9 如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=120°，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接AE，分别交BD，CD于点F，G，则FG的长为。

9. $\frac{4\sqrt{7}}{5}$

10 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CB=5$，$CA=10$，点$D$，$E$分别在边$AC$，$AB$上，$AE=\sqrt{5}AD$，连接$DE$，将$△ ADE$沿$DE$折叠，得到$△ FDE$，连接$CE$，$CF$。若$△ CEF$的面积是$△ BEC$面积的2倍，则$AD$的长为。

10. $\frac{10}{3}$ 【解析】
∵ $AE=\sqrt{5}AD$,
∴ 可设 $AD=x$,则 $AE=\sqrt{5}x$. 由折叠,得 $DF=AD=x,∠ADE=∠FDE$. 如图,过点 E 作 $EH⊥AC$ 于点 H,设 EF 与 AC 相交于点 M,则易得$△AHE∽△ACB$.
∴ $\frac{EH}{BC}=\frac{AH}{AC}=\frac{AE}{AB}$.
∵ $CB=5,CA=10$,
∴ 在Rt△ABC 中,$AB=\sqrt{CA^2+CB^2}=\sqrt{10^2+5^2}=5\sqrt{5}$.
∴ $\frac{EH}{5}=\frac{AH}{10}=\frac{\sqrt{5}x}{5\sqrt{5}}$.
∴ $EH=x,AH=2x$.
∴ $DH=AH-AD=x=EH$.
∴ $△EHD$ 是等腰直角三角形.
∴ $∠HDE=∠HED=45°$.
∴ $∠FDE=∠ADE=135°$.
∴ $∠FDM=135°-45°=90°$. 易得$△FDM≌△EHM$.
∴ $DM=HM=\frac{1}{2}x$.
∴ $CM=AC-AD-DM=10-\frac{3}{2}x$.
∴ $S_{△CEF}=S_{△CME}+S_{△CMF}=\frac{1}{2}CM·(EH+DF)=\frac{1}{2}(10-\frac{3}{2}x)·2x=10x-\frac{3}{2}x^2$. 又
∵ $S_{△CEF}=2S_{△BEC},S_{△BEC}=S_{△ABC}-S_{△AEC}=\frac{1}{2}×10×5-\frac{1}{2}×10x=25-5x$,
∴ $10x-\frac{3}{2}x^2=2(25-5x)$. 整理,得 $3x^2-40x+100=0$,解得 $x_1=\frac{10}{3},x_2=10$(不合题意,舍去).
∴ $AD=\frac{10}{3}$.

11 如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过点P作$PF ⊥ AE$于点F，连接PE.
（1）求证：$△ PFA ∽ △ ABE$；
（2）当PA的长为何值时，$△ PEF$与$△ ABE$相似？

11. （1）证明：
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ $AD// BC,∠B=90°$.
∴ $∠DAE=∠AEB$.
∵ $PF⊥AE$,
∴ $∠PFA=90°$.
∴ $∠B=∠PFA$.
∴ $△PFA∽△ABE$
（2）
∵ $∠PFE=∠B=90°$,
∴ $△PFE∽△ABE$ 或$△EFP∽△ABE$. 当$△PFE∽△ABE$时,如图①,
∴ $∠PEF=∠AEB,\frac{FE}{BE}=\frac{PF}{AB}$. 由题意可得,$AB=4,BE=\frac{1}{2}BC=2$,
∴ $\frac{EF}{2}=\frac{PF}{4}$.
∴ $PF=2EF$.
∵ $AE^2=AB^2+BE^2$,
∴ $AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=2\sqrt{5}$.
∵ $∠DAE=∠AEB$,
∴ $∠PAE=∠PEA$.
∴ $PA=PE$.
∵ $PF⊥AE$,
∴ $AF=EF=\frac{1}{2}AE=\sqrt{5}$.
∴ $PF=2EF=2\sqrt{5}$.
∴ $AP=\sqrt{AF^2+PF^2}=5$. 当$△EFP∽△ABE$时,如图②,
∴ $∠PEF=∠EAB$.
∴ $AB// PE$.
∴ $∠PEB=180°-∠B=90°$.
∴ 四边形 ABEP 是矩形.
∴ $AP=BE=2$. 综上所述,当 PA 的长为 5 或 2 时,$△PEF$ 与$△ABE$相似

