 $x_1≠x_2,∴ ax_1^2+bx_1+c=ax_2^2+bx_2+c.$
∴ $x_1+x_2=4.$ 故③正确.
∵ 抛物线的开口向下,
∴ 抛物线上的点离对称轴越远,函数值越小.
∵ $(-1,y_1),(3,y_2)$两点都在抛物线$y=ax^2+bx+c$上,且$|-1-2|＞|3-2|,∴ y_1＜y_2.$ 故④错误.
5 [2026 天津]如图,在矩形$ABCD$中,$AB=5\ \mathrm{cm}$,$AD=7\ \mathrm{cm}$. 动点$P$从点$A$出发,以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$AD$-$DC$向终点$C$运动;动点$Q$从点$A$同时出发,以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$AB$-$BC$向终点$C$运动.设运动的时间为$t\ \mathrm{s}$. 当$t=3$时,点$P$,$Q$的位置如图所示. 给出下列三个结论:① 当$t=6$时,四边形$APCQ$是平行四边形;② $△ APQ$的最大面积为$\frac{35}{2}\ \mathrm{cm}^2$;③ 当$△ APQ$的面积为$10\ \mathrm{cm}^2$时,$t=2\sqrt{5}$或$t=10$.其中,正确的是（
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
D
）A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
5. D 【解析】设$△APQ$的面积为$S\ \mathrm{cm}^2.$ 当$0＜t≤5$时,$S=\frac{1}{2}t^2$; 当$5＜t≤7$时,$S=\frac{5}{2}t$; 当$7＜t＜12$时,$S=35-\frac{5(t-5)}{2}-\frac{7(t-7)}{2}-\frac{(12-t)^2}{2}=-\frac{1}{2}t^2+6t.$ ① 如图,当$t=6$时,$CQ=5+7-6=6(\mathrm{cm}),AP=6\ \mathrm{cm}$,即$AP=CQ.$ 又
∵ $AP// CQ$,
∴ 四边形$APCQ$是平行四边形. 故①正确. ② 当$0＜t≤5$时,$S=\frac{1}{2}t^2$,则$S$的最大值为$\frac{25}{2}$; 当$5＜t≤7$时,$S=\frac{5}{2}t$,则$S$的最大值为$\frac{35}{2}$; 当$7＜t＜12$时,$S=-\frac{1}{2}t^2+6t=-\frac{1}{2}(t-6)^2+18$,此时最大值小于$\frac{35}{2}.$ 综上所述,$△APQ$的最大面积为$\frac{35}{2}\ \mathrm{cm}^2.$ 故②正确. ③ 当$0＜t≤5$时,$S=\frac{1}{2}t^2$,令$S=10$,则$t=2\sqrt{5}$(负值舍去); 当$5＜t≤7$时,$S=\frac{5}{2}t$,令$S=10$,则$t=4＜5$,不合题意; 当$7＜t＜12$时,$S=-\frac{1}{2}t^2+6t$,令$S=10$,则$-\frac{1}{2}t^2+6t=10,∴ t=2$或$10.$
∵ $7＜t＜12,∴ t=10.$ 综上所述,$t=2\sqrt{5}$或$t=10.$ 故③正确.
