1 在△ABO中，已知点A(-6,3)，B(-6,-4)，以原点O为位似中心把△ABO缩小到原来的$\frac{1}{3}$，则点A的对应点A'的坐标是 （）

A.$(-2,1)$
B.$(-18,9)$
C.$(-18,9)$或$(18,-9)$
D.$(-2,1)$或$(2,-1)$

1. D

2 如图，P为线段AB上一点，AD与BC相交于点E，$∠ CPD = ∠ A = ∠ B$，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中的相似三角形共有（）

A.4对
B.3对
C.2对
D.1对
（第2题）

2. B

3 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$,$AC=3$,$BC=4$,以点 $C$ 为圆心、$CA$ 长为半径的 $\odot C$,与 $AB$ 交于点 $D$,则 $AD$ 的长为（）

A.$\dfrac{9}{5}$
B.$\dfrac{24}{5}$
C.$\dfrac{18}{5}$
D.$\dfrac{5}{2}$

3. C

4 如图,在$△ ABC$中,点$D$在边$AC$上,$AD:DC=1:2$,$O$是$BD$的中点,连接$AO$并延长,交$BC$于点$E$,则$BE:EC$等于
$\boldsymbol{(\quad)}$

A.$1:2$
B.$1:3$
C.$1:4$
D.$2:3$

4. B 【解析】如图,过点 D 作 DF//AE,交 BC 于点 F.
∵ O 为 BD 的中点,
∴ BO=OD.
∵ DF//AE,AD:DC=1:2,
∴ $\frac{BE}{EF}=\frac{BO}{OD}=1,\frac{AD}{DC}=\frac{EF}{FC}=\frac{1}{2}$.
∴ BE:EC=1:3.

5 [2025泸州]如图,在边长为2的正方形ABCD中,E为AB的中点,F为CE上的点,且DF=DC,则AF的长为 （）

A.$\frac{2\sqrt{10}}{9}$
B.$\frac{2\sqrt{10}}{5}$
C.$\frac{4\sqrt{10}}{15}$
D.$\frac{4\sqrt{10}}{9}$

5. B 【解析】如图,过点 D 作DQ⊥CE,交 CE 于点 P,交 BC 于点 Q,过点 F 作 MN⊥AB 于点 M,交 CD 于点 N. 先求出 $CE=\sqrt{5}$,证$△BCE≌△CDQ$,得 $CE=DQ=\sqrt{5},BE=CQ=1$,证$△CPQ∽△CBE$,得 $CP=\frac{2\sqrt{5}}{5},PQ=\frac{\sqrt{5}}{5}$,则 $DP=\frac{4\sqrt{5}}{5}$,
$FP=CP=\frac{2\sqrt{5}}{5},CF=\frac{4\sqrt{5}}{5},EF=\frac{\sqrt{5}}{5}$,再证四边形 BCNM 是矩形,得 $MN=BC=2$,由三角形的面积公式,得 $FN=\frac{8}{5}$,则 $FM=\frac{2}{5}$. 再由勾股定理求出 $EM=\frac{1}{5}$,则 $AM=\frac{6}{5}$,最后在Rt△AFM 中,由勾股定理即可求出 AF 的长为$\frac{2\sqrt{10}}{5}$.

6 如图,在$△ ABC$中,$AB=16$,$AC=8$,$BC=20$,过$AB$上一点$P$画直线截$△ ABC$,使截得的一个三角形与$△ ABC$相似.若恰有3种不同的画法,则$AP$长的取值范围是 ()

A.$0＜AP＜4$
B.$0＜AP≤4$
C.$4≤ AP＜16$
D.$4＜AP＜16$

6. D 【解析】如图,在 AB 上取点 P',作$∠AP'C=∠ACB$.
∵ $∠P'AC=∠CAB,∠AP'C=∠ACB$,
∴ $△AP'C∽△ACB$.
∴ $AP':AC=AC:AB$,即 $AP':8=8:16$,解得 $AP'=4$.
∵ 过点 P 画直线截$△ABC$,恰有 3 种不同的画法,使截得的一个三角形与$△ABC$相似,
∴ 点 P 在 BP'上.
∴ AP 长的取值范围是 $4＜AP＜16$.

7 如图，AB与CD交于点O，且AC//BD。若$\frac{OA + OC + AC}{OB + OD + BD} = \frac{1}{2}$，则$\frac{AC}{BD}$的值为。

7. $\frac{1}{2}$

8 如图，在正方形ABCD中，AB=12，AE=$\frac{1}{4}$AB，点P在BC上运动（不与点B，C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ长的最大值为。

8. 4