12 如图,在正方形网格中,点 A,B,C 都在格点上(要求仅用无刻度的直尺,不要求写画法,保留必要的作图痕迹). (第12题)
(1) 在图①中,以点 C 为位似中心,位似比为 $1:2$. 请画出放大后的$△ A_1B_1C$.
(2) 在图②中,在线段 AB 上作点 M,利用格点作图使得$\frac{AM}{BM}=\frac{3}{2}$.
(3) 在图③中,利用格点在 AC 边上作一个点 D,使得$△ ABD ∽ △ ACB$.

12. （1）$△A_1B_1C$ 如图①所示 （2）点 M 如图②所示 （3）点 D 如图③所示

13 在$□ ABCD$中，$∠ ABC$为锐角，点E在边AD上，连接BE，CE，且$S_{△ ABE}=S_{△ DCE}$。
（1）如图①，若F是边BC的中点，连接EF，对角线AC分别与BE，EF相交于点G，H。
① 求证：H是AC的中点；
② 求$AG:GH:HC$。
（2）如图②，BE的延长线与CD的延长线相交于点M，连接AM，CE的延长线与AM相交于点N。试探究线段AM与线段AN之间的数量关系，并证明你的结论。

13. （1）① 证明：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ $AD// BC,AD=BC$.
∴ $∠EAH=∠FCH$.
∵ $S_{△ABE}=S_{△DCE}$,
∴ 易得 $AE=DE=\frac{1}{2}AD$.
∵ F 是边 BC 的中点,
∴ $CF=\frac{1}{2}BC$.
∴ $CF=AE$.
∵ $∠AHE=∠CHF$,
∴ $△AEH≌△CFH$.
∴ $AH=CH$.
∴ H 是 AC 的中点
②
∵ $∠EAH=∠FCH,∠AGE=∠CGB$,
∴ $△AGE∽△CGB$.
∴ $\frac{AG}{CG}=\frac{AE}{CB}$.
∴ $\frac{AG}{CG}=\frac{AE}{AD}=\frac{1}{2}$.
设 $AG=2a$,则 $CG=4a$,
∴ $AC=AG+CG=6a$.
∴ $AH=CH=3a$.
∴ $GH=AH-AG=a$.
∴ $AG:GH:HC=2a:a:3a=2:1:3$
（2）$AM=3AN$ 证明：如图,过点 M 作 $MQ// BC$,交 CN 的延长线于点 Q.
∵ 在$□ABCD$中,$AD// CB$,即 $ED// BC$,
∴ $\frac{EM}{BM}=\frac{ED}{BC}$.
∴ $\frac{EM}{BM}=\frac{ED}{AD}=\frac{1}{2}$.
∴ $EM=\frac{1}{2}BM=BE$.
∵ $MQ// BC$,
∴ $∠MQE=∠BCE$.
∵ $∠MEQ=∠BEC,EM=EB$,
∴ $△MQE≌△BCE$.
∴ $MQ=BC$.
∴ $MQ=AD$.
∵ $MQ// BC,AD// CB$,
∴ $MQ// AD$.
∴ $∠MQE=∠AEN$.
∵ $∠MNQ=∠ANE$,
∴ $△MQN∽△AEN$.
∴ $\frac{MN}{AN}=\frac{MQ}{AE}$.
∴ $\frac{MN}{AN}=\frac{AD}{AE}=2$.
∴ $MN=2AN$.
∴ $AM=MN+AN=3AN